birmaga.ru
добавить свой файл

1
Олимпиадные задания для 5 класса по математике.


Плюс-минус один

1.

Зайцы нашли в лесу бревно длиной 6 м. Чтобы отнести домой, они распилили его на части длиной по 1 метру. Сколько они сделали распилов?

2.

Из книги выпал кусок, у первой страницы которого номер 35, а у последней — 74. Сколько страниц выпало?

3.

Теперь у зайцев уже несколько бревен. Они распили все бревна, сделав 20 распилов, и получили 27 чурбачков. Сколько бревен было у зайцев?

4.

Сколько всего существует двузначных чисел? А трёхзначных?

5.

Улитке надо подняться на столб высотой 10 м. Каждый день она поднимается на 4 м, а каждую ночь сползает на 3 м. Когда улитка доползёт до цели, если она стартовала в понедельник утром?

6.

Главное здание МГУ состоит из нескольких секторов. Этажи в разных секторах отличаются по высоте. Из-за этого, например, получается, что переходы с 13 этажа сектора А ведут на 19 этаж секторов Б и В. Как соотносятся по высоте этажи в этих секторах?

7.

Сколько раз за сутки на часах минутная стрелка обгонит часовую?

Дополнительные задачи

8.

Для нумерации страниц в книге потребовалось 2322 цифры. Сколько страниц в этой книге?

9.

В ряд выписаны все натуральные числа:

1234567891011121314151617181920...

Какая цифра стоит на 2010 месте?

10.

Серёжа купил тетрадь объемом 96 листов и пронумеровал все её страницы по порядку числами от 1 до 192. Данил вырвал из этой тетради какие-то 50 страниц и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Докажите, что у него не могла получиться сумма 2010.

Чётность

0.

Что такое чётные и что такое нечётные числа? Каким является число 0: чётным или нечётным?

Решение

Решение. Чётным называется число, которое делится на 2 (нацело). Нечётным — число, которое не делится на 2.

0 — чётное число, т.к. 0:2=0.


1.

Можно ли разменять 25 лир десятью монетами в 1, 3 и 5 лир?

Решение

Решение. Нет, так как сумма чётного количества (в данном случае 10) нечётных слагаемых будет чётным число. Но 25 — нечётное число.

2.

Существуют ли два натуральных числа, сумма и произведение которых нечётны?

Решение

Решение. Нет, не существуют.

Если бы такие числа существовали, то для того, чтобы их произведение было нечётным, нужно, чтобы они оба были нечётными. Но тогда их сумма будет чётной. Противоречие.

3.

Хулиган Гоша порвал школьную стенгазету на 3 части. После этого он взял один из кусков и тоже порвал на 3 части. Потом опять один из кусков порвал на 3 части и т.д. Могло ли у него в итоге получиться 100 частей?

Решение

Решение. Нет, не могло. Если любой кусок стенгазеты разорвать на 3 части, то общее число кусков увеличится на 2. Значит, общее количество частей всегда будет нечётным. Но 100 — чётное число.

4.

Обозначим буквой Ч чётные числа, а буквой Н — нечётные. Заполните пропуски так, чтобы получились верные соотношения: Ч + Ч = ◯ Ч · Ч = ◯

Ч + Н = ◯ Ч · Н = ◯

Н + Ч = ◯ Н · Ч = ◯

Н + Н = ◯ Н · Н = ◯

Ответ

Ответ. Ч + Ч = Ч Ч · Ч = Ч

Ч + Н = Н Ч · Н = Ч

Н + Ч = Н Н · Ч = Ч

Н + Н = Ч Н · Н = Н

5.

На шахматной доске на одной из клеток стоял конь. Он сделал несколько ходов и вернулся в ту же клетку. Четное или нечетное число ходов он сделал?

