birmaga.ru
добавить свой файл

1 2 ... 11 12

Тройная симметрия фрактального калейдоскопа.





Тройная симметрия фрактального калейдоскопа. 1

Предисловие. 1

0. Три касающиеся окружности в искусстве. 3

1. Определение изгиба. 8

2. Три сокасающиеся окружности и тройственные координаты. 11

3. Точки, калибровка прямой и окружности. 16

4. Перестановки трех точек и связанные с ними функции. 18

5. Алфавит, слова и композиции симметрий. 19

6. Симметрии относительно трех окружностей в (А-В) координатах. Дробно-линейные преобразования и цепные дроби. Уравнение золотого сечения. 27

7. Пары точек и гармоническое отношение. 31

8. Калибровка прямой и окружности подробней. Перестановки четырех точек и равенства изгибов. Двойное отношение. Связь изгибов окружностей, построенных на пяти точках между собой. 34

9.Уравнения и предельные точки. Геометрический смысл замены букв в слове. 40

10. Поиск закономерностей в знаковых системах. Инверсионная диаграмма. 43

11. Подведение итогов и пути развития эстетической геометрии. 47


Предисловие.

Эта статья – развитие и применение идей эстетической геометрии, которыми я стараюсь «заразить» и научное сообщество и любителей. Эстетическая геометрия возникает как способ построения красивых образов на основании симметрий относительно окружности и плодотворна в разных разделах математики: фрактальная геометрия, неевклидовы геометрии, проективная геометрия, основания геометрии. Ее основы изложены в электронном учебнике http://revolt33.narod.ru/matem/teachpictures/index.html и сопутствующих материалах на сайте. Занимаясь эстетической геометрией я пришел к тезису – любое математическое понятие может быть содержательно проиллюстрировано в ее рамках, а иллюстрация получается красивой (потому и возникло название «эстетическая» геометрия). Тезис хорошо себя показал на занятиях по основам теории групп для школьников.


В статье изучаются свойства трех касающихся друг друга окружностей. Конечно, напрашивается провести еще четвертую окружность, касающуюся три исходные. Свойства такого «четырехокружника» разбираются в учебнике. Сейчас мы ограничиваемся изучением трех касающихся друг друга окружностей, но делаем это разносторонне и порою - глубоко. Что здесь можно изучать? Сверх того, что рассказывается о них в учебнике? Что вообще в рамках эстетической геометрии можно построить на основе трех окружностей?

Можно отражать их симметрично друг относительно друга, получая первые фигуры фрактальной геометрии. Возникший из трех исходных зеркал-окружностей калейдоскоп очень интересно и полезно исследовать. Многократные отражения позволяют кодировать слова трехбуквенного алфавита, моментально зримо представляя их многие важные свойства. Этот метод называется «Инверсионной диаграммой» и он полезен при изучении случайных процессов, а вероятно и шире – в семиотике. Количественный анализ «фрактального калейдоскопа» требует специальной меры, или координат, естественных для геометрии окружности. Для этого в начале статьи излагается понятие «изгиба» или координат, созданных парой касающихся окружностей. Нам даны три касающиеся окружности, поэтому можно ввести три (точнее 6) такие системы координат. Связи между ними очень важны, правила перехода от одной системы координат к другой просты, элегантны, и основаны на тройственной симметрии. Эта симметрия возникает от того, что все три исходные окружности абсолютно равноправны, ее изучение – простой случай теории групп.

Введя числовую меру для эстетической геометрии мы можем измерять и решать количественные уравнения. Неожиданно, первое нетривиальное уравнение, которое удается составить в эстетической геометрии, имеет решением золотое сечение, известное нам ранее из прямолинейной геометрии Евклида. А сама мера изгиба оказывается эквивалентной двойному отношению в проективной геометрии. Проективная геометрия – раздел геометрии прямых, возникший из изучения перспективы во многом под влиянием эстетических устремлений художников и архитекторов. Оказывается, что свойства двойного отношения определяются и проявляются в геометрии окружности ярче и естественней чем в геометрии прямых. Затем уравнения эстетической геометрии сводятся к дробно-линейным преобразованиям (частному двух линейных функций) и делаются новые приложения к поиску закономерностей в последовательности знаков. Также удается численно описать окружности, возникающие во «фрактальном калейдоскопе». Для этого оказываются полезны цепные дроби. В конце статьи намечаются пути развития эстетической геометрии.


Из-за разнообразия появляющихся математических идей и методов возникает мысль, что материал эстетической геометрии годится для прояснения содержательного, неформального единства математики. С конца 19-го века единство математики устанавливалось и изучалось формально: с помощью теории множеств и математической логики. Это привело к бурному развитию математики, но и затруднило взаимопонимание ученых: изобилие и изощренность формальных, языковых средств сделало современную науку недоступной для всех кроме узкого круга специалистов. Эстетическая геометрия может изменить это положение, отвечая на полузапретный в мире профессиональных математиков вопрос: «что же мы на самом деле изучаем в математике. Я считаю, она – лучший путь к изучению богатейшего мира математики.

Методологически она связана с двумя идеями Лейбница. Его мысль об исчислении, связанном не с внешней системой координат, а с самими изучаемыми фигурами находит разрешение в исчислении симметрий, постоянно используемом в эстетической геометрии. Подобное делал и Бахман в своих работах по основаниям геометрии на основе симметрий относительно прямых. Вторая, связанная с эстетической геометрией мысль Лейбница – его мысль о монадах. Естественной моделью монады является окружность или сфера, относительно которой отражаются остальные монады-окружности (сферы). Это ясно видно, при изучении «фрактального калейдоскопа», который в статье описывается как слова трех (или более) буквенного алфавита. Удобное наглядное представление любой последовательности знаков с помощью фрактального калейдоскопа или инверсионной диаграммы указывает на связь геометрии окружности и семиотики.

Сегодня малоизвестны даже основы геометрии окружности. Поэтому – несколько слов, как удобней читать эту статью. Все основные понятия подробно изложены в учебнике на упомянутом сайте. Но я старался, чтобы главные идеи были ясны и без постоянного просмотра учебника. Единственное, что надо знать заранее - инверсия или симметрия относительно окружности. Все остальные упоминания теорем эстетической геометрии можно и пропустить при первом чтении и вернуться к этим местам позднее, используя уже материал учебника. И, пожалуй – не помешает раньше времени заглянуть в самый конец. Надеюсь, что моя работа не только расскажет об интересных свойствах трех окружностей и фрактального калейдоскопа, но и послужит введением в высшую математику для любителей. А профессионалы найдут в ней новые связи между известными им теориями.


Статья выкладывается в открытый доступ. Я буду рад обсуждению и развитию высказанных в ней идей и результатов, с удовольствием проведу демонстрации своих компьютерных разработок по эстетической геометрии (педагогических и видео-арт), выступлю с разъяснениями и отвечу на вопросы. Со мной можно связаться по электронной почте revoltp@mail.ru. Особая просьба: сообщать о замеченных ошибках (в том числе опечатках) и недочетах. Наука, всякое познание, может твориться в одиночестве, но развивается и цветет в сообществе.

Револьт Пименов, январь – май 2013 г. С-Петербург.



следующая страница >>