birmaga.ru
добавить свой файл

1
Гриднева Анна Владимировна


Статья опубликована

в «Учительской газете в мае 2010 г.»
Технология индивидуально-образовательного маршрута

при организации подготовки к ГИА по математике.

Идея индивидуально-образовательного маршрута принадлежит не мне, я познакомилась с ней, изучая журнал «Математика в школе №3» за 2007 г. Взяв эту идею за основу и добавив свои изменения (данный маршрут рассчитан на отработку не одной темы, а нескольких; были включены задания из КИМов), решила использовать данную технологию для организации завершающего повторения курса алгебры основной школы. Многие учителя согласятся со мной, что именно для повторения часто не хватает времени в конце учебного года. Надеюсь, что мой опыт поможет вам, коллеги, в вашей работе.

Каждый маршрут предназначен конкретному учащемуся и может разрабатываться как для слабого, так и для сильного ученика. Маршрут рассчитан на неделю и состоит из пяти частей:

1. Общие указания. В этой части учащемуся предлагается в процессе работы с учебником ответить на контрольные вопросы, законспектировать ключевые моменты, теоремы, определения и т.д.

2. Решаем вместе. Эта часть состоит из заданий для активного обучения (с комментариями, решениями, ответами).

3. Реши самостоятельно. Эта часть содержит задания, в которых предлагается заполнить пропуски.

4. Самостоятельная работа.

5. Контрольная работа.

При проверке оцениваются разные виды работы:


  • конспектирование учебника;

  • решение подобранных учителем задач;

  • самостоятельная работа;

  • контрольная работа (или мини-тест).

За каждый из них ученик может получить отдельную оценку, причем за контрольную работу или тест он выставляет ее сам. Если у кого-то из ребят появляются вопросы, они приходят и задают их. Я либо рекомендую ученикам еще раз пройти маршрут, либо что-то объясняю.


Использование индивидуально-образовательных маршрутов помогает решать многие задачи, связанные с развитием личности ученика. Способствует формированию у него познавательного интереса к предмету, умения самостоятельно получать знания и применять их для решения конкретных математических задач, в частности использовать в новых более сложных ситуациях. Ребенок учится работать с научной литературой: выявлять причинно-следственные связи, анализировать и обобщать информацию. Он также учится плодотворно работать и добиваться успеха. Ведь главное в нашей работе – вступить с учеником в отношения сотрудничества, тогда процесс научения пойдет сам собой.

Индивидуально-образовательные маршруты можно использовать для часто болеющих детей. Они помогают ребенку овладеть необходимыми знаниями в объеме основной школы.

Приведу примеры двух маршрутов по алгебре.
Тема. Разложение многочлена на множители способом группировки

1. Общие указания

1. В процессе работы над темой, разбирая примеры и самостоятельно решая предложенные задачи, постарайтесь в каждом случае найти ответы на следующие вопросы:


  • По какому принципу группируется слагаемые?

  • В каких ситуациях перед вынесением за скобки общего для всех групп многочленного множителя приходится менять знаки?

  • Если группировку выполнить по-другому, получится ли тот же результат?

2. Прочитайте п.30 учебника, особое внимание уделите разобранным примерам. Постарайтесь записать последовательность действий при выполнении разложения многочлена на множители способом группировки.

2.Решаем вместе

Пример 1.
Разложим на множители многочлен ax – 2bx + ay – 2by.

Сгруппируем его члены так, чтобы слагаемые так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель:

ax – 2bx + ay – 2by = (ax – 2bx) + (ay – 2by).


В первой группе вынесем общий множитель х, а во второй – множитель у:
(ax – 2bx) + (ay – 2by) = x(a – 2b) + y(a – 2b).

Каждое слагаемое получившегося выражения имеет множитель (a – 2b). Вынесем этот общий множитель за скобки:

x(a – 2b) + y(a – 2b) = (a – 2b)(x + y).

Итак,

ax – 2bx + ay – 2by = (a – 2b)(x + y).

Разложение многочлена ax – 2bx + ay – 2by на множители можно выполнить, группируя иначе:
ax – 2bx + ay – 2by =(ax + ay) + (-2bx – 2by) =

=a(x + y) – 2b(x + y) = (x + y)(a – 2b).

Пример 2. Представьте в виде произведения многочлен:

an2 + cn2 – ap + ap2 - cp + cp2.

Сгруппируем первый член многочлена с третьим и четвертым и второй с пятым и шестым. В первой группе вынесем за скобки множитель а, а во второй – множитель с. Получим
an2 + cn2 – ap + ap2 - cp + cp2 = (an2 – ap + ap2) + (cn2 – cp + cp2) =

a(n2 – p + p2) + c(n2 – p + p2) = (n2 – p + p2)(a + c).

Пример 3. Разложим на множители трехчлен x2 + 6x + 5.

Представим в виде х + 5х и выполним группировку:

x2 + 6x + 5 = x2 + x + 5x + 5 = (x2 +x) + (5x + 5) =

= x(x + 1) + 5(x + 1) = (x + 1)(x + 5).
3. Реши самостоятельно

Заполните пропуски.

1. 11х – ху + 11у – х2 = (11х – 11у) + (- хy – х2) = 11(…) - х(…) = (…)(11 – х).


2. xy2 – by2 – ax + ab + y2 – a = (…) + (…) = y2(…) – a(…) = (…)(y2 – a).

3. a2 – 5a + 4 = a2 – a - … + 4 = (a2 – a) + (-… + 4) = a(a - 1) – …( …) = (…)(…).

4. Выполните следующие номера из учебника: № 710 а), в); №713а); №715 а);

№716 а), в); №718в), г).
4. Самостоятельная работа

Выполните самостоятельную работу и сдайте ее на проверку.

1 – 3. Разложите на множители многочлен.

1. х2 + 7х – ах – 7а;

2. a3 – ab – a2b + a2;

3. ab2 – b2y – ax + xy + b2 – x.

4. Найдите значение выражения:

p2q2 + pqq3p3 при p = 0,5 и q = -0,5.

5. Докажите тождество:

ax – 2by + ay – 2bx = (a – 2b)(x + y).
5. Контрольная работа

Выполните задания и для каждого из них закрасьте клетку таблицы, соответствующую номеру правильного ответа.





А)

Б)

В)

Г)


1













2













3













4













5














Критерии оценки. За каждое верное выполненное задание дается 1 балл. Оценка за работу соответствует сумме набранных баллов.

Задания


1 – 2.
Разложите на множители:

1. 2a – ax + 2b – bx.

A) (x – 2)(a + b) ; Б)
(2 – x)(a + b); В) (x – 2)(a – b); Г) (a + b)(x + 2).
2. 4ap + 2a – 2p2 – p.

А) (2p – 1)(2a – 1); Б) (2p + 1)(2a + 1); В) (2p + 1)(2a – p); Г) 2(p – 1)(a + 1).
3. Найдите значение выражения bc + b2 – 3c – 3b при b = 3,7, c = -4,7.

A) -0,7; Б) 0,7; В) -6,7; Г) 6,7.

4. Представьте многочлен bx + byxyaxay в виде произведения.


A) (b – a)(y +x); Б) (b – a)(y – x);

B) (b – a – 1)(y – x); Г) (b – 1 – a)(y + x).
5. Решите уравнение х2 + 15х + 54 = 0, предварительно разложив на множители многочлен в левой части.

А) х = 6, х = 9; Б) х = 3, х = 5;

В) х = - 6, х = - 9; Г) х = - 3, х = - 5.

Ответы

Контрольная работа





А)

Б)

В)

Г)

1













2













3













4













5











Тема. Квадратичная функция

1. Общие указания

1. В процессе работы над темой, разбирая примеры и самостоятельно решая предложенные задачи, постарайтесь в каждом случае найти ответы на следующие вопросы:


  • Что представляет собой график функции y = ax2 + bx + c?

  • Как определить направление ветвей параболы?

  • Как найти координаты вершины параболы?

  • Как расположена парабола относительно оси х, если дискриминант квадратного трехчлена: а) равен нулю; б) больше нуля; в) меньше нуля?

  • Какие точки параболы играют существенную роль для отыскания промежутков, где функция y = ax2 + bx + c: а) возрастает или убывает; б) принимает отрицательные или положительные значения?

2. Прочитайте п.п. 7,8 учебника, особое внимание уделите разобранным примерам. Постарайтесь записать последовательность действий при выполнении построения графика квадратичной функции и при решении неравенства второй степени с одной переменной.
2. Решаем вместе

Пример 1. Построим график функции y = x2 – 4x + 3 и найдем, используя его:

а) нули функции, промежутки, в которых y < 0, y > 0;

б) промежутки возрастания и убывания функции.

Графиком функции у = х2 – 4х + 3 является парабола, ветви которой направлены вверх, так как а > 1. Найдем координаты m и n вершины этой параболы.

m = -  = -  = 2; n = 22 - 42 + 3 = 4 – 8 + 3 = - 1.


Значит, вершина параболы - точка (2; 3). Составим таблицу значений функции:


х

- 1

0

1

2

3

4

5

у

8

3

0

- 1

0

3

8

Построив точки, координаты которых указаны в таблице, и соединив их плавной линией, получим график функции у = х2 – 4х + 3.

При составлении таблицы и построения графика учитывается , что прямая х =2 является осью симметрии параболы. Поэтому мы брали точки с абсциссами -1 и 5, 0 и 4, 1 и 3, симметричные относительно прямой х = 2 ( эти точки имеют одинаковые ординаты).


3

8

значений х из промежутка (1;3) – ниже оси х. Значит, в каждом из промежутков ( -∞;1) и (3; +∞) функция принимает положительные значения, а в промежутке (1;3) – отрицательные.

б) Выясним теперь, как изменяются (увеличиваются или уменьшаются) значения данной функции с изменением х.

Из графика видно, что с увеличением х от - ∞ до 2 значения у уменьшаются , а с увеличением от 2 до +∞ увеличиваются.

а) Найдем абсциссы точек пересечения графика с осью х. Получим х =1 и х = 3

у

х

-1

3

5

2

4

0

1

х = 2

- 1

у = х2 – 4х + 3
. Значит, числа 1 и 3 – нули рассматриваемой функции. Нули функции разбивают ее область определения на три промежутка: (- ∞; 1), ( 1; 3), (3; +∞). Для значений х из промежутков ( - ∞;1) и (3; +∞) точки графика расположены выше оси х, а для

Значит, в промежутке ( -∞; 2] функция убывает, в промежутке [2; + ∞) функция возрастает.

Пример 2. Решим неравенство - х2 + 2х + 15 ≤ 0.

Рассмотрим функцию у = - х2 + 2х + 15. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз.

Выясним, как расположена эта парабола относительно оси х. Для этого решим уравнение - х2 + 2х + 15 = 0. Получим : х1 = - 3 и х2 = 5. Значит, парабола пересекает ось х в двух точках, абсциссы которых равны -3 и 5 .

Покажем схематически, как расположена парабола в координатной плоскости . Из рисунка видно, что функция принимает неположительные значения, когда х (- ∞; -3][5; + ∞). Следовательно. множеством решений неравенства - х2 + 2х + 15 ≤ 0 является объединение этих промежутков.


у

х

- 3

5

у = - х2 + 2х + 15

Ответ: х  - ∞; -3][5; + ∞).


Пример 3. На рисунке изображены парабола и три прямые. Укажите систему уравнений , которая имеет два решения.

А.  Б.  В.  Г. Все три системы.


Каждая система содержит уравнение параболы у = - х2 + 7 и уравнение прямой. Если система имеет два решения, то парабола и прямая должны иметь две общие точки. Проанализируем рисунок.

Прямая у = х + 10 и парабола не пересекаются. Система под буквой А не имеет решений.



у
Решение:


у = х + 10

х – 6 = 0



х

у = - х2 + 7

у + 8 = 0

Прямая х – 6 = 0 и парабола пересекаются в одной точке (это можно заметить, если мысленно продлить параболу и прямую). Система под буквой Б имеет одно решение.


Прямая у + 8 = 0 и парабола пересекаются в двух точках (это можно заметить, если мысленно продлить параболу и прямую). Значит, ответ на вопрос задачи – система под буквой В.

Ответ: В.

3. Реши самостоятельно

Заполните пропуски, сделайте чертеж.

1. Постройте график функции у =- 2х2 +12х - 19 и найдите, используя график:

а) нули функции, промежутки, в которых y > 0, y < 0;

б) наибольшее значение функции.

Решение:

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены … . Найдем координаты ее вершины:

m = -  = -  = … ; n = -2(…)2 + 12(…) – 19 = … .

Осью симметрии параболы является прямая х = 3.

Вычислим координаты еще нескольких точек, получим таблицу:


х

1

2

3

4

5

у





-1






Соединив плавной линией точки, координаты которых указаны в таблице, постройте график функции у =- 2х2 +12х - 19.

а) Найдем абсциссы точек пересечения графика с осью х. Получим … ;


y < 0 на промежутке … ;

б) Наибольшее значение функции у = -1 при х = … .
2. Решим неравенство х2 – 3х + 4 > 0.

Решение:

Графиком функции у = х2 – 3х +4 является …, ветви которой направлены … .

Чтобы выяснить, как расположена парабола относительно оси х, решим уравнение … . Находим, что D = -7 < 0, т.е. это уравнение не имеет корней. Значит, парабола не имеет общих точек с осью х.

у

у = х2 – 3х + 4

Показав схематически расположение параболы в координатной плоскости, найдем, что функция принимает … значения при … х.
Ответ: …



х

0


3. Выполните следующие номера из учебника: п. 7 № 104 б), № 108; п.8 № 115 б), в), №124.

4. Самостоятельная работа

Выполните самостоятельную работу и сдайте ее на проверку.


у

А. a < 0, c < 0

Б. a < 0, c > 0

В. a > 0, c < 0

Г. a > 0, c > 0
1. По графику квадратичной функции y = ax2 + bx + c определите знаки коэффициентов а и с.



2. На рисунке изображена парабола. Графиком какой из функций она является?


х

у

-2

4

А. у = ( х + 2)2

Б. у = х2 - 2

В . у = ( х – 2)2

Г. у = ( х + 2)2 + 2


3 (2). Постройте график функции у = х2 + 2х + 4. Используя график, найдите:

а) нули функции, промежутки, в которых y < 0, y > 0;

б) промежутки возрастания и убывания функции.
4. Найдите область определения выражения .
5. Контрольная работа

Выполните задания и для каждого из них закрасьте клетку таблицы, соответствующую номеру правильного ответа.





А)

Б)

В)

Г)

1













2













3











4














5














Критерии оценки. За каждое верное выполненное задание дается 1 балл. Оценка за работу соответствует сумме набранных баллов.
Задания

1. На каком из рисунков изображен график квадратичной функции y = ax2 + bx + c, если известно, что a < 0 и квадратный трехчлен имеет корни разных знаков?

А
у

у

у

у
. Б. В. Г.



х

х

х

х


2
у

А. (0; -1)

Б. (0; 1)

В. (1; 0)

Г. (-1; 0)

.
На рисунке изображен график функции у = х2 – 3х – 4 . Укажите координату точки М.



х

М


3
у

х

4

-2

0

2

2

4

-2

А. f(3) = 3.

Б.Функция убывает на промежутке (0; + ∞)

В. Наибольшее значение функция принимает при х = 2.

Г. f(-1) = 0.
.


4
у

А. (-4; -7)

Б. (1; 3)

В. (-4; -12)

Г. (-1; -12)
.
На рисунке изображены графики функций у = -х2 + 4 и у = 3х. Вычислите координаты точки В.

х

0

В

А


5
у
.
На рисунке изображен график функции у = х2 – 3х – 4. Используя график, решите неравенство x2 – 3x – 4 ≥ 0.


х

4

-4

-1

0

А. -1 ≤ x ≤ 4

Б. х ≤ -1, х ≥ 4

В. х ≥ -1, х ≤ -4

Г. -1 < x < 4


Ответы

Контрольная работа





А)

Б)

В)

Г)

1













2













3













4












5