birmaga.ru
добавить свой файл

  1 2 3

4. Метод Эйлера – классический метод решения задач безусловной оптимизации
Этот метод основан на необходимых и достаточных условиях, изученных в 1.1 – 1.3; применим нахождению локальных экстремумов только непрерывных дифференцируемых функций.
Алгоритм этого метода достаточно прост:
1)                    используя необходимые условия формируем систему http://coolreferat.com/ref-1_847483821-86.coolpic в общем случае нелинейных уравнений. Отметим, что решить аналитически эту систему в общем случае невозможно; следует применить численные методы решения систем нелинейных уравнений (НУ) (см. "ЧМ"). По этой причине метод Эйлера будет аналитически-численным методом. Решая указанную систему уравнений находим координаты стационарной точки http://coolreferat.com/ref-1_847450894-111.coolpic.;
2)                    исследуем ДКФ и матрицу Гессе http://coolreferat.com/ref-1_847467240-186.coolpic, которая ее представляет. С помощью критерия Сильвестра определяем, является ли стационарная точка http://coolreferat.com/ref-1_847450894-111.coolpic точкой минимума или точкой максимума;
3)                    вычисляем значение целевой функции http://coolreferat.com/ref-1_847451005-255.coolpic в экстремальной точке 
http://coolreferat.com/ref-1_847484570-373.coolpic

Методом Эйлера решить следующую задачу безусловной оптимизации: найти 4 стационарные точки функции вида:

http://coolreferat.com/ref-1_847484943-873.coolpic
Выяснить характер этих точек, являются ли они точками минимума, или Седловыми (см. [3]). Построить графическое отображение этой функции в пространстве и на плоскости (с помощью линий уровня).
Далее эту функцию будем именовать типовой функцией, исследуя ее экстремальные свойства всеми изученными методами.
5. Классическая задача условной оптимизации и методы ее решения: Метод исключения и Метод множителей Лагранжа (ММЛ)
Как известно, классическая задача условной оптимизации имеет вид:
http://coolreferat.com/ref-1_847485816-453.coolpic                                                                                (1)
http://coolreferat.com/ref-1_847486269-551.coolpic                                                                (2)
График, поясняющий постановку задачи (1), (2) в пространстве http://coolreferat.com/ref-1_847486820-110.coolpic.
http://coolreferat.com/ref-1_847486930-482.coolpic                                                                          (1')

http://coolreferat.com/ref-1_847487412-409.coolpic                                                                              (2')

http://coolreferat.com/ref-1_847487821-342.coolpichttp://coolreferat.com/ref-1_847488163-160.coolpic

http://coolreferat.com/ref-1_847488323-6167.coolpic
http://coolreferat.com/ref-1_847494490-244.coolpic - уравнения линий уровня
Итак, ОДР http://coolreferat.com/ref-1_847494734-97.coolpic в рассматриваемой задаче представляет собой некоторую кривую, представленную уравнением (2').
Как видно из рисунка, точка http://coolreferat.com/ref-1_847494831-93.coolpic является точкой безусловного глобального максимума; точка http://coolreferat.com/ref-1_847494924-92.coolpic - точкой условного (относительного) локального минимума; точка http://coolreferat.com/ref-1_847495016-93.coolpic - точка условного (относительного) локального максимума.
Задачу (1'), (2') можно решить методом исключения (подстановки), решив уравнение (2') относительно переменной http://coolreferat.com/ref-1_847495109-86.coolpic, и подставляя найденное решение (1').
http://coolreferat.com/ref-1_847495195-447.coolpic

Исходная задача (1'), (2') таким образом преобразована в задачу безусловной оптимизации функции http://coolreferat.com/ref-1_847495642-153.coolpic, которую легко решить методом Эйлера.

Метод исключения (подстановки).
Пусть целевая функция зависит от http://coolreferat.com/ref-1_847483821-86.coolpic переменных:
http://coolreferat.com/ref-1_847495881-509.coolpic
http://coolreferat.com/ref-1_847496390-175.coolpic
называются зависимыми переменными (или переменными состояния); соответственно можно ввести вектор
http://coolreferat.com/ref-1_847496565-451.coolpic
Оставшиеся http://coolreferat.com/ref-1_847497016-261.coolpic переменных http://coolreferat.com/ref-1_847497277-218.coolpic называются независимыми переменными решения.