Решение Ответ

Решение. После каждого хода коня меняется цвет клетки, на которой он стоит (Т.е. с чёрной клетки он переходит на белую, с белой — на чёрную.) В итоге конь вернулся на ту же клетку, на которой он был изначально (т.е. на клетку того же цвета). Значит, он сделал чётное число ходов.

Ответ. Чётное.

6.

В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли между ними расставить знаки "+" и "−" так, чтобы получился 0?


Решение

Решение. Нельзя, так как среди чисел от 1 до 10 нечётное количество нечётных.

7.

Парламент состоит из двух равных по численности палат. На совместном заседании, связанном с принятием важного решения, присутствовали все представители обеих палат. Из-за важности вопроса при голосовании никто не воздержался. После подведения итогов было объявлено, что решение принято большинством в 25 голосов. Оппозиция закричала: "Это обман!" Как это удалось определить?

Решение

Решение. Посмотрим на общее количество депутатов в обеих палатах. Оно чётно, так как весь парламент состоит из двух одинаковых по численности палат.

Обозначим количество депутатов, голосовавших против, за x. Тогда тех, кто голосовал за, было x + 25. Общее число депутатов тогда должно быть равно 2x + 25 — нечётному числу. Но мы знаем, что оно чётно. Значит, голоса были посчитаны неправильно.

8.

На этот раз хулиган Гоша исправил две цифры в примере на умножение. Получилось 4·5·4·5·4=2247. Помогите учительнице Марье Петровне восстановить исходный пример. (Определите, какие цифры на что были исправлены, и объясните, почему по-другому это сделать было нельзя.)

Решение Ответ

Решение. Наличие любого из трёх множителей 4 в левой части равенства приводит к тому, что в правой части должно стоять чётное число, которое оканчиваться на нечётную цифру 7 не может. Так как все три этих множителя мы изменить не можем, значит, чтобы получить изначальное равенство, точно нужно поменять цифру 7.

Кроме этого, остаётся поменять ещё только одну цифру. В левой части равенства есть два множителя 5. Наличие любого из них означает, что число в правой части оканчивается на 5 или на 0. Так как хотя бы одна из этих пятёрок точно была изначально, то получается, что на месте 7 было 5 или 0. Слева точно были четвёрки (так как их целых три), поэтому последняя цифра правого числа точно была чётной, т.е. 0.

Осталось определить ещё одну изменённую цифру. Если ничего не менять слева, то значит, справа должно быть 4·5·4·5·4=1600. Но 1600 из 2240 заменой одной цифры не получается. Значит, второе изменение точно было слева, а справа точно было 2240.

2240 содержит только один простой множитель 5. Значит, точно одну из пятёрок слева нужно заменить на другую цифру так, чтобы произведение было равно 2240. Эта цифра 2240:4:4:4:5=7. Т.е. одну из пятёрок надо заменить на 7.

Ответ. 4·7·4·5·4=2240 или 4·5·4·7·4=2240.

Дополнительные задачи

9.

На чудо-дереве росли 30 апельсинов и 25 бананов. Каждый день садовник снимал ровно два фрукта. Причем, если он снимал одинаковые фрукты, то на дереве появлялся новый банан, а если разные — новый апельсин. В конце концов, на дереве остался один фрукт. Какой: банан или апельсин?

Решение Ответ

Решение. После того, как садовник снимает два фрукта, возможны три ситуации:

— сняли два апельсина. Тогда число апельсинов уменьшилось на 2, а число бананов увеличилось на 1.

— сняли два банана. Тогда число апельсинов не изменилось, а число бананов уменьшилось на 1.

— сняли один апельсин и один банан. Тогда число апельсинов не изменилось (один сорвали, один вырос), а число бананов уменьшилось на 1.

Получается, что число апельсинов всегда либо не изменяется, либо уменьшается на 2. Изначально апельсинов было 30 — чётное число. Так как чётность их количества никогда не меняется, то остаться 1 апельсин не может, так как 1 — нечётное число. Значит, остался банан.

Ответ. Банан.

10.

Квадрат размером 6×6 покрыт без наложений костями домино размером 1×2. Докажите, что можно разрезать квадрат, не повредив ни одной доминошки.

Решение

Решение. Покажем, что любая прямая, проходящая по линиям клеток, разрезает чётное количество доминошек. С каждой из двух сторон относительно любой такой прямой будет чётное число клеток (так как каждая из двух частей, на которые оказалась разрезана доска, состоит из нескольких строк или столбцов по 6 клеток). Но если оказалось, что прямая разрезала нечётное число доминошек, то каждая из этих частей должна состоять из нескольких доминошек по 2 клетки и нечётного количества половинок доминошек по 1 клетке. Т.е. в этом случае такие части должны состоять из нечётного количества клеток. Противоречие.


Предположим теперь, что любая из 10 прямых (5 вертикальных, 5 горизонтальных) разрезает хотя бы одну доминошку. Так как 1 — нечётное число, то каждой прямой должно быть пересечено хотя бы 2 доминошки. При этом каждая доминошка может быть пересечена не более, чем одной прямой. Значит, всего доминошек должно быть не меньше, чем 10·2=20. Но их только 36:2=18. Противоречие. Значит, есть прямая, которая не пересекает ни одной доминошки. По ней и нужно разрезать доску.

Логические задачи

1.

В три банки с надписями "малиновое", "клубничное" и "малиновое или клубничное" налили смородиновое, малиновое и клубничное варенье. Все надписи оказались неправильными. Какое варенье налили в банку "клубничное"?

Решение Ответ

Решение. Так как все надписи неправильные, то в третьей банке не может быть ни малиновое, ни клубничное варенье. Значит, там смородиновое варенье. Тогда клубничное и малиновое должны быть в первых двух банках. А так как надписи неправильные, то в банке "клубничное" на самом деле малиновое варенье.

Ответ. Малиновое.

2.

Когда учительница ругала Дениса за плохой почерк, он сказал: "У всех великих людей был плохой почерк, значит, я великий человек." Прав ли он?

Решение

Решение. Нет, он неправ.

Первым утверждением он говорит, что если человек великий, то у него плохой почерк. Но из этого совершенно не следует, что обратное утверждение тоже верно: то есть, что человек с плохим почерком великий. Таким образом, его вывод неверен.

Можно привести много верных математических утверждений, обратные к которым неверны. Например: если два числа чётны, то их сумма тоже чётна. Но совсем не обязательно, что если сумма двух чисел чётна, то оба они тоже чётны (3 + 5 = 8).

3.

У императора украли перец. Как известно, те, кто крадут перец, всегда лгут. Пресс-секретарь заявил, что знает, кто украл перец. Виновен ли он?

Решение Ответ


Решение. Предположим, что он виновен. Значит, он должен всегда лгать. Кроме того, так как это он украл перец, то он должен знать, кто его украл: это он сам. Но тогда получается, что он сказал правду. Противоречие.

Значит, наше предположение неверно, и виновным он быть не может.

Ответ. Нет.

4.

Среди четырёх людей нет трёх с одинаковым именем, или с одинаковым отчеством, или с одинаковой фамилией, но у каждых двух совпадает или имя, или фамилия, или отчество. Может ли такое быть?

Решение

Решение. Может. Например:

Иванов Александр Сергеевич

Иванов Павел Васильевич

Гусев Александр Васильевич

Гусев Павел Сергеевич

5.

Ковбой Джо приобрел в салуне несколько бутылок Кока-Колы по 40 центов за штуку, несколько сэндвичей по 24 цента и 2 бифштекса. Бармен сказал, что с него 20 долларов 5 центов. Ковбой Джо высказал бармену всё, что он думает о его умении считать. Действительно ли бармен ошибся?

Решение

Решение. Выразим цены всех товаров в центах. Так как 40 — чётное число, то несколько бутылок Кока-Колы, купленные Джо, стоят чётное число центов. Аналогично сэндвичи стоят чётное число центов. Так как бифштекса два, то оба они вместе также стоят чётное число центов. Получается, что каждый товар стоит чётное число центов, поэтому стоимость всего заказа должна тоже выражаться чётным количеством центов. Но 20 долларов 5 центов — это 2005 центов: нечётное число. Значит, бармен ошибся.

6.

Кто-то подарил Златовласке подарок, положив его на крыльцо её дома. Златовласка подозревает, что это был один из её друзей: Стрекоза, Огонёк или Ушастик. Но как это узнать? Каждый из них указывает на одного из двух других. Правду сказала только Стрекоза. Если бы каждый указывал не на того, на кого указывает, а на второго, то Ушастик был бы единственным, кто сказал правду. Кто же подарил подарок?

Решение Ответ


Решение. Это не могла быть Стрекоза, так как если бы это она подарила подарок, то она указала бы на себя, так как она сказала правду. Из таких же соображений следует, что это не мог быть Ушастик. Значит, это был Огонёк.

Ответ. Огонёк.

7.

Кто-то из трёх друзей таким же образом подарил подарок Синеглазке. На вопросы Синеглазки Огонёк отвечал, что это Ушастик, а что сказали Ушастик и Стрекоза, Синеглазка забыла. Златовласка взяла дело в свои руки и выяснила, что только один из троих сказал правду, и именно он и сделал подарок. Кто подарил подарок?

Решение Ответ

Решение. Так как тот, кто подарил подарок, сказал правду, то он должен был указать на себя. Поэтому подарок подарил не Огонёк, так как он указал на Ушастика. Кроме того, отсюда следует, что он сказал неправду. Значит, подарок подарил не Ушастик. Получается, что это была Стрекоза.

Ответ. Стрекоза.

8.

Клоуны Бам, Бим и Бом вышли на арену в красной, синей и зелёной рубашках. Их туфли были тех же трёх цветов. Туфли и рубашка Бима были одного цвета. На Боме не было ничего красного. Туфли Бама были зелёные, а рубашка нет. Каких цветов били туфли и рубашка у Бома и Бима?

Решение Ответ

Решение. Составим таблицу: Бам Бим Бом

рубашка не зел. одинак. не кр.

туфли зел. одинак. не кр.

У Бама зелёные туфли, поэтому двум другим клоунам остаются синие и красные. У Бама не красные. Значит, у него синие, а красные у Бима. Тогда рубашка у Бима тоже красная. Бам Бим Бом

рубашка не зел. кр. не кр.

туфли зел. кр. син.

Баму и Бому остаются зелёная и синяя рубашки. У Бама не зелёная. Значит, у него синяя, а зелёная у Бома. Бам Бим Бом

рубашка син. кр. зел.

туфли зел. кр. син.

Ответ. У Бома зелёная рубашка и синие туфли. У Бима красная рубашка и красные туфли.

Дополнительные задачи

9.

Богини Гера, Афина и Афродита пришли к юному Парису, чтобы тот решил, кто из них прекраснее. Представ перед Парисом, богини высказали следующие утверждения:

Афродита: "Я самая прекрасная".

Афина: "Афродита не самая прекрасная".

Гера: "Я самая прекрасная".

Афродита: "Гера не самая прекрасная".

Афина: "Я самая прекрасная".

Парис предположил, что все утверждения прекраснейшей из богинь истинны, а все утверждения двух других богинь ложны. Мог ли Парис вынести решение, кто прекраснее из богинь?

Решение Ответ

Решение. Если Афина самая прекрасная, то Афродита не самая прекрасная и должна говорить неправду. Тогда утверждение "Гера не самая прекрасная." должно быть неправдой. Но оно верно. Противоречие.

Если Гера самая прекрасная, то Афина не самая прекрасная и должна говорить неправду. Тогда утверждение "Афродита не самая прекрасная." должно быть неправдой. Но оно верно. Противоречие.

Значит, самой прекрасной может быть только Афродита. Легко убедиться, что это вариант подходит.

Ответ. Афродита.

10.

Каждый житель острова Сонный просыпается всегда одним и тем же способом. Способов всего три: (А) открыть одновременно оба глаза и бежать на зарядку; (Б) открыть сначала левый глаз, а через 16 минут — правый, и бежать на завтрак; (В) открыть сначала правый глаз, а через 27 минут — левый. В социологическом опросе службы "Доброе утро" приняли участие жители городов Кривдина и Правдина, всего 1024 островитянина. Каждому было задано по 3 вопроса: (1) "Просыпаетесь ли Вы способом А?", (2) "Просыпаетесь ли Вы способом Б?", (3) "Просыпаетесь ли Вы способом В?" Ответов "Да" на первый вопрос было 289, на второй вопрос — 361, на третий вопрос — 441. Сколько жителей каждого из городов приняло участие в опросе?

Решение Ответ

Решение. Для каждого человека подходит только один вариант ответа, а два не подходят. Поэтому житель города Правдина должен один раз ответить "Да" и два раза "Нет", а житель города Кривдина, наоборот, один раз "Нет" и два раза "Да". Таким образом, если бы все участники опроса были из Правдина, то ответов "Да" было бы столько же, сколько и участников, то есть, 1024. Каждый житель Кривдина даёт два ответа "Да", добавляя один лишний ответ.


Всего ответов "Да" было 289 + 361 + 441 = 1091. Значит, жителей Кривдина было 1091 − 1024 = 67. А жителей Правдина 1024 − 67 = 957.

Ответ. 957 жителей Правдина и 91 житель Кривдина.

Обратный ход

1.

а)

Ваня задумал число, умножил его на 2, прибавил 3 и получил 17. Какое число задумал Ваня?

б)

На этот раз Гоша задумал число. Потом прибавил к нему 5, разделил на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил 2. Какое число задумано?

Решение Ответ

Решение.

а) Так как после прибавления 3 получилось 17, значит, до этого было 17 − 3 = 14. Число 14 получилось после умножения на 2, значит, до этого было 14:2 = 7.

б) Аналогично проделаем все действия в обратном порядке:

2·7 = 14

14 + 6 = 20

20:4 = 5

5·3 = 15

15 − 5 = 10.

Таким образом, задумано было число 10.

Ответ. а) 7; б) 10.

2.

Женщина собрала в саду яблоки. Чтобы выйти из сада, ей пришлось пройти через четыре двери, каждую из которых охранял свирепый стражник, отбиравший половину яблок. Домой она принесла 10 яблок. Сколько яблок досталось стражникам?

Решение Ответ

Решение. После прохождения каждой двери количество яблок уменьшалось в 2 раза. Так как дверей было четыре, то яблок сначала было 10·2·2·2·2 = 160.

Тогда стражники забрали 160 − 10 = 150 яблок.

Ответ. 150.

3.

В парке посадили в ряд аллею деревьев. Через год между любыми двумя соседними деревьями посадили ещё по одному. Ещё через год проделали то же самое. Стало 1197 деревьев. Сколько их было изначально?

Решение Ответ

Решение. Если в ряд растут несколько деревьев, то мест между ними для посадки новых на 1 меньше, чем деревьев в ряду. Пусть перед тем, как деревья сажали третий раз, их уже было x. Значит, добавилось ещё x − 1 дерево. Так как их стало 1197, то x + x − 1 = 1197. Тогда 2x − 1 = 1197, 2x = 1198, x = 599. То есть, за год до того, как деревьев стало 1197, их было 599.


Дальше будем рассуждать аналогично. Пусть сначала (то есть за год до того, как деревьев стало 599) их было y. Получаем , что 2y − 1 = 599. Тогда y = 300. Значит, изначально деревьев было 300.

Ответ. 300.

4.

Два пирата играли на золотые монеты. Сначала первый проиграл половину своих монет и отдал их второму, потом второй проиграл первому половину своих монет, затем опять первый проиграл половину монет. В результате у первого оказалось 15 монет, а у второго 33. Сколько монет было у каждого из пиратов перед началом игры?

Решение Ответ

Решение. В конце игры у первого пирата стало 15 монет. До этого он проиграл половину своих монет второму, значит, перед последней партией у него было 15·2 = 30 монет, тогда у второго было 33 − 15 = 18 монет. Перед тем, как у пиратов стало соответственно 30 и 18 монет, второй проиграл половину своих первому. Значит, ещё раньше (после первой партии) у второго пирата было 18·2 = 36 монет, а у первого 30 − 18 = 12. Перед этим прошла самая первая партия, после которой первый отдал половину своих монет второму. Значит, в самом начале у первого пирата было 12·2 = 24 монеты, а у второго 36 − 12 = 24.

Ответ. По 24 монеты.

5.

На озере расцвела одна лилия. Каждый день количество цветов на озере удваивалось, и на 20-й день все озеро покрылось цветами. На какой день озеро покрылось цветами наполовину?

Решение Ответ

Решение. Каждый день количество лилий удваивалось. Значит, перед последним 20-м днём лилий было в два раза меньше, чем после него. Т.е. они покрывали половину озера.

Ответ. На 19-й день.

6.

С числами можно выполнять следующие операции: умножать на два или произвольным образом переставлять цифры (нельзя только ставить нуль на первое место). Можно ли с помощью таких операций из 1 получить 74?

Решение

Решение.

74 ← 37 ← 73

74 ← 47

Число 74 можно получить, указанными операциями, из числа 37 (умножением на 2) или из числа 47 (перестановкой цифр). Числа 37 и 47 нечётные, поэтому умножением на 2 их получить нельзя. Перестановкой цифр 37 можно получить из числа 73, а 47 из 74 (начальное число). 73 — нечётное число, поэтому его также можно получить только перестановкой цифр из числа 37 (тоже уже встречалось). Получается, что 74 применением указанных операций можно получить только из чисел 37, 47 и 73. Таким образом, из 1 нельзя получить 74.


7.

Все натуральные числа от 1 до 1000 записали в следующем порядке: сначала были выписаны в порядке возрастания числа, сумма цифр которых равна 1, затем, также в порядке возрастания, числа с суммой цифр 2, потом — числа, сумма цифр которых равна 3 и т.д. На каком месте оказалось число 996?

Решение Ответ

Решение. Сумма цифр числа 996 равна 24. Причём 996 — самое большое из выписанных с такой суммой цифр (так как в первых двух разрядах стоят максимально большие цифры). Значит, перед числом 996 выписаны только числа с суммой цифр 25, 26, 27. (Никакое из выписанных чисел не может иметь сумму цифр, большую 27, так как число 999 имеет максимально возможную сумму цифр из всех трёхзначных, а значит, также и из всех двузначных, и однозначных чисел, а единственное выписанное четырёхзначное число 1000 имеет сумму цифр, равную 1.) Сумму цифр 27 имеет только число 999, сумму цифр 26 — числа 998, 989 и 899, сумму цифр 25 — числа 997, 979, 799; 988, 898, 889. Таким образом, перед числом 996 написано 10 чисел, значит, оно оказалось на 990-м месте.

Ответ. На 990-м месте.

8.

На Малом Мехмате в к. 12-04 всем заходившим туда детям давали шоколадки. Первому зашедшему дали одну шоколадку и десятую часть всех оставшихся, второму зашедшему дали две шоколадки и десятую часть оставшихся, …, девятому зашедшему дали девять шоколадок и десятую часть оставшихся. После этого прибежал Гоша, но, к сожалению, шоколадки уже закончились. Сколько шоколадок получили дети?

Решение Ответ

Решение. Когда пришёл Гоша, то шоколадок уже не осталось, то есть, можно сказать, что их осталось 0 штук. Перед этим в комнату заходил ребёнок (девятый по счёту), которому дали сначала 9 шоколадок, а потом десятую часть оставшихся. Если отдать десятую часть шоколадок, то ещё останется девять десятых. Но девять десятых от количества оставшихся шоколадок оказалось равно 0, значит, и одна десятая тоже равна 0. Таким образом, ребёнок №9 (будем называть его так) получил 9 + 0 = 9 шоколадок. До девятого школьника заходил ребёнок №8. Он получил 8 шоколадок и десятую часть оставшихся. После того, как он ушёл, осталось 9 шоколадок — "девять десятых оставшихся". Значит, "десятая часть оставшихся", равна 1, а всего ребёнок, пришедший восьмым, получил 8 + 1 = 9 шоколадок. Таким образом, перед его приходом было 18 шоколадок. Аналогично можно получить, что перед приходом ребёнка №7 было 27 шоколадок, перед приходом ребёнка №6 — 36 шоколадок, №5 — 45 шоколадок, №4 — 54 шоколадки, №3 — 63 шоколадки, №2 — 72 шоколадки и перед приходом первого ребёнка была 81 шоколадка. Таким образом, дети получили 81 шоколадку.


Ответ. 81 шоколадку.

Дополнительные задачи

9.

Сеня задумал натуральное число, умножил его на 13, зачеркнул последнюю цифру результата, полученное число умножил на 7, зачеркнул последнюю цифру результата и получил 21. Какое число задумал Сеня?

Решение Ответ

Решение. В итоге Сеня получил 21, значит, на предпоследнем шаге у него было число вида "21a", где a — некоторая цифра (вычёркиванием её и получается число 21). "21a" было получено умножением на 7, значит, это число должно делиться на 7. Среди чисел, имеющих указанный вид, это 210 и 217. Эти числа могли быть получены умножением на 7 из чисел 30 и 31 соответственно. Значит, число на предыдущем шаге имело вид: "30b" или "31b", где b — некоторая цифра. Оно было получено из исходного числа умножением на 13, а значит, должно делиться на 13. Заметим, что 299 делится на 13, следующее число, делящееся на 13, равно 312, а следующее за ним — 325. Таким образом, среди чисел вида "30b" и "31b" только 312 удовлетворяет условию. Получается, что на втором шаге было 312, а исходное число, которое задумал Сеня, равно 24. Легко проверить, что 24 подходит: 24·13 = 312 → 31·7 = 217 → 21.

Ответ. 24.

10.

По кругу расставлены 9 нулей и единиц, причём не все расставленные числа равны. За один ход между каждыми двумя соседними числами записывается 0, если эти числа равны, и 1, если они не равны. После этого старые числа стираются. Могут ли через некоторое время все числа стать равными?

Решение

Решение. Предположим, что в некоторый момент все числа стали равными, причём до этого такого не происходило. Если все числа равны 0, то, значит, перед этим любые два соседних написанных числа были равны, так как иначе после очередного хода появилась хотя бы одна 1. Но нетрудно заметить, что из того, что любые два рядом стоящих числа были равны, следует, что все они были равны. Но это противоречит нашему предположению о том, что рассматриваемый момент первый, когда все числа стали равны.

Если же все в рассматриваемый момент все числа равны не 0, а 1, то получается, что в предыдущей расстановке любые два соседних числа были различны (если это не так, то появился хотя бы один 0). Значит, в предыдущей расстановке нули и единицы должны были чередоваться, но так как всего было записано 9 чисел — нечётное число, то этого быть не может. В этом нетрудно убедиться, если выбрать любое число из выписанных и начать двигаться по кругу. Третье, пятое, седьмое и девятое числа будут равны первому. Но первое и девятое числа соседние, а значит, равны быть не могут. Получается, что наше предположение неверно, и все числа стать равными не могут.