birmaga.ru
добавить свой файл

1 2 3 4
  1. Примеры решения задач



Пример 1. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой имеет вид , где , , . Для момента времени определить: 1) координату точки; 2) мгновенную скорость ; 3) мгновенное ускорение ; 4) среднюю скорость за промежуток времени с момента начала движения до .

Решение


Дано:

x = A+Bt+Ct3

A = 4 м

В = 2 м/c

С = -0,5 м/c3

t1 = 2c
x1 - ?

v1 - ?

a1 - ?

- ?



1. Координату точки, для которой известно кинематическое уравнение движения, найдем, подставив в уравнение движения заданное значение времени :

.

Подставив в это выражение значения постоянных А, В, С, и , произведем вычисления: .


2. Уравнение, описывающее зависимость скорости от времени, найдем, продифференцировав координату по времени: . Тогда в заданный момент времени мгновенная скорость .

Подставим сюда значения В, С, и произведем вычисления:

.

Знак минус в полученном значении скорости указывает на то, что в данный момент времени скорость материальной точки направлена в сторону, противоположную положительному направлению оси X.

3. Функциональную зависимость ускорения от времени найдем, используя определение ускорения, как второй производной от координаты по времени:

.

Подставим значения С, и произведем вычисления

.

4. По определению, среднее значение скорости равно: , где S – путь, пройденный точкой за время .

Если в течение рассматриваемого промежутка времени скорость точки не изменяется по направлению, то


,

где x(t1) и x(t0) – координаты материальной точки в конечный и начальный моменты времени, соответственно.

В нашем случае в начальный момент времени с скорость точки равна 2 м/с, а в момент времени скорость - . Следовательно, в некоторый момент времени скорость точки обращается в нуль, т.е. в этот момент времени материальная точка изменяет направление своего движения. Тогда весь путь, пройденный точкой, можно представить в виде:, где - путь, пройденный точкой до остановки, а - путь, пройденный в обратном направлении.

Найдем момент времени, в который скорость точки равна нулю: .

Отсюда . Подставив численные значения, получим: =1,155 с.

Тогда =7,08 м,

=4 м,


Cледовательно, S=(7,08-4)+(7,08-4)=6,16 м, средняя скорость =3,08 м/с.

Пример 2. Тело массой 10 кг движется вверх по наклонной плоскости. На тело действует сила F=100 Н, направленная вверх под углом = к поверхности наклонной плоскости. Коэффициент трения =0,1. Угол наклона плоскости =. Определить ускорение, с которым движется тело.




Решение

При движении тела кроме силы на него действуют также: сила тяжести -, сила реакции опоры - и сила трения -, показанные на рисунке.

Ускорение тела определим, используя основной закон динамики, который в векторной форме в условиях данной задачи имеет вид:

(1)

Направим ось X вдоль наклонной плоскости в сторону движения тела, а ось Y - перпендикулярно к ней.

Запишем уравнение (1) в проекциях на выбранные оси координат.

На ось X: (2)


на ось Y: (3)

По определению силы трения: .

Силу реакции опоры найдем из уравнения (3):

.

Тогда .

Подставим это выражение в (2) и получим рабочую формулу: .

Проведя подстановку данных и вычисления, найдем: а=3,3м/с2.

Пример 3. К ободу однородного диска радиусом 0,2 м, вращающегося вокруг своей оси, приложена касательная сила F=98,1 Н. При вращении на диск действует момент сил трения Найти массу диска, если известно, что диск вращается с угловым ускорением =100 .
Р
Дано:
R=0,2 м

F=98,1 Н

Мтр = 4,9 Н м

= 100 рад/c2
m - ?
ешение

Известно, что момент инерции диска относительно оси, проходящей через его центр, равен: .

Отсюда масса диска: (1)


Воспользовавшись законом динамики вращательного движения твердого тела, найдем момент инерции J:

, (2)

где М - результирующий момент сил, под действием которого вращается диск. Запишем уравнение (2) в проекции на ось вращения (с учетом направлений моментов).

. (3)

Здесь – момент силы F относительно оси вращения.

Подставляя (2) и (3) в (1), находим:

.

Проведя необходимые расчеты, получим: m=7,36 кг.

Пример 4. Два свинцовых шара массами =2 кг и =3 кг подвешены на нитях длиной L=70 см. Первоначально шары соприкасаются между собой, затем меньший шар отклонили на угол и отпустили. Считая удар центральным и неупругим, определить: 1) высоту h, на которую поднимутся шары после удара; 2) энергию , израсходованную на деформацию шаров при ударе.
Решение
Проведем анализ движения тел в данной задаче. Движение шаров можно разбить на три этапа.

На первом этапе (до соударения) шар массой m1 движется под действием только консервативных сил (сила трения отсутствует). Следовательно, на этом участке движения выполняется закон сохранения механической энергии:


, (1)

где - начальная высота, на которой находился отклоненный шар, - скорость этого шара непосредственно перед ударом.

Второй этап – неупругое соударение шаров, при котором выполняется закон сохранения импульса:

,

где и - скорости шаров до удара, - скорость шаров, движущихся как единое целое, непосредственно после удара.

С учетом того, что, получим:

. (2)

Из уравнения (2) очевидно, что скорость шаров сразу после удара будет направлена вдоль оси Х, так же как и скорость первого шара непосредственно перед соударением. Поэтому, уравнение (2) в проекциях на ось Х будет иметь вид:

. (3)

На третьем этапе движения шаров после удара снова выполняется закон сохранения механической энергии:

. (4)

Отсюда искомая высота .


Используя уравнения (3) и (1), получим:,

.

Тогда .
Энергия, израсходованная на деформацию шаров при ударе:

. (5)

Проведя подстановку и преобразования, получим:

.

Вычислим: 1) h=0,056 м; 2) =4,12 Дж.

Пример 5. Кинетическая энергия Ек электрона равна . Определить скорость электрона, его релятивистские массу и импульс, а также полную энергию.



следующая страница >>