birmaga.ru
добавить свой файл

1
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ


Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования
ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Факультет автоматики и вычислительной техники
Кафедра автоматики и телемеханики

Работа № 3
«методы условной оптимизации»

Дисциплина «Методы оптимизации»

Выполнил студент гр. У-22 __________ /Лобастов В.А./ __________

(подпись) (дата)

Проверил к.т.н., доцент ___________ /Микрюкова В.И./ __________

(подпись) (дата)

Киров 2009

Цель: изучение особенностей решения задач оптимизации с использованием методов условной оптимизации.

Задание: исследовать методы нахождения оптимума функции нескольких переменных условной оптимизации (вариант № 6); исследовать влияние штрафов на эффективность алгоритмов.

Целевая функция: .

Начальная точка: .

Вид ограничения: .

Точность: .

Штраф: .

Исследуемая целевая функция и ограничение изображены на рисунке 1.



Рисунок 1 - Графическое представление
исследуемой целевой функции и ограничения


  1. Квадратичный штраф

    Штрафная функция:.

    Ход решения:

    Шаг 1.


Рисунок 2 - Шаг 1

    Шаг 2.



Рисунок 3 - Шаг 2

    Шаг 3.



Рисунок 4 - Шаг 3

Шаг 4.



Рисунок 5 - Шаг 4

Таблица результатов представлена на рисунке 6.



Рисунок 6 - Таблица результатов

Поиск условного экстремума завершен:

Начальная точка: .

Штраф: .

  1. Логарифмический штраф

    Штрафная функция:.

    Ход решения:

Шаг 1.



Рисунок 7 - Шаг 1

Шаг 2.



Рисунок 8 - Шаг 2

Шаг 3.



Рисунок 9 - Шаг 3

Шаг 4.



Рисунок 10 - Шаг 4

Шаг 5.


Рисунок 11 - Шаг 5

Поиск условного экстремума завершен:

Начальная точка: .

Штраф: .

Таблица результатов представлена на рисунке 12.



Рисунок 12 - Таблица результатов


  1. Штраф типа квадрата срезки

    Штрафная функция:.

    Ход решения:

    Шаг 1.



Рисунок 13 - Шаг 1

Шаг 2.



Рисунок 14 - Шаг 2

Шаг 3.



Рисунок 15 - Шаг 3

Шаг 4.



Рисунок 16 - Шаг 4

Поиск условного экстремума завершен:

Начальная точка: .

Штраф: .

Таблица результатов представлена на рисунке 17.



Рисунок 17 - Таблица результатов

  1. Штраф, заданный обратной функцией

    Штрафная функция:.


    Ход решения:

    Шаг 1.



Рисунок 18 - Шаг 1

    Шаг 2.



Рисунок 19 - Шаг 2

Шаг 3.



Рисунок 20 - Шаг 3

Шаг 4.



Рисунок 21 - Шаг 4

Шаг 5.



Рисунок 22 - Шаг 5

Шаг 6.



Рисунок 23 - Шаг 6

Начальная точка: .

Штраф: .

Таблица результатов представлена на рисунке 24.



Рисунок 24 - Таблица результатов

  1. Результаты выполнения работы

    Результаты выполнения работы представлены в таблице 1.

Таблица 1 - Результаты выполнения работы

Вид штрафа

(x1;x2)

f(x1; x2)

Квадратичный




28.197

Логарифмический



28.201

Квадрат срезки



28.197

Обратная функция



28.2

    Выводы:

1) Квадратичный: Вид: Ω = {h(x)}2/R. Значение штрафа будет возрастать при отклонении h(x) от нуля и скорость возрастания будет зависеть от параметра R. При минимизации этот штраф препятствует отклонению величины от нуля. При стационарная точка данной штрафной функции стремится к точке минимума функции , а при стационарная точка штрафной функции приближается к искомому решению . При точка оптимума стремится к .

2) Штраф типа квадрата срезки: Вид: Ω = <g(x)>2/R. Этот вид штрафа удобен тем, что P(x, R) непрерывна и определена повсюду. В допустимых и граничных точках штраф равен нулю. При любом конечном R соответствующая стационарная точка недопустима, этот метод можно назвать методом внешней точки. Вычисления начинаются при положительном значении параметра R, после решения каждой подзадачи безусловной минимизации значение R уменьшается.

3) Логарифмический: Вид: Ω = -Rln(g(x)). Такой штраф представляет собой барьерную функцию, не определенную в точках, где g(x)<0. Вычисления начинаются при положительном значении параметра R, после решения каждой подзадачи безусловной минимизации значение R уменьшается, и в пределе стремится к нулю.

4) Заданный обратной функцией: Вид: Ω = R/g(x). Как и логарифмический, является барьерным штрафом. В допустимой области вблизи границы значение штрафа положительно и быстро убывает при продвижении внутрь допустимой области. На самой границе значение не определено, как и для логарифмического штрафа возможно появление недопустимых точек. Данный штраф – барьерная функция, не имеющая отрицательных значений в допустимой области. Вычисления начинаются при положительном значении параметра R из допустимой области, после решения каждой подзадачи безусловной минимизации значение R уменьшается, и в пределе стремится к нулю.