Соответственно можно говорить о вектор-столбце:
http://coolreferat.com/ref-1_847497495-546.coolpic и вектора http://coolreferat.com/ref-1_847498041-985.coolpic.
В классической задаче условной оптимизации:
http://coolreferat.com/ref-1_847485816-453.coolpic                                                                                (1)

http://coolreferat.com/ref-1_847486269-551.coolpic                                                                (2)

Система (2) в соответствии с методом исключения (подстановки) должна быть разрешена относительно зависимых переменных (переменных состояния), т.е. должны быть получены следующие выражения для зависимых переменных:
http://coolreferat.com/ref-1_847500030-1253.coolpic                                                               (3)
Всегда ли система уравнений (2) разрешима относительно зависимых переменных http://coolreferat.com/ref-1_847496390-175.coolpic - не всегда, это возможно лишь в случае, когда определитель http://coolreferat.com/ref-1_847501458-89.coolpic, называемый якобианом, элементы которого имеют вид: 
http://coolreferat.com/ref-1_847501547-184.coolpichttp://coolreferat.com/ref-1_847501731-215.coolpic
не равен нулю (см. соответствующую теорему в курсе МА)

Как видно, функции http://coolreferat.com/ref-1_847503481-266.coolpichttp://coolreferat.com/ref-1_847501731-215.coolpic должны быть непрерывными дифференцируемыми функциями, во-вторых, элементы определителя http://coolreferat.com/ref-1_847501458-89.coolpic должны быть вычислены в стационарной точке целевой функции.

Подставляем http://coolreferat.com/ref-1_847496390-175.coolpic из (3) в целевую функцию (1), имеем:

http://coolreferat.com/ref-1_847504226-763.coolpic

http://coolreferat.com/ref-1_847504989-814.coolpic                    (5)
Исследуемая функция http://coolreferat.com/ref-1_847505803-407.coolpic на экстремум можно произвести методом Эйлера – методом безусловной оптимизации непрерывно дифференцируемой функции.
Итак, метод исключения (подстановки) позволяет использовать задачу классической условной оптимизации преобразовать в задачу безусловной оптимизации функции http://coolreferat.com/ref-1_847506210-398.coolpic - функции http://coolreferat.com/ref-1_847497016-261.coolpichttp://coolreferat.com/ref-1_847501946-1535.coolpic

переменных при условии (4), позволяющим получить систему выражений (3).
Недостаток метода исключения: трудности, а иногда и невозможность получения системы выражений (3). Свободный от этого недостатка, но требующий выполнения условия (4) http://coolreferat.com/ref-1_847506869-207.coolpic является ММЛ.

5.2. Метод множителей Лагранжа.

Необходимые условия в классической задаче условной оптимизации. Функция Лагранжа http://coolreferat.com/ref-1_847507076-291.coolpic

ММЛ позволяет исходную задачу классической условной оптимизации:

http://coolreferat.com/ref-1_847485816-453.coolpic                                                                                (1)
http://coolreferat.com/ref-1_847486269-551.coolpic                                                                (2)
Преобразовать в задачу безусловной оптимизации специально сконструированной функции – функции Лагранжа:
http://coolreferat.com/ref-1_847508371-1151.coolpic,                                           (3)
где http://coolreferat.com/ref-1_847509522-302.coolpichttp://coolreferat.com/ref-1_847509824-195.coolpic - множители Лагранжа;

http://coolreferat.com/ref-1_847510019-1031.coolpic.

Как видно, http://coolreferat.com/ref-1_847507076-291.coolpic представляет собой сумму, состоящую из исходной целевой функции http://coolreferat.com/ref-1_847451005-255.coolpic и "взвешенной" суммы функций http://coolreferat.com/ref-1_847503481-266.coolpichttp://coolreferat.com/ref-1_847501731-215.coolpic - функции, представляющие их ограничения (2) исходной задачи.


Пусть точка http://coolreferat.com/ref-1_847450894-111.coolpic - точка безусловного экстремума функции http://coolreferat.com/ref-1_847451005-255.coolpic, тогда, как известно, http://coolreferat.com/ref-1_847469697-348.coolpichttp://coolreferat.com/ref-1_847454116-215.coolpic, или http://coolreferat.com/ref-1_847513006-404.coolpic (полный дифференциал функции http://coolreferat.com/ref-1_847451005-255.coolpic в точке http://coolreferat.com/ref-1_847450894-111.coolpic).
Используя концепция зависимых и независимых переменных http://coolreferat.com/ref-1_847513776-319.coolpic - зависимые переменныеhttp://coolreferat.com/ref-1_847514095-372.coolpic - независимые переменные, тогда представим (5) в развернутом виде:
http://coolreferat.com/ref-1_847514467-1047.coolpic                                                  (5')
Из (2) с очевидностью следует система уравнений вида:



<< предыдущая страница   следующая страница >>