birmaga.ru
добавить свой файл

1



Лекция 1



Основные задачи дисциплины.

Основные термины и определения.
Основные термины составляют некоторую часть языка, на которую ставятся научные и практические задачи, формулируются основные научные положения и методы решения поставленных задач.
Метрология – наука об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства и достоверности результатов измерения.
В этом определении в качестве исходных использованы следующие термины:

  • измерение;




  • результат измерения;




  • единство измерений;




  • достоверность результатов измерений.


Измерение – определение значений физической величины с помощью специальных технических средств.
Замечания: Это определение дано в действующем стандарте на термины и определения в метрологии (ГОСТ ). Этот стандарт рекомендуемый (но не обязательный). Тем не менее, практика решения спорных вопросов требует единого определения. И в качестве такового используется указанное определение.

В действительности это определение давно подвергается обоснованной критике. Можно указать на следующие основные критические замечания:

1 – Определение относится только к динамической величине, в то время как на практике термин «измерение» используется в таких сочетаниях как «измерение процессов», «измерение параметров» и т.п.

2 – Нет прямого указания на требования к точности измерения. Можно только предполагать, что такое требование отражается в требованиях и «специальным техническим средством» (т.е. к средствам измерения). Но в этом случае игнорируется методическая и субъективная составляющие погрешности измерения (о составляющих погрешности измерения будет сказано ниже) В то же время ГОСТ 8.563 на методики выполнения измерений требует оценки значений этих составляющих.


3 – В последние годы все чаще обращают внимание на научные и практические проблемы так называемых «качественных измерений». К ним относят, например, измерение некоторых показателей состояния здоровья человека, некоторых эргономических показателей и т.п. Решение этих проблем особенно важно в связи с необходимостью оценки качества товаров и в том числе в связи с задачами аттестации, сертификации и управления качеством.
В связи с замечаниями к определению термина «измерение» выделим существенные признаки, выделяющие измерение из числа других процедур, в соответствие с современными научными взглядами.
Первый – измерение это всегда сравнение с чем-либо, принятым за единицу. При этом единица рассматривается как некоторый образец. Причем обоснованно предполагается, что он менее других подвержен различным влияниям и сам в наименьшей степени может повлиять на ошибки сравнения. С учетом только этого признака измерение представляют с помощью следующего уравнения:

,

где – единица; k – число единиц.

В этом же смысле говорят, что если мы нашли единицу, то мы построили шкалу.

В зависимости от того, что принято за единицу разделим измерения на измерения величин (параметров и т. д.), для которых имеются государственные эталоны единиц (государственный эталон определяется ГОСТом и, следовательно, имеет соответствующий правовой статус) и измерения, для которых таковые отсутствуют. Последние не будут изучаться в данной дисциплине. Поэтому отметим только, что в этом случае шкала строится на основе экспертных оценок.

Второй – измерение процесс реальный (в отличие от принятого в математике) и поэтому неизбежно содержит погрешность как и любой реальный процесс (например процесс изготовления).

Единство измерений. Считают, оно обеспечивается, если результат измерения представлен в принятых единицах, а требования к точности измерения обеспечиваются не зависимо от места и времени проведения измерения.


Важнейшим элементом системы обеспечения единства измерений является система передач единицы величины. Метрологической основой системы являются поверочные схемы. Укрупнено поверочная схема может быть представлена в виде:



рис. 1 Основные блоки поверочной схемы (где погрешность передачи единицы).
Поверочные схемы для каждой физической величины также, как и эталоны, установлены ГОСТами. В действительности, схемы сложнее, чем схема представленная на рис.1.

ГОСТы на эталоны и поверочные схемы входят в комплекс стандартов ГСИ (государственная система измерений), которые регламентируют деятельность по обеспечению единства измерений в России. Эта система действовала в Советском Союзе (Союзе Советских Социалистических Республик) и поэтому в некоторой части остается единой для ряда стран СНГ.

