birmaga.ru
добавить свой файл

1
18. Понятие устойчивости АСУ


Если система управления обеспечивает нормальное функционирование системы в целом при воздействии на объект управления и его систему управления различными возмущениями, то говорят, что АСУ устойчива. Т.о. в простейшем случае под устойчивостью сис-мы понимают ее способность обеспечивать с заданной точностью движение объекта управления относительно некот. состояния равновесия.
В простейшем случае понятие устойчивости сис-мы определяется ее способностью возвращаться в состояние равновесия, после того как внешние силы, кот. вывели сис-му из равновесия, перестают действовать. Если сис-ма не возвращается в сост. равнов., а удаляется от него или совершает вокруг него колебания, то сис-ма неустойчива.
Как правило, рассматривается устойчивость системы в некоторой окрестности ее состояния равновесия.

В положении равнов. всякая техническая сис-ма имеет минимум потенциальной энергии. И т.к. минимум потенциальной энергии можно считать равным 0, то в любой достаточно малой окрестности сост. равнов. потенц. энергия будет положительна.
Введем в рассмотрение невозмущенные и возмущенные сост-я равновесия. В кач-ве невозмущенных сост. равнов. сис-мы будем рассматривать не положение ее равновесия, а движение по некот., заранее известной траектории, которая определяется согласно известным законам изменения во времени координат системы Это невозмущенное движение.

Возмущенное движ-е: . Пусть в момент t = t0 под действием силы сис-ма занимает положение . Дальнейшее ее движение происходит в предположениях, что внешнее возмущение отсутствует (свободное движ-е). При этом в каждый мом-т времени известны .


Невозмущенное движение сис-мы будет устойчивым, если, начиная с некоторого момента времени t = t1, будет выполняться сис-ма неравенств:
Т.о. под устойчивостью невозмущенного движения системы понимают такое ее движение, при котором абсолютное значение отклонений действительных координат системы от заданных, по истечению некоторого времени должны стать меньше некоторых заранее заданных положительных чисел.

21. Алгебраический критерий устойчивости Рауса.






L(s) и M(s) – полиномы степени m и n, причем m


Хар. полином:

Правило составления таблиц:

1. В первую строку таблицы заносят коэф-ты хар. полинома с четными номерами в порядке возрастания индексов:

2. Во вторую строку заносят коэф-ты хар. полинома с нечетными номерами в порядке возрастания индексов:

3. Остальные элементы заполняются по рекуррентной формуле:



Следует отметить, что первый индекс у коэф-тов означает номер столбца, а второй – строки.

После того, как таблица заполнена, можно судить об устойчивости замкнутой системы. В дальнейшем будем считать, что необходимые условия устойчивости выполнены, т.е. все коэф-та хар. полинома строго положительны.


Для того чтобы замкнутая САУ было устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы коэф-ты первого столбца таблицы Рауса были положительны.

Если не все коэф-ты 1го столбца положительны, то сис-ма неуст., а число правых корней хар. полинома равно силу перемен знака в первом столбце таблицы Рауса.

20. Устойчивость линейных САУ, необходимое и достаточное условие устойчивости, необходимое условие устойчивости.

22. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица.


L(s) и M(s) – полиномы степени m и n, причем m


Хар. полином:

Для того чтобы исследовать устойчивость замкнутой системы нужно составить матрицу G размера nxn из коэф-тов хар. полинома по правилу:

1. По главной диагонали выписываем коэф-ты хар. полинома, начиная с a1 до an.

2. Каждый столбец матрицы G вверх от диагонального элемента заполняется по возрастающим индексам.

3. Каждый столбец ниже диагонального элемента заполняется коэф-тами по убывающим индексам.

4. Все эл-ты матрицы G выше an и ниже a0 заполняются нулями.



После составления матрицы Гурвица по ней можно судить об устойчивости замкнутой САУ.

Обозначим через Δ1,…, Δn диагональные миноры матрицы G.

Для того чтобы замкнутая САУ была устойчива, необходимо и достаточно чтобы Δ1 > 0, Δ2 > 0,…, Δn = det(G) > 0.

С помощью критерия Гурвица можно найти область изменения значений параметров системы, при которых она будет обладать св-вом устойчивости. Для этого: Δn = det(G) = 0. В результате получим уравнения границ устойчивости: an = 0, Δn-1 =0. Первое уравнение соответствует наличию у хар. полинома ЗСАУ нулевого корня λ=0. 2ое Ур-е соответствует наличию у хар. полинома системы пары чисто мнимых корней λ = ±jω.


Эти ур-я разбивают пр-во параметров ЗСАУ на области, в кот. все остальные Δk > 0 соответствуют значениям коэф-тов хар. полинома, при кот. ЗСАУ будет асимптотически устойчива. Вне этих областей значений параметров, система неустойчива.

19. Определение устойчивости по Ляпунову.

Пусть мат. моделью САУ явл. сис-ма нелин. дифуров n-ого порядка, которая записана в нормальной форме Коши:



Пусть внеш. возмущ. отсутствуют и что в нач. мом-т вр. нач. полож. сис-мы известно: . Тогда начальными условиям последнего равенства соответствует единственное реш. сис-мы дифуров: Это решение можно рассматривать, как ур-е некот. траект. в пр-ве переменных состояния. Эта траект. подлежит исследов. на устойчивость. Всякую траекторию движения САУ, кот. исследуется на устойч., будем назыв. невозмущ. движ-ем сис-мы и обозначать: .

Выбор невозмущ. движ-я произвольный, это может быть любое возмож. движ-е сис-мы, как установившееся, так и нет. Н.у:

Пусть заданы небольшие по модулю числа ε1, …, εn. Рассмотрим движение сис-мы ур-й (*) при н.у.: .

Движение сис-мы, отвечающее измененным н.у. будем называть возмущенным движением, yi(t). Т.е. возмущенным движением сис-мы называют всякое иное движение, которое отличается от невозмущенного. Введем отклонения:


Если все отклонения равны нулю, то возмущенное движ-е совпадает с невозмущенным. Запишем уравнения возмущенного движ-я в отклонениях: А невозмущенное движение будет: Переменные явл. координатами состояния системы (**).

Пусть при t = t0 переменные xi принемают какие-либо свои нач. знач. xi0, из которых, по хотя бы одно не равно нулю: . Эти начальные отклонения будем называть возмущениями. Геометрически это можно изобразить следующим образом:

О ПРЕДЕЛЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ:

Невозмущенное движение системы называется устойчивым, если при заданном ε > 0, сколь бы оно мало ни було, существует такое δ > 0, зависящее от ε, что при начальных условиях , в дальнейшем движении (t0 < t < ∞) будет все время .

Иными словами, невозмущенное движение системы называется устойчивым, если, задав «трубку» сколь угодно малого n-мерного сечения ε, можно подобрать в начальный мом-т времени t0 такую область начальных условий δ, зависящую от ε, что в дальнейшем с увеличением t возмущенное движение не выйдет из заданной трубки ε.


Невозмущенное движение будет неустойчивым, если это условие не выполняется хотя бы для одного .

Если имеем , то невозмущенное движение называется асимптотически устойчивым.

Если рассмотреть фазовую траекторию, то она будет такой:



Особенности:

- Предполагается, что возмущения налагаются только на начальные условия. Т.е. возмущенное движение происходит при тех же силах, что и невозмущенное.

- Устойчивость рассматривают на бесконечно большом промежутке времени.

- Возмущения предполагаются малыми.


23. Принцип аргумента.
Пусть дан некоторый полином степени n По теореме Безу имеем:

Но комплексной плоскости s каждые корень данного полинома может быть изображен вектором таким образом, см. рис. слева.



Величины (s-si) геометрически изображаются векторами, поведенными из точки si к произвольной точке s.

В частном случае, когда s = , получаем:




- вектор, равный произведению элементарных векторов и действительного числа a0.



Пусть вращение против ЧС – положительное. Тогда при изм. ω от -∞ до + каждый элементарный вектор повернется на угол π, если его начало лежит слева, и на –π, если справа.

Пусть полином P(s) имеет m правых корней и nm левых. Тогда



Т.о. изменение аргумента P() при изменении частоты от -∞ до +∞ равно разности между числом левых и правых корней уравнения P(s) = 0, умноженной на π.

Очевидно, что при изменении частоты от 0 до +∞ изменение аргумента вектора P() будет вдвое меньше:



24. Частотный критерий Михайлова.






L(s) и M(s) – полиномы степени m и n, причем m

Хар. полином:

Михайлов сформулировал необход. и достат. усл-я устойч-сти ЗСАУ, которые получили название критерия устойч-сти Михайлова. Он позволяет, не решая хар. уравнения ЗСАУ , исследовать расположение его корней с помощью годографа Михайлова.

Критерий устойчивости Михайлова относится к частотным критериям и используется для исследования устойчивости замкнутых систем.



Ф-ии R(ω) и φ(ω) представляют собой модуль и аргумент P().

При изменении частоты ω вектор P() будет описывать своим концом на корд-ной плоскости некоторую кривую, кот. называется годографом Михайлова.

По принципу аргумента:



Отсюда определяем число корней полинома P(λ) с положит. действительными частями, т.е.



Из последнего равенства видно, что число корней P(λ) с полож. действит. частями m будет равно нулю при одном условии:


Это необход., но не достаточное условие устойчивости. Для устойч-ти сис-мы необход. и достаточно, чтобы все n корней хар. полинома имели отриц. действит. части, т.е. не должно быть корней, лежащих на мнимой оси и обращающих в нуль комплексный полином P(), т.е. должно выполняться еще одно усл-е:


Критерий устойчивости Михайлова: Для того, чтобы САУ была устойчива, необх. и дост., чтобы вектор кривой Михайлова P() при изменении частоты ω от 0 до ∞ повернулся, нигде не обращаясь в нуль, вокруг начала координат против часовой стрелки на угол πn/2, где n - порядок хар. полинома сис-мы.
Замечание. Для устойч. ЗСАУ годограф Михайлова начинается при ω=0 на веществ. положит. полуоси U(ω), так как при a0 > 0 все коэф-ты хар. полинома положительны и P(0)=an>0. Кроме того, для устойч. сис-м, описываемых обыкновенными дифурами с постоянными коэф-тами, аргумент φ(ω) комплексного числа P() с ростом частоты ω должен возрастать монотонно, т.е. вектор P() должен поворачиваться только против ЧС. Это следует из того, что с ростом частоты монотонно возрастают имеющие одинаковые (положит.) знаки аргументы элементарных векторов (si), кот. являются слагаемыми аргумента вектора P(). Учитывая сказанное, критерий Михайлова:

Для того чтобы САУ была устойчивой, необх. и достат., чтобы годограф Михайлова при изм. ω от 0 до ∞, начинась при ω=0 на вещественной полуоси, обходил только против ЧС последовательно n квадрантов корд-ной пл-ти, где n - порядок хар. полинома сис-мы.

Признаком неустойчивости системы является нарушение числа и последовательности, пройденных кривой Михайлова квадрантов координатной плоскости, вследствие чего угол поворота вектора P() оказывается меньшим, чем πn/2.

Анализируя годографы Михайлова, можно установить, что при последовательном прохождении кривой Михайлова квадрантов корд-ной пл-ти вещественная и мнимая оси пересекаются ею поочередно. В точках пересечения кривой Михайлова с вещественной осью обращается в нуль мнимая ф-ия Михайлова V(ω), а в точках пересечения с мнимой осью обращается в нуль вещественная ф-ия U(ω). Поэтому значения частот, при которых происходит пересечение кривой с вещественной или мнимой осью, должны являться корнями уравнений U(ω)=0 и V(ω)=0.


Вещественную U(ω) и мнимую V(ω) функции Михайлова можно представить графически в виде кривых:





25. Частотный критерий Найквиста.

Структурная приведена к расчетной схеме.

На координатной комплексное число W() представляется вектором с началом в точке O и координатами {U(ω), V(ω)}. Если изменять ω от -∞ до +∞, то вектор W() будет меняться по величине и фазе. Получившаяся кривая называется амплитудно – фазовой характеристикой разомкнутой системы. Она симметрична отн. Оси U(ω). Физический смысл имеют только положительные частоты, поэтому вычерчивают только ту часть, которая соответствует положительным частотам ω≥0.

Введем вспомогательную ф-ию:

Пусть хар. уравнение замкнутой системы P(λ)=0 имеет m корней с положит. действит. частями и n-m c отриц., а хар. ур-е разомкнутой системы Q(λ)=0 имеет l корней с положит. действительными частями и n-l с отриц. действит. частями.

На основе принципа аргумента будет:



Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы все ее корни характеристического уравнения были с отрицательными действительными частями, т.е. m=0, тогда:


Т.о., если разомкнутая система неустойчива и имеет l корней с положит. действит. частями, то замкнутая система будет устойчивой тогда и только тогда, когда АФХ вспомогательной функции W1() при изменении ω от 0 до ∞ охватывает начало координат в положительном направлении l/2 раз. Число оборотов вектора W1() вокруг начала коор-д равно числу оборотов вектора W() вокруг точки {-1,j0}.

Критерий Найквиста: Если разомкнутая САУ неуст., то, для того чтобы ЗСАУ была уст., необх. и достат. чтобы АФХ разомк. сис-мы W() при измен. ω от 0 до ∞ охватывала точку {-1,j0} в положит. положении l/2 раз, где l – число корней хар. ур-я РСАУ.

При сложной W() могут возникнуть трудности при определении числа оборотов вокруг критич. точки {-1,j0}. В этом случае для суждения об устойчивости следует воспользоваться «правилом переходов», предложенным Цыпкиным.

Критерий Найквиста: Если РСАУ неуст., то для того чтобы ЗСАУ была уст. необх. и достат., чтобы разность между числом положительных и отриц. переходов АФХ РСАУ W() через отрезок (-∞,-1) при изменении ω от 0 до ∞ была равна l/2 раз.

26. Анализ устойчивости САУ по ЛЧХ.

В соответствии с критерием Найквиста устойчивость ЗСАУ определяется числом переходов АФХ W() отрезка (-∞,-1) вещественной оси. Если АФХ W() пересекает отрицательную вещественную полуось, то ЛФЧХ пересекает одну из линий ±π(2i+1). Переходы через эти линии не опасны с точки зрения устойчивости, если они совершаются справа от точки (-1,j0), т.е. если |W()|<1 и, следоват. LmA(ω)=20lg|W()|<0. Т.о область отриц. ЛАЧХ при исследовании уст. интереса не представляет.

Положительному переходу (сверху вниз) через отрезок (-∞,-1) характеристики W() соответствует пересечение ЛФЧХ при LmA(ω)=20lg|W()|>0 прямых ±π(2i+1) снизу вверх (точка 2 на рис.), а отриц. переходу – сверху вниз (точка 1 на рисунке).

Критерий устойчивости Найквиста применительно к ЛЧХ может быть сформулирован следующим образом:

Для того чтобы САУ была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы разность между положительным и отрицательным числом переходов ЛФЧХ прямых ±π(2i+1) во всех областях, где ЛАЧХ положительна LmA(ω)=20lg|W()|>0, была равна l/2.






27. Точность САУ. Коэффициенты ошибок.
Пусть структурная схема САУ приведена к расчетной.

Точность САУ определяют по установившемуся значению ошибки, т.е. по значению ошибки после окончания ПП:



Значения этой ошибки зависят от мат. модели, например от передаточной ф-ии и от входного сигнала.

Точность САУ оценивается при типовых входных воздействиях – полиномиальные входные воздействия:



Для того чтобы определить установившееся значение ошибки воспользуемся «предельными» св-вами преобразования Лапласа:


На основании равенства (*) можно представить передаточныю ф-ию ЗСАУ в виде ряда (в окрестности s=0):


где

числа c0,…,cm – коэф-ты ошибок, кот. определяются равенствами:



Окончательно получаем:




28. Статические САУ.
Единичное входное воздействие.



Если передаточ. функция РСАУ имеет вид:



Такие сис-мы назыв. статическими. В стстических САУ для уменьшения ошибки в установившемся режиме повышают коэф-т усиления, но при этом сис-ма может потерять устойчивость.



Полиномиальный входной сигнал степени больше 0 система отработать не сможет, т.к. ошибка возрастает до ∞.

29. САУ с астатизмом первого порядка.
Единичное входное воздействие.



Система с такой передаточной ф-ей называется сис-мой с астатизмом первого порядка. В таких системах в установившемся режиме нет статической ошибки.



Если на вход подается сигнал

Полиномиальный входной сигнал степени больше 1 система отработать не сможет, т.к. ошибка возрастает до ∞.

30. САУ с астатизмом второго порядка.
Единичное входное воздействие.



Система с такой передаточной ф-ей называется сис-мой с астатизмом второго порядка. В таких системах в установившемся режиме нет статической ошибки и нет ошибки по скорости.



Если на вход подается сигнал
31. Точность САУ при гармоническом входном воздействии.
Пусть на вход САУ поступает сигнал вида:

Часто при проектировании САУ задаются макс. значения ск-ти и ускор., кот. должна отрабатывать САУ.

В этом случае по известным макс. ск-тям и ускор. входного воздействия и строят эквивал. гармонич. воздействие.



Структурная схема приведена к расчетной. На вход сис-мы подается сигнал . Тогда ампл. сигнала ошибки будет определяться по формуле:



С помощью последних соотношений можно оценить амплитуду ошибки отработки гармонического сигнала. Практическое значение приближенного равенства состоит в том, что с его помощью и используя ЛАЧХ исследуемой системы, можно оценить максимальное значение ошибки в системе при гармоническом входном воздействии.

Пусть даны:

aP - амплитуда входного гармонического сигнала;

ωP - рабочая частота входного гармонического сигнала.


ЛАЧХ разомкнутой системы W(s).

Требуется определить максимальное значение амплитуды ошибки в замкнутой системы.



Для решения этой задачи необходимо:

1. На раб. част ωР по графику ЛАЧХ определить значение X в дБ.

2. Т.к. по определению ЛАЧХ: