birmaga.ru
добавить свой файл

1 2 ... 8 9
Материалы XI турнира математических боев

им. А.П. Савина, 2005 год

Версия 2013-10-22

Личная олимпиада

Довывод 1 – 4, вывод 5 – 6

6-7 класс


1. В магазине продаётся шоколад в виде букв английского алфавита. Одинаковые буквы стоят одинаково, а разные имеют различные цены. Известно, что слово ONE стоит $6, слово TWO стоит $9, а слово ELEVEN стоит $16. Сколько стоит слово TWELVE? (Г. Гальперин)
2. Из книжки, состоящей из трёх листов, вырежьте лист Мёбиуса. (Фольклор)
3. Перед экзаменом Вася вырвал из учебника 20% страниц. Докажите, что если нумерация страниц начиналась с 1, то сумма номеров оставшихся страниц делится на 4. (В. Гуровиц)
4. В вершинах треугольника записано по натуральному числу, на каждой стороне – произведение чисел, записанных в её концах, а внутри треугольника – произведение чисел, записанных в его вершинах. Сумма всех семи чисел равна 1000. Какие числа записаны в вершинах треугольника? (А. Шаповалов)
5. Прямоугольник разрезан на нечётное количество равных частей. Верно ли, что они все являются прямоугольниками? ( С. Маркелов)
6. В бесконечном городе все кварталы – квадраты одного размера. Велосипедист стартовал с перекрестка. Через полминуты за ним поехал другой велосипедист. Каждый едет с постоянной скоростью 1 квартал в минуту и на каждом перекрестке поворачивает либо направо, либо налево. Могут ли они встретиться? (М.Вельтищев, П.Купцов)
7. Углы, прилежащие к одной из сторон треугольника, равны 15 и 30. Какой угол образует с этой стороной проведенная к ней медиана? (М.Волчкевич)


8-9 класс


1. Докажите, что если графики двух квадратных трёхчленов симметричны относительно прямой, то эта прямая параллельна одной из координатных осей или совпадает с ней. (А. Блинков)

2. На арене цирка (не в её центре) стоит тумба, на которой сидит лев. По команде укротителя лев спрыгивает с тумбы и бежит по прямой. Добежав до бортика, он поворачивает на 90, снова добегает до бортика, поворачивает на 90 и бежит дальше по арене. Докажите, что на арене (но не на тумбе) можно положить кусочек мяса так, что, независимо от первоначального направления движения, лев съест мясо. (М. Панов)

3. Таблица 33 заполнена нулями. За один ход разрешается увеличить на единицу числа в трёх клетках, образующих уголок любой ориентации. Можно ли за несколько ходов добиться того, чтобы все числа стали равными и положительными? (Р. Савченко)
4. Докажите, что для произвольных положительных чисел a и b выполняется неравенство

+ . (В.Сендеров)
5. 11 лучших футбольных команд Украины сыграли каждая с каждой по одному матчу. При этом оказалось, что каждая команда забила в первом матче 1 гол, во втором матче 2 гола, ..., в десятом матче – 10 голов. Какое наибольшее количество сыгранных матчей могло закончиться вничью? (И.Акулич)
6. Внутри треугольника ABC выбрана точка P. Через точку P проведены прямые, параллельные сторонам треугольника, которые пересекают другие стороны в точках X, Y, Z, T, V, W. Докажите, что если эти шесть точек лежат на одной окружности, то её центр лежит на прямой OP, где О – центр окружности, описанной около треугольника АВС. (А. Акопян)
7. Существует ли арифметическая прогрессия, составленная из 2005 натуральных чисел, ни одно из которых не является квадратом, однако их произведение – квадрат? (В.Сендеров)


Командная олимпиада

1
. (7) В равенстве АХЭХ = ХЭХА буквы обозначают цифры.

Докажите, что Х:Э = А:Х. (А. Жуков)
2. (7) На плоскости нарисовали четыре равных треугольника так, что любые два имеют ровно две общих вершины. Верно ли, что все они имеют общую вершину? (В. Гуровиц)

3. (7) Матбой начался между 10 и 11 часами, когда часовая и минутная стрелки были направлены в противоположные стороны, а закончился между 16 и 17 часами, когда стрелки совпали. Сколько времени продолжался матбой? (А.Заславский)

4. (7) Каждую букву русского алфавита закодировали последовательностью из нулей и единиц (последовательности могут быть разной длины). Используя этот код, Сеня записал слово «СЛОН». Оказалось, что полученная последовательность нулей и единиц расшифровывается однозначно. Какое наименьшее количество цифр могло в ней быть? (А.Акопян)
5. (7-8) На доске записаны числа от 1 до n. Два игрока по очереди вычеркивают какое-нибудь число и все числа, не взаимно простые с ним (если такие существуют). Проигрывает тот, кто не сможет сделать очередной ход. Докажите, что найдется n > 1000 такое, что выигрышной стратегией обладает первый игрок. (Д. Григоренко)
6. (7-9) Можно ли, используя по одному разу каждую из цифр от 0 до 9, составить число, обладающее следующими свойствами: если вычеркнуть двойку, то оно поделится на 2; если вычеркнуть тройку, то оно поделится на 3; если вычеркнуть четвёрку, то оно поделится на 4; ...; если вычеркнуть девятку, то оно поделится на 9? (И. Акулич)
7. (7-9) На клетчатом листе по линиям сетки нарисован многоугольник, который можно разрезать на 30 квадратиков 22. Какое наибольшее количество трёхклеточных уголков можно из него гарантированно вырезать? (Т. Караваева)
8. (7) Про четырёхугольник ABCD известно, что BAD = CDA = 60, а также
CAD = CDB. Докажите, что AB + CD = AD. (В. Произволов)
9. (8-9) Положительные числа x и y таковы, что x + y > 1. Докажите, что
2(x2 + y2) > x + y. (В.Сендеров)

10. (8-9) Пусть ABCD – трапеция (AD || BC), точка E лежит на отрезке BC. На отрезке AD постройте точку X, такую что YZ || AD, где Y – точка пересечения AE и BX, а Z – точка пересечения DE и CX. (В.Сендеров)

11. (9) У Пети был прямоугольный коврик с целочисленными сторонами, причём длина была кратна ширине. Петя разрезал его на части и сшил их так, что снова получился прямоугольный коврик, причём длина увеличилась на простое число p, а ширина осталась целочисленной. Найдите длину нового коврика. (Т. Караваева)
12. Треугольными называются числа, представимые в виде , где n – натуральное.

а) (8) Существуют ли треугольные числа, большие чем 10100, сумма которых также является треугольным числом?

б) (9) Существуют ли два треугольных числа, большие чем 10100, сумма которых также является треугольным числом? (В. Произволов, В. Сендеров)
13. (8-9) Выписано несколько n-значных чисел, в записи которых используются только цифры 1 и 2, причём каждые два числа отличаются по крайней мере в 51% разрядов. Докажите, что выписано не более 51 числа. (А. Шень)
14. (8-9) Отрезок CH – высота прямоугольного треугольника ABC, проведённая к гипотенузе AB. Точки O1, O2 и O – центры вписанных окружностей треугольников ACH, BCH и ABC соответственно. Докажите, что отрезки CO и O1O2 равны и перпендикулярны. (А. Хачатурян)

Матбои


Тур 1



следующая страница >>