Из государственных поверочных схем могут выделяться (или создаваться на их основе) локальные поверочные схемы.

Организационная структура обеспечения единства измерений включает систему региональных центров и поверочных лабораторий, подчиненных Госстандарту России.
Стандартизация – установление и применение правил («на пользу и при участии всех заинтересованных сторон» – добавлено международной организацией по стандартизации).

Стандартизация стала одним из самых мощных способов управления качеством продукции в больших масштабах.

В общем случае стандартизация предполагает несколько этапов, включая типизацию, унификацию и другие.

Типизация предполагает создание или выделение из множества типовых устройств, машин, механизмов, приборов, элементов, действий, процедур и т.д. с целью использования их как базы для ряда однотипных изделий и т.д.

Унификация – это сокращение излишнего многообразия. Унификация является предпоследним этапом стандартизации. На примере унификации можно показать две противоположные тенденции экономической эффективности.


Если принять, что уровень унификации определяется отношением числа унифицированных деталей (для машины) к общему числу деталей и считать что, чем ближе к 1 это отношение, тем выше уровень, то можно показать связь экономической эффективности с уровнем унификации:


Рис. 2 Связь экономической эффективности с уровнем унификации (Копт – оптимальное значение уровня унификации).

При унификации, а затем и при стандартизации изделий других объектов стандартизации, по основным параметрам строится ряд стандартных значений параметров.

Примером может служить ряды стандартных чисел, на основе которых, в частности, строятся ряды номинальных размеров. Эти ряды строятся как геометрические прогрессии. Всего 4-е основных ряда и один дополнительный. В качестве обязательного члена принята 1.

1ый ряд знаменатель прогрессии

2ой ряд :

3ий ряд :

4ый ряд :

дополнительный ряд :

Для сравнения приведем основной диапазон двух первых рядов.

: 1; 1.6; 2.5; 4; 6.4; (10)

: 1; 1.25; 1.6; 2; 2.5; 3.2; 4; 5; 6.4; 8; (10)
Ряды взаимнонепротиворечивы, тем как каждый следующий ряд содержит все члены предыдущего ряда.

Используя основной диапазон, остальные члены ряда можно получить умножая члены основного ряда соответственно на 0.1, 0.01 и т.д. при получении значений меньше 1 и соответственно на 10, 100 и т.д. для получения значений больших 10.

При использовании рядов стандартизация предполагает следование принципу предпочтительности, т.е. предпочтительно использовать ряд с меньшим числом членов в одном и том же диапазоне. В данном случае ряд предпочтительный.

Эти ряды нашли широкое применение при стандартизации требований к точности и в частности допусков.
Сертификация – установление соответствия действительных значений, показателей (характеристик), указанным в технической документации (паспорте и т.п.).

В результате сертификации выдается документ.

Различают сертификацию продукции и сертификацию производств. Продукция сертифицированных производств оценивается как сертифицированная.
Основные задачи дисциплины:


  • формирование научного мировоззрения в области метрологии, общей теории точности, взаимозаменяемости и стандартизации.

  • Изучение типовых технологий (методик) измерения и контроля в машиностроении. Приобретение навыков применения типовых методик контроля

  • Овладение методами анализа точности и метрологичности конструкций, назначения требований к точности типовых элементов конструкций деталей машин и типовых соединений (сопряжений).


Лекция 2



Основа общей теории точности


Из формулировки основных задач дисциплины следует, что основной проблемой (изучению которой уделяется основное влияние) является проблема обеспечения точности при конструировании, метрологическом обеспечении производства и определении требований и точности изготовления.

Определим основные термины.

Погрешность – это разность между тем значением величины (процесса) которое реально проявилось, и тем, которое должно быть (или к которому стремилось), т.е.:
dидеал - dдейств (1)
Если рассматривать процесс измерения, то соответственно.

Погрешность измерения – разность между измеренным (dизм) и действительным (dдейств) значением измеряемой величины:
измdизм - dдейств (2)
Естественно, возникает вопрос, что представляет собой действительное значение? У нас нет другого выхода, как признать, что действительное это тоже измеренное, но только с погрешностью пренебрежимо малой в сравнении с той, которую мы определяем. И так вплоть до государственного эталона. (Во многих литературных источниках вместо dдейств пишут dистинное, с чем трудно согласиться, исходя из современных представлений о физической величине).
Погрешность изготовления – разность между измеренным значением характеристики обработанной поверхности и тем, на получение которого был построен технологический процесс (операция).
изгdизм - dнастр
(Технологи иногда вместо «измеренного» указывают «действительное». Однако, в этом случае понятие «действительное» будет использоваться ином смысле или не соответствовать практике определения погрешности изготовления).

Погрешность как измерения так и изготовления зависит от значения величины к которой отнесена погрешность. Это свойство погрешностей.
Лекция 3,4

Основы теории точности.


Классификация погрешностей.
Независимо от того рассматривается ли процесс измерения или изготовления погрешность можно разделить в зависимости от характера её проявления на две составляющие: систематическую (сист) и случайную (сл). То есть:
 = {сист ; сл}
Систематической погрешностью будем называть составляющую погрешности (изготовления или измерения), которая проявляется как некоторая закономерность при повторениях процесса (изготовления или измерения). В частности, если можно установить зависимость каким-либо способом выделяющую составляющую погрешности от конечного числа факторов, то эту составляющую называют систематической погрешностью.

Пример 1. Если перед измерением нулевая отметка средства измерения смещена, то погрешность измерения будет содержать систематическую составляющую и проявляться она будет как постоянная величина, равная величине смещения нулевой отметки средства измерения.

Пример 2. Предположим, что значения отклонений диаметров () изготовленных валиков последовательно нанесены на график:


Пунктирная прямая на графике проведена например по методу наименьших квадратов. Тогда мы с определенной долей уверенности можем предполагать, что мы выделили систематическую погрешность.

В метрологии соответствующие термины стандартизированы и для справки в приложении и лекции даны термины и их определения в том числе и те, о которых будем говорить ниже.

Случайная составляющая погрешности это в первую очередь случайная величина и поэтому корректное определение можно дать только на базе определения случайной величины, которое дается в теории вероятностей. Поэтому в данном случае укажем лишь на характерные признаки случайной составляющей.

Во-первых отметим, что случайная величина есть функция случайного события, и поскольку мерой случайного события является вероятность, постольку мы будем принимать, что случайная величина считается известной, если задан закон, связывающий случайную величину с вероятностью её появления. Для практических целей часто оказывается достаточным принимать вероятность как частоту появления события (и, следовательно, случайной величины). Для этого предположим, что во множестве N проведенных опытов, какой-либо i-ый результат появился ni раз, тогда говорят, что частота появления этого результата:



Если и pi к некоторой постоянной величине, то говорят, что p-это вероятность появления i-го результат (события).
Рассмотрим характеристики случайных погрешностей на примере. Возьмем партию годных валиков в количестве 200 штук, обработанных шлифованием. Определим действительные размеры всех валиков. Разность между наибольшим и наименьшим размерами валиков определит величину диапазона рассеивания действительных размеров R; в данном случае (табл. II-1). Диапазон рассеивания разделим на интервалы, в соответствии с которыми произведем группирование полученных значений действительных размеров. Число интервалов должно по возможности быть не меньше шести. Количество деталей, размеры которых попадают в один и тот же интервал, называется частотой и обозначается ni.

Разделение остаточных погрешностей

Интервалы действительных размеров в мм li


Остаточная погрешность в мм



Частота ni (количество деталей с размерами, лежащими в интервале li)

Относительная частота



11.92

-0.04

2

0.01

11.92 – 11.93

-0.03

6

0.03

11.93 – 11.94

-0.02

20

0.10

11.94 – 11.95

-0.01

48

0.24

11.95 – 11.96

0.00

56

0.28

11.96 – 11.97

+0.01

34

0.17

11.97 – 11.98

+0.02

20

0.10

11.98 – 11.99

+0.03

12

0.06

11.99 – 12.00


+0.04

2

0.01









Далее находим среднее арифметическое значение размера L, как частное от деления суммы действительных размеров на их число N:

.

