birmaga.ru
добавить свой файл

  1 2 3
Тема 3. «Начисление процентов и инфляция».

α − уровень инфляции (на сколько процентов за год из-за инфляции выросли цены).

I − индекс инфляции (показывает во сколько раз выросли цены за рассматриваемый период).

S − наращенная сумма с учетом инфляции

i − процентная ставка без учета инфляции (реальная доходность)

i − брутто-ставка (реальная доходность плюс так называемая инфляционная премия)

а – целая часть N

b - дробная часть (N = a + b)

Инфляция – это процесс обесценивания национальной валюты, т.е. снижение её покупательной способности и общего повышения цен.
I = (1 + α)ⁿ I= (1 + α)ª · (1 + b · α)
а) При начислении простых процентов:
Sα = Р(1 + ni)Iα или Sα = Р(1 + ni)
i= ((1 + ni)I-1)/n i = (1 + ni−I)/nI

б) Сложные проценты, начисление процентов 1 раз в год (n = N):

Sα = P (1 + i)ⁿ Iα или Sα = P(1 + iα)ⁿ
i= i + (1 + i) α i = (i− α)/(1 + α)
в) Сложные проценты, начисление процентов m раз в год:
Sα = P (1 + j/m)Iα или Sα = P (1 + jα/m)
j= (m + j) (1 + α)− m j = (m + j) (1 + α)− m
Задача 1. Кредит 50000 рублей выдан на 6 месяцев. Какоq должна быть простая процентная ставка, если кредитор желает получить 10% реальной доходности при уровне инфляции 20% в год? Вычислить наращенную сумму.


Дано:

P = 50000 руб.

N = 0.5 года = b

i = 10% = 0.10

α = 20% = 0.20

Найти:

i- ?

Sα - ?

Решение:

I= (1 + α)ª · (1 + b · α)


I= (1 + 0.5·0.20) = 1.1

i= ((1 + ni)I-1)/n

i= ((1+0.5·0.10) ·1.1 − 1) / 0,5 = 0,31

Sα = Р(1 + ni)

Sα = 50000·(1+0.5·0.31) = 57750



Ответ: процентная ставка – 31%; наращенная сумма – 57750 рублей
Задача 2. Определите реальную доходность финансовой операции банка, если он при уровне инфляции 9% в год выдает кредит на 4 года по номинальной ставке 20% годовых. Проценты начисляются 4 раза в год.


Дано:

α = 9% = 0,09.

jα = 20% = 0.20

m = 4
Найти:

j - ?

Решение:

j = (m + j) (1 + α)− m

j = (4+0.2) (1 +0.09)− 4 = 0.11048

Ответ:

Реальная доходность 11,05%

Задача 3. Предполагаемый уровень инфляции 12% в год. Какая ставка сложных процентов должна быть указана в контракте, если желательна реальная доходность 8%? Чему равна инфляционная премия?



Дано:

α = 12% = 0,12.

i = 8% = 0.08
Найти:

iα - ?

Решение:

i= i + (1 + i) α

i= 0.08 + (1 + 0.08) 0.12 = 0.2096 = 20.96%

20.96% − 8% = 12.96%
Ответ: брутто-ставка 20.96%;

инфляционная премия 12.96%



Тема 4. «Потоки платежей».

N – срок ренты (в годах);

p − число платежей в год ( Np − число периодов ренты);

R − годовой платёж (R/p − разовый платёж);

i − годовая процентная ставка (m=1);

j − номинальная процентная ставка (m≠1);

m − число начислений процентов в год;

n − число периодов начислений процентов за весь срок ренты (n = Nm);

S − наращенная сумма ренты;

А − современная величина (стоимость) ренты.

Ŝ - наращенная сумма ренты пренумерандо;

 - современная стоимость ренты пренумерандо.

Ряд последовательных выплат и поступлений называют потоком платежей Аннуитет (финансовая рента)это поток платежей, сделанных через равные промежутки времени. Все члены ренты положительные величины, обычно одинаковые.

Период ренты – временной интервал между двумя соседними платежами. Срок ренты – время от начала первого до конца её последнего периода.

Если платежи осуществляются в конце каждого периода, ренты называются обычными или постнумерандо. Если же выплаты производятся в начале каждого периода - пренумерандо.

Наращенная сумма ренты определяется как датированная сумма, эквивалентная всей серии платежей на конец срока ренты.


Другими словами наращенная сумма потока платежей - это сумма всех его членов с начисленными на них процентами к концу срока ренты.

Современная величина (стоимость) аннуитета определяется как датированная сумма, эквивалентная всей серии платежей на начало срока ренты.

Другими словами под современной величиной потока платежей понимают сумму всех его членов, приведённых (дисконтированных) на некоторый момент времени, совпадающий с началом срока ренты или предшествующий ему.

Наращенная сумма и современная стоимость ренты – эквивалентные суммы, приведённые на начало (современная величина) и конец (наращенная сумма) срока ренты.

а) Обычная годовая рента ( n=N )
S = R А = R

б) Рента р-срочная, р≥1, m≥1

S = R/p· А = R/p·

в) Годовая рента, начисление процентов m раз в год.

S = R А = R

г) Рента р-срочная, m = 1 ( n=N ).

S = R/p A = R/p

д) Рента р-срочная, p = m.


S = R А = R

е) Рента пренумерандо
Ŝ = S(1 + j/m) Â = A(1 + j/m)

Иногда при разработке контракта необходимо по заданной наращенной сумме ренты или её современной стоимости определить остальные параметры. Для этого задаются все параметры кроме одного, который рассчитывается. Такие расчёты повторяются при различных значениях задаваемых параметров, пока не будет достигнуто согласие сторон.
Задача 1. В счет долга 100000 рублей в конце каждых шести месяцев осуществляются платежи по 20000 рублей до полного возмещения долга.

Составить план погашения кредита, если 6% годовых начисляются 2 раза в год (заключительный платеж может быть неполным).

Из условия задачи следует, что за период начисляется 3% от суммы долга на начало периода.

ПЛАН ПОГАШЕНИЯ КРЕДИТА.



Сумма долга на начало периода

Сумма процентных денег за период

Погасительный платеж

Сумма погашенного долга

1

100000.00

3000.00

20000.00

17000.00

2

83000.00

2490.00


20000.00

17510.00

3

65490.00

1964.70

20000.00

18035.30

4

47454.70

1423.64

20000.00

18576.36

5

28878.34

866.35

20000.00

19133.65

6

9744.69

292.34

10037.03

9744.69

Итого:

10037.03

110037.03

100000.00


Задача 2. Для выплаты займа делают платежи по 5000 рублей в конце каждых 6 месяцев. При получении займа установлена процентная ставка 5,5% годовых, начисляемых по полугодиям.

Какой является неуплаченная часть займа в настоящий момент, если

а) осталось сделать 30 платежей, чтобы полностью возместить заем;

б) кроме 30 платежей по 5000 рублей, необходим еще один взнос – 2000 рублей через шесть месяцев?


Дано:

R/p = 5000 руб.

p = m = 2

j = 5.5% = 0.055

а) Np = 30 = Nm

б) S = 2000


n = Nm + 1

Найти:

A - ?

( A + P ) - ?


Решение:

mN = pN − число платежей

А = R/m

A = 5000(1− 0.443144214)/0.0275 = 101246.51 (a)
S = P (1 + j/m)

P = 862.57
( A + P ) = 102109.08 (б)



Задача 3. Компания получила заем, который будет выплачивать по 50000 рублей в месяц. Первая выплата должна быть сделана через 2 года, а последняя – через 5 лет от даты заключения сделки.

Какую сумму получила компания в день заключения сделки

(процентная ставка - 6% годовых, проценты начисляются ежемесячно)?
платежи 50 50 50 … 50 50

месяцы 0 1 2 3 … 23 24 25 26 … 59 60


Дано:

R/p = 50000 руб.

p = m = 12

j = 6% = 0.06

n = 37

n = 23
Найти:

P - ?

Решение:

А = R/m

A = 50000(1− 0.831487481)/0.005 = 1685125.186 = S

S = P (1 + j/m)
P = 1502494.01




<< предыдущая страница   следующая страница >>