birmaga.ru
добавить свой файл

1


Санкт-Петербургский Университет Информационных Технологий Механики и Оптики. Факультет Информационных Технологий и Программирования. Кафедра Компьютерных Технологий.

Отчёт по лабораторной работе №1



«Собственные колебания осциллятора»

Козлов Вадим

Группа 1539.
Работа выполнена: 16 марта 2004г.

Цели работы:


  • Изучить закономерности собственных колебаний линейного механического осциллятора в отсутствие трения.

  • Исследовать превращения энергии при собственных колебаниях осциллятора.

  • Познакомиться с фазовой диаграммой как удобным средством графического представления процесса колебаний.

  • Изучить закономерности затухания колебаний при вязком трении.

  • Познакомиться с интерфейсом моделирующих программ пакета «Физика колебаний» на примере простейшей физической системы.


Теоретические сведения.

Осциллятор - любая система, способная совершать свободные колебания. Собственными или свободными колебаниями называются колебания, при которых, каким-то внешним воздействием система отклонена от положения равновесия и затем предоставлена сама себе.

Система называется линейной, если в системе возвращающая сила пропорциональна отклонению. Когда трение отсутствует или оно вязкое, как раз и наблюдается подобная ситуация. При этом система описывается линейным дифференциальным уравнением.

Если рассмотреть простой пружинный осциллятор, представляемый маховиком и спиральной пружиной. При отклонении маховика от положения равновесия на угол  пружина создает возвращающий момент N, пропорциональный углу отклонения:

D – Жёсткость пружины.

J – Момент инерции маховика.

Закон вращения маховика вокруг оси описывается следующим дифференциальным уравнением:


Общее решение уравнения – гармонические колебания, с амплитудой и начальной фазой, зависящие от начальных условий. Колебания происходят с частотой 0 и периодом T = 2/0, которые не зависят от начальных условий, а определяются параметрами системы.



  1. (затухающие колебания )

В случае существования вязкого трения , получим

Очевидно, решением является . При подстановке этого решения получается:

| разделим на



В случае слабого затухания (<<0), применив ф-лу Тейлора, получим:

Характерное время затухания - 

Получили, что за время  = -1 амплитуда колебаний уменьшается в e раз. В случае слабого затухания за время  осциллятор совершает большое количество колебаний: /T>>1. Поэтому следует, что последовательность максимальных отклонений n представляет собой геометрическую прогрессию:

- характеристика быстроты затухания, или


- добротность, что эквивалентно


  1. (критическое затухание, значение добротности Q = 1/2).

В этом случае решение уравнения имеет вид: (t) = (C1t + C2)e-t. С1 и С2 определяются из начальных условий. Этот случай называется

  1. (сверхкритическое затухание)

В это случае маховик асимптотически стремится к положению равновесия, либо пересекает его единожды и также стремится к положению равновесия, но уже с другой стороны. Здесь решение: , где
Механическая энергия системы:





Рассмотрим превращения энергии в затухающих колебаниях.





График энергии затухающих колебаний выглядит как:


при энергия затухающих колебаний убывает примерно в экспоненциальной зависимости:

Ответы на вопросы


  1. Модель линейного осциллятора применима к движению грузика на пружинке, механизм работы в наручных часах. Параметрами, характеризующими пружинный осциллятор, являются - жесткость пружины: k, масса грузика: m, коэффициент затухания: γ

  2. В лабораторной работе математическую модель осциллятора характеризует добротность: и собственная частота: . Этих параметров достаточно для полной характеристики.

  3. Состояние, при котором при возникновении любой внешней силы возникает возвращающая сила, называется устойчивым равновесием. Колебания, проходящие в отсутствии периодической внешней силы, называются собственные колебания. Собственные колебания возникают при выведении осциллятора из положения равновесия.

  4. При отсутствии трения колебания системы около положения равновесия будут незатухающими. Такие системы называются консервативными.

  5. Чтобы колебания были гармоническими, восстанавливающая сила должна быть прямо пропорциональна величине отклонения от положения равновесия. А потенциальная энергия пропорциональна квадрату величины отклонения.
  6. «груз на пружине»: введем обозначение: для торсионного осциллятора: введем обозначение: Собственная частота через физические параметры системы:


  7. Общее решение дифференциального уравнения для гармонического осциллятора: Здесь 2 произвольные постоянные и , соответсвующие амплитуде и начальной фазе. Выразим



тогда

откуда находим

  1. . От начальных условий период и частота не зависят. . Изохронностью называется независимость периода колебаний от начальных условий.

  2. В осях "угол отклонения" – "угловая скорость" фазовая траектория – это кривая, которая изображает их зависимость друг от друга. Фазовой траекторией собственных колебаний линейного осциллятора без трения является эллипс. «Фазовым портретом» консервативного линейного осциллятора является семейство эллипсов, центр которых находится в начале координат фазовой плоскости.

  3. Точка обходит фазовую траекторию по часовой стрелке за один период. Фазовая траектория гармонических колебаний замкнутая кривая, т.к. система всегда периодически возвращается в исходное состояние.
  4. Одна и та же фазовая траектория не может соответствовать колебаниям консервативного осциллятора, возбуждаемым при разных начальных условиях? Особая точка у консервативного осциллятора только одного типа - типа центр.


  5. Если считать, что в самом начале осциллятор находиться в крайнем положении, то превращения энергии будут такими: первую четверть периода энергия будет переходить из потенциальной в кинетическую, далее – из кинетической в потенциальную и т. д. Таким образом, кинетическая энергия изменяется с периодом, вдвое меньшим периода колебаний. Полная энергия колебаний прямо пропорциональна квадрату амплитуды, следовательно, если амплитуду увеличить вдвое, то энергия колебаний увеличится в 4 раза.

  6. Амплитуда собственных колебаний, затухающих под действием слабого трения выражается: . С математической точки зрения максимальные это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

  7. Логарифмическим декрементом затухания называется:

  8. Фазовая траектория затухающих колебаний представляет собой закручивающуюся спираль, витки которой приближаются с каждым циклом всё ближе к центру. Размеры витка зависят от величины отклонения и от угловой скорости. Время обхода одного цикла не изменяется, период в каждом цикле сохраняется и равен:

  9. Уменьшение энергии колебаний обусловлено работой силы трения силы сопротивления. Мощность этой силы: . Тогда . При малом затухании Зависимость E(t) становится практически экспоненциальной
  10. Скорость рассеяния энергии выражается формулой . Следовательно, она максимальна, когда скорость максимальна, т.е. когда ротор проходит через положение равновесия. И равна нулю, когда скорость равна нулю, т.е. когда ротор проходит крайние точки отклонения.


  11. . Критическими колебаниями называются колебания, при которых . В этом случае уравнение движения осциллятора описывается в виде

  12. При критическом затухании осциллятор может пересечь положение равновесия, если было достаточное начальное отклонение от положения равновесия, и осциллятору была сообщена достаточная скорость.

  13. В систему вводят вязкое трение, для того чтобы стрелка прибора после измерения быстрее приходил в равновесие, совершая минимум колебаний.

  14. Катушка индуктивности – аналог ротора, конденсатор – аналогом пружины, резистор – аналог вязкого трения системы.

  15. Энергия электрического поля в конденсаторе аналогична потенциальной энергии деформированной пружины, энергия магнитного поля катушки индуктивности аналогична механической энергии ротора


Решение задач