birmaga.ru
добавить свой файл

1 2 3
48. КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭКСТРЕМУМОВ. МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА.


Как известно, классическая задача безусловной оптимизации имеет вид:
http://coolreferat.com/ref-1_847449496-412.coolpic                                                                                     (1)

http://coolreferat.com/ref-1_847449908-986.coolpic                                                             (2)
Существуют аналитические и численные методы решения этих задач.
Прежде всего вспомним аналитические методы решения задачи безусловной оптимизации.
Методы безусловной оптимизации занимают значительное место в курсе МО. Это обусловлено непосредственным применением их при решении ряда оптимизационных задач, а также при реализации методов решения значительной части задач условной оптимизации (задач МП).
1. Необходимые условия для точки локального минимума (максимума)
Пусть т. http://coolreferat.com/ref-1_847450894-111.coolpic доставляет минимальные значения функции http://coolreferat.com/ref-1_847451005-255.coolpic. Известно, что в этой точке приращение функции неотрицательно, т.е. 
http://coolreferat.com/ref-1_847451260-690.coolpic.                                                                    (1)

Найдем http://coolreferat