Определение среднего арифметического размера L для большого количества деталей, размеры которых сгруппированы по интервалам, производится по формуле:

, (II-1)

где k – число интервалов группирования.

В рассматриваемом случае (табл. II-1) средний арифметический размер:

.

Средний арифметический размер L определяет положение центра группирования или центра рассеивания случайных величин. Чем грубее метод обработки, тем больше диапазон рассеивания, тем сильнее отличаются действительные размеры от среднего арифметического, и, наоборот, чем точнее метод обработки, тем меньше диапазон рассеивания и тем ближе к среднему арифметическому располагаются действительные размеры.

Вычитая из действительного размера среднее арифметическое, находим значение остаточной погрешности , после чего определим относительную частоту получения действительных размеров, заключенных внутри каждого из интервалов (см. табл. II-1). Остаточной погрешностью называется разность между размером, полученным в результате измерения, и средним арифметическим размером, который принимается за наиболее вероятный размер деталей. Алгебраическая сумма остаточных погрешностей равна нулю.


Сумма квадратов остаточных погрешностей имеет минимальное значение.

Случайные погрешности, если распределение их подчиняется закону Гаусса, характеризуются следующими аксиомами:

1) малые по величине погрешности встречаются чаще, чем большие;

2) отрицательные и положительные погрешности, равные по абсолютной величине, встречаются одинаково часто;

3) среднее арифметическое случайных погрешностей с увеличением их числа стремится к нулю

Для каждого метода обработки деталей случайные погрешности практически не превосходят известного предела.

При математической обработке результаты измерения, содержащие грубые погрешности, могут быть исключены. Однако следует весьма осторожно подходить к их исключению в тех случаях, когда грубые погрешности свойственны самому процессу обработки. В этих случаях необходимо выявлять причины их возникновения и устранять эти причины.

Рассеивание случайных величин более наглядно можно представить либо гистограммой, состоящей из прямоугольников, либо эмпирической кривой (которую называют также многоугольником или полигоном) распределения.



Фиг. II-1 а)



Фиг. II-1 б)

Фиг. II-1. Гистограммы и эмпирические кривые распределения случайных величин

Гистограмма и эмпирическая кривая распределения, построенные по данным табл. II-1, показаны на фиг. II-1а. По оси абсцисс отложены остаточные погрешности в мм, а по оси ординат – прямоугольники (у гистограммы) или отрезки (у кривой), высота которых пропорциональна числу деталей (2, 6, 20…2) в каждом интервале.

Распределение случайных величин, в том числе и погрешностей обработки деталей при наличии многих независимых и равноценных по величине случайных факторов во многих случаях подчиняется закону нормального распределения (закону Гаусса). В этих случаях эмпирическая кривая распределения может быть сравнима с теоретической кривой нормального распределения, определяемой уравнением:


, (II-2)

где – плотность вероятности

– основание натуральных логарифмов

– случайная величина

среднее квадратическое отклонение случайной величины.

Теоретическая кривая имеет симметричную колоколообразную форму (фиг. II-2) и характеризует непрерывные величины, тогда как эмпирическая кривая и гистограмма характеризуют распределение дискретных величин.

Дискретной величиной называется такая величина, которая может принимать лишь ряд вполне определенных конечных значений. Например, значения действительных размеров валиков, определяемых при помощи микрометра.

Непрерывной величиной называется величина, которая может принимать любое значение внутри рассматриваемого интервала. Примером непрерывной величины могут служить действительные размеры деталей при условии неограниченно точного их измерения.

Заменив в формуле (II-1) относительную частоту вероятностью , а знак – знаком , получим следующее выражение для среднего арифметического случайных непрерывных величин в интервале от x1 до x2:


. (II-3)

Среднее квадратическое отклонение случайной дискретной величиныесть корень квадратный из среднего арифметического квадратов остаточных погрешностей, т.е.



или

, (II-4)

где – относительная частота в i-том интервале (i=1, 2…k)

Среднее квадратическое отклонение случайной непрерывной величины есть корень квадратный из суммы произведений квадратов отклонений случайной величины от её среднего значения на соответствующие вероятности их появления:


, (II-5)

где – случайная величина;

– среднее значение случайной величины;

Для рассматриваемого примера (см табл. II-1), пользуясь формулой (II-4), получим:

.

Рассеивание случайных величин характеризуется также величиной, равной , называемой дисперсией D(x).

В таблице II-2 в качестве другого примера обработки результатов измерения дано распределение отклонений приведенного среднего диаметра при нарезании резьбы круглой плашкой (допуск на средний диаметр резьбы равен 101 мк). Гистограмма и эмпирическая кривая распределения, соответствующие значениям в табл. II-2, показаны на фиг. II-1, б.


Среднее квадратическое отклонение случайных величин характеризует форму кривой распределения и диапазон рассеивания (фиг. II-2). Систематические погрешности, постоянные в пределах партии и вызывающие смещение центра группирования в направлении оси абсцисс, на форму кривой не влияют.

Погрешности закономерно изменяющиеся (например, обусловленные износом инструмента) при описанном методе построения кривой распределения, оказывают влияние на её форму. Ветви кривой нормального распределения уходят в бесконечность, ассимптотически приближаясь к оси абсцисс, так как по закону Гаусса величины случайных погрешностей теоретически находятся между и .

Площадь, ограничиваемая кривой и осью абсцисс, принятая за 1 или 100%, определится следующей зависимостью:

. (II-6)

Распределение случайной величины


Отклонение в мк от нижней границы поля допуска xi

Частота ni

Относительная частота



nixi

nixi2




























































































































Примечания: 1. Зона рассеивания R = 110 мк.

2. Среднее значение отклонений от нижней границы поля допуска

.

3. Отклонение среднего значения от середины поля допуска .

4. Дисперсия

.

5. Среднее квадратическое отклонение



Так как подынтегральная функция чётная и кривая симметрична относительно оси y, можно написать:

. (II-7)

Если заменить значение случайной величины x отношением и принять пределы интегрирования от 0 до , то интеграл в выражении (II-7) будет функцией , т.е.

. (II-8)

Согласно равенству можно написать:



Подставив значение , и в выражение (II-8), получим

. (II-9)

Для функции Ф(z) в приложении I приведена таблица, пользуясь которой, можно определить вероятность того, что случайная величина, выраженная через z, будет находиться в пределах того или иного интервала .

Из таблицы функции Ф(z) находим, что или .

Следовательно, с вероятностью, весьма близкой к единице, можно утверждать, что остаточная погрешность , которая является случайной величиной, не будет выходить за пределы 

Площадь, ограничиваемая кривой и осью абсцисс за пределами , равна 1 – 0.9973 = 0.0027 от площади всей кривой и расположена симметрично по 0.00135 или по 0.135% с каждой стороны кривой (фиг. II-3).


Если центр группирования данного распределения лежит на оси симметрии кривой Гаусса, то, пользуясь функцией Ф(z), можно установить, что примерно 0.27% всех деталей рассматриваемой совокупности может иметь погрешность, превышающую , примерно 4.56% деталей – погрешность, превышающую , и примерно 31.74% деталей – погрешность, превышающую . В общем случае относительное количество деталей А%, имеющих погрешность превышающую можно определить по формуле:

.

Диапазон рассеивания погрешностей .

При установлении допуска на изготовление необходимо учитывать (помимо рассеивания размеров R) смещение центра группирования кривой распределения , вызываемое систематическими погрешностями, т.е.: