birmaga.ru
добавить свой файл

1 2 3
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Тема 1. «Простые проценты»
Р – первоначальная сумма денег

i – годовая процентная ставка наращения (начисляется на P)

N – календарный срок пользования кредитом

(обычно в годах)

m – число периодов начисления в году (для простых процентов m = 1)

n – срок пользования кредитом в периодах начисления

( n =m N, для простых процентов n = N)

I – проценты или процентные деньги (I = S – P)

S – наращенная сумма (сумма на счете к концу срока, т.е. S = P + I).

t - дата выдачи кредита

t - дата погашения кредита

t - срок пользования кредитом в днях

(день выдачи и погашения кредита считается за один день)

К – количество дней в году

D – дисконт или скидка (D = S – P)

d – годовая учетная ставка (начисляется на S)
S = P (1 + Ni) (формула наращения по простым процентам)
(1+ Ni) (множитель наращения, показывает во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной)

P = S / (1 + iN) (математическое дисконтирование)
P = S (1 – dN) (банковский или коммерческий учет)
(1 – dN) (дисконтный множитель, показывает во сколько раз сумма, получаемая при учете, меньше номинальной стоимости векселя)

I = PNi (проценты или процентные деньги)
D = SNd (дисконт или скидка)

t = t- t (если t< t, то t = (t+ 365) - t)


N = при вычислении возможно применение трех методик:

- (365/365) - Британская практика (точные проценты с точным сроком пользования кредитом)

- (365/360) - Французская практика (обыкновенные проценты с точным сроком пользования кредитом)

- (360/360) - Германская практика (обыкновенные проценты с приближенным сроком пользования кредитом)

По умолчанию применяем Французскую методику (365/360).
Задача 1. Банк выдал кредит 10000 руб., за который начислил 250 руб. процентных денег (кредит выдан на 6 месяцев).

Какова процентная ставка?


Дано:

P = 10000 руб.

I = 250 руб.

N = 0,5 г.

Найти:

i - ?

Решение:




Задача 2. Кредит 20000 руб. выдан на 6 месяцев под 24% годовых, начисляемых по простой процентной ставке. Вычислите возвращаемую сумму.


Дано:

P = 20000 руб.

N = 0.5 г.

i = 24% = 0.24

Найти:

S - ?

Решение:
S = P (1 + Ni)
S= 20000 (1 + 0.5 * 0.24) = 22400(руб.)




Задача 3. 20 декабря 1998 года учтен вексель сроком погашения 9 апреля 1999 года. Вычислить номинальную стоимость векселя, если процентная

ставка дисконтирования – 30% годовых, а за вексель получено 2 940 рублей.



Дано:

P = 2940 руб.

t= 354 (20.12.98)

t= 99 (20.12.99)

d = 30% = 0.30

К = 360

Найти:

S - ?


Решение:

S = P / (1 - d)

t = (99 + 365) – 354 = 110

S = 2940 / (1 - *0.30) = 3236.70
Ответ: номинальная стоимость векселя 3236,70 рублей.




Задача 4. Кредит 20000 руб. выдан 17 февраля 2000 г. под 30% годовых, начисляемых по простой процентной ставке. Найти возвращаемую сумму, если день погашения кредита 20 декабря 2000г.

Решить задачу с использованием трех методик.



Дано:

P = 20000 руб.

t= 48 (17.02.00)

t=355 (20.12.00)

i = 30% = 0.30
Найти:

S - ?

(по 3 методикам)

Решение:

S = P (1 + i)

a) (360/360): К = 360; t = (30−17) + 30 · 9 + 20 = 303;


S = 20000 (1 + 0.30 · 303/360) = 25050(руб.)
б) (365/365): К = 366; t= 48; t= 355;

(найдено по таблице; год високосный)

t = 355 − 48 = 307

S = 20000 (1 + 0.30 · 307/366) = 25032.79(руб.)
в) (365/360): К = 360; t = 307;

S = 20000 (1 + 0.30 · 307/360) = 25116.67(руб.)
Ответ: самая выгодная для кредитора

Французская методика,

возвращаемая сумма - 25116,67 рублей.



Задача 5. За сколько месяцев до даты погашения необходимо учесть вексель, чтобы получить треть его номинальной стоимости (учетная ставка 40%).

Дано:

D = (2/3)S

d = 0.40
Найти:

- ?


Решение:

D = SNd N =

= = 20

Ответ: вексель необходимо учесть за

20 месяцев до даты погашения.



Задача 6. Сколько дней понадобится, чтобы 50000 рублей «заработали» 400 рублей, если они инвестируются при 22% обыкновенного простого процента.

Дано:

P = 50000 руб.

I = 400 руб.

i = 22% = 0.22

К = 360
Найти:

t - ?


Решение:
I = P∙i∙t / K

t = (K∙I) / (P∙i)

t = (360∙400) / (50000∙0.22) = 13.1≈ 14(дней)
Ответ: 14 дней, т.к. через 13 дней проценты меньше 400 рублей.

Задача 7 Вы владелец векселя на сумму 24000 руб. со сроком погашения

20.02 2001 года. Банк учитывает долговые обязательства по учетной ставке 35% годовых. Рассчитайте срок учета векселя в банке, если вам нужно получить не меньше 20000 руб.


Дано:
P = 20000 руб.

S = 24000 руб.

t=51 (20.02.01)

d = 35% = 0.35

K = 360
Найти:

t - ?


Решение:

P = S (1 - d ) t = (S – P)∙K / (S∙d)

t = (24000-20000)∙360 / (24000∙0.35) =171.43 ≈ 171

(за 172 дня до 20.02 сумма будет меньше 20000)
t = t+366 – t

t = 51+366-171 = 246

Ответ:

2 сентября 2000 года (найдено по таблице)

Тема 2. «Сложные проценты».

Р – первоначальная сумма денег

S – наращенная сумма

I – проценты или процентные деньги (I = S – P)

D – дисконт или скидка (D = S – P)

m – число периодов начисления в году

i – годовая процентная ставка наращения (m =1; n = N)

j – годовая номинальная ставка сложных процентов (m ≠ 1)

i - годовая эффективная процентная ставка

d – годовая учетная ставка (m =1; n = N)

d - годовая эффективная учетная процентная ставка

f – номинальная учетная ставка (m ≠ 1)

N – календарный срок пользования кредитом (в годах)

n – срок пользования кредитом в периодах начисления (n = mN)

а – целая часть n; b - дробная часть (n = a + b)

δ - сила роста
Наращение

m = 1

S = P(1 + i)ⁿ I = P((1 + i)ⁿ - 1)
n = i = (S/P)- 1
S = P· (1 + i)ª · (1 + b ·i) ( n = N – дробное число)
S = P /(1 – d) ⁿ

m ≠ 1

S = P (1 + j/m) I = P ((1 + j/m) - 1)
N = j = m ((S/P) - 1)
S = P· (1 + j/m)ª · (1 + b · j/m) (n = mN – дробное число)

S = P /(1 – f/m)


i = (1 + j/m) - 1 j = m· ((1 + i) - 1)
Дисконтирование

m = 1

P = S (1 – d) ⁿ D = S ((1 – d) ⁿ - 1)
n = d = 1 - (P/S)
P = S· (1 - d)ª · (1 - b ·d) ( n = N – дробное число)
P = S / (1 + i)ⁿ
m ≠ 1

P = S(1 – f/m) D = S((1 – f/m)- 1)
N = f = m (1 - (P/S))
P = S· (1 - f/m)ª · (1 - b · f/m) (n = mN – дробное число)
P = S / (1 + j/m)

d = 1 – (1 – f/m) f = (1 − (1 – d) )·m

Сила роста

S = Pe P = Se
N = ln(S/P)/δ δ = ln(S/P)/N
δ = ln(i + 1) i = e- 1
δ = m∙ln(j/m + 1) j = (e- 1)∙m

Приведение − это определение любой стоимостной величины на некоторый момент времени.

Наращение и дисконтирование могут рассматриваться как частные случаи приведения: наращение – приведение в будущее, дисконтирование – в прошлое.

Сравнивать (суммировать, вычитать и т.п.) можно только суммы, относящиеся (приведенные) к одной дате.

Сумма платежа с датой погашения называется датированной суммой. При сравнении датированных сумм нужно обязательно знать используемую процентную ставку.

Две датированные суммы эквивалентны (при данной процентной ставке), если при приведении к одной дате они равны.

Эффективная ставка - это процентная ставка сложных процентов, которая начисляется один раз в год и дает тот же финансовый результат, что и ставка сложных процентов, начисляемая несколько раз в год.

Равный финансовый результат значит, что за год на каждый рубль капитала, имевшегося в начале года, начислены равные проценты.

Любые две процентные ставки − номинальные или эффективные, дающие одинаковый финансовый результат в конце года, называются годовыми эквивалентными или просто эквивалентными.

Так как результат применения эквивалентных процентных ставок одинаков, заданную процентную ставку всегда можно заменить на эквивалентную ей.

Формулы, устанавливающие правила перехода от одной ставки к другой, можно получить, приравняв соответствующие множители наращения (дисконтирования).

Задача 1. Банк представил ссуду в размере 40000 рублей на 10 месяцев под 22% годовых. Проценты начисляются 4 раза в год. Рассчитайте возвращаемую сумму.


Дано:
P = 40000 руб.

N = 10/12

j = 22% = 0.22

m = 4
Найти:

S - ?

Решение:
n = m∙N = 5/6 ∙ 4 = 10/3 = 3 + 1/3
S = P· (1 + j/m)ª · (1 + b · j/m)
S =40000·(1+0.22/4)3·(1+1/3 · 0.22/4)=47830.77



Задача 2. Есть два векселя:

один – номинальной стоимостью 10000 рублей с датой погашения через 2 года; второй – с датой погашения через 5 лет на 15000 рублей.

Если деньги стоят 4% годовых, начисляемых ежеквартально, определить какая одноразовая выплата может погасить весь долг

а) в настоящее время;

б) через 2 года;

в) через 5 лет.

Каждую сумму приводим (наращиваем или дисконтируем) на три заданных момента времени (результаты в таблице) и сравниваем.

сумма

настоящее

время

через

два года

через

пять лет

1

9234,83

10000,00

11268,25

2

12293,17

13311,74

15000,00

всего

21528,00

23311,74


26268,25

Все три итоговые суммы эквивалентны (проверить).
Задача 3. Банк начисляет 6% годовых по ставке сложных процентов.

Первый взнос 6000 рублей был сделан 2.04.94 г.

Второй взнос 8000 рублей – 8.02.95 г.

Какая сумма будет на счете 8.08.98 г.?


Дано:

P= 6000 руб.

t= 92 (2.04.94)

P= 8000 руб.

t= 39 (8.02.95)

t = 220 (8.08.98)

i = 6% = 0.06

Найти:

S - ?

Решение:
n = a + b; S = P· (1 + j/m)ª · (1 + b · j/m); b =





S = 7736.46 + 9815.56 = 17552.02



Задача 4. Для клиента имеются следующие варианты:

а) банк 1 32% годовых − начисление процентов по полугодиям

б) банк 2 31% годовых − начисление процентов ежеквартально

С помощью эффективной годовой процентной ставки определить какой вариант выгоднее для клиента.


Дано:

m1 = 2

j= 32% = 0.32

m2 = 4

j=31% = 0.31
Найти:

iэ - ?


Решение:
i = (1 + j/m) - 1

a) i1 = (1 + 0.32/2)2 – 1 = 0.3456

б) i2 = (1 + 0.31/4)4 – 1 = 0.3479
Ответ:

для вкладов выгоднее второй банк;

кредиты выгоднее брать в первом банке.


Задача 5. Найти ежемесячную ставку процентов эквивалентную ежеквартальной учетной ставке 12%?


Дано:
f = 12% = 0.12

m1 = 4

m2 = 12
Найти:

j - ?

Решение:
S = P (1 + j/m2); S = P /(1 – f/m1);

(1 + j/m2)=(1 – f/m1);


j = ((1 – f/m1) 1) m1;
j = 0.122457 ≈ 12.25%



Задача 6. Какой должна быть процентная ставка сложного процента, чтобы первоначальный капитал 110000 рублей возрос до 120000 за 2 года. Решить эту задачу для случая начисления процентов 4 раза в год.


Дано:

P = 110000 руб.

S = 120000 руб.

N = 2

m = 4
Найти:

j - ?

Решение:
S = P· (1 + j/m)mN
j = m ((S/P) - 1)
j = 4 ((12/11) - 1) = 0.04374 = 4.374%



Задача 7. За какой срок первоначальный капитал 60000 рублей увеличится до 62000 рублей, если на него будут начисляться 12 раз в год сложные проценты по ставке 6% годовых?


Дано:
P = 60000 руб.

m = 12

j = 6% = 0.06

S = 62000 руб.
Найти:

N - ?

Решение:

N =
N = = 0,5478 (лет)
Ответ:

0,5478 (лет) ≈ 7(мес.) ≈ 200(дней)



следующая страница >>