birmaga.ru
добавить свой файл

1
2 курс 3 семестр


Программа аттестации №2

«Криволинейные, поверхностные интегралы и теория поля».

(для специалистов)
Определение криволинейного интеграла 1-го рода. Формулировка теоремы существования. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода вдоль кривых, заданных в параметрическом виде, в декартовых координатах, в полярной системе координат. Основные свойства: линейность, аддитивность, теорема о среднем значении, теорема об оценке модуля интеграла. Физические приложения: вычисление массы кривой, статических моментов кривой относительно осей координат, координат центра масс кривой и моментов инерции кривой относительно осей координат и начала координат.

Определение криволинейного интеграла 2-го рода. Основные свойства криволинейного интеграла 2-го рода. Физические приложения криволинейного интеграла 2-го рода. Связь между криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода. Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница.

Формулы Грина для односвязной и многосвязной областей. Полный дифференциал. Восстановление функции по ее полному дифференциалу с помощью криволинейного интеграла (плоский случай). Вычисление площади S простой области с помощью криволинейных интегралов по ее границе L.

Определение поверхностного интеграла 1-го рода. Вычисление поверхностного интеграла 1-го рода. Формулировка теоремы существования. Физические приложения поверхностного: вычисление массы поверхности, статических моментов поверхности относительно координатных плоскостей, координат центра масс поверхности и моментов инерции относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат.

Ориентированная поверхность. Определение поверхностного интеграла 2-го рода. Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода. Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода (поток векторного поля). Формула Стокса, условия ее применимости. Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования в пространстве. Формула Остроградского-Гаусса в координатной форме, условия ее применимости.

Определение скалярного и векторного поля, физические примеры. Векторные линии поля, их дифференциальные уравнения. Градиент скалярного поля. Потенциальное поле и его свойства. Дивергенция векторного поля, определение и правило вычисления в декартовой системе координат. Ротор векторного поля, его механический смысл, правило вычисления в декартовых координатах. Циркуляция векторного поля. Соленоидальное поле, его свойства. Закон сохранения интенсивности векторной трубки в соленоидальном поле. Формулы Стокса и Остроградского-Гаусса в векторной форме. Оператор Гамильтона («набла»), запись основных дифференциальных операций с помощью оператора Гамильтона. Оператор Лапласа, уравнение Лапласа. Гармоническое поле, гармоническая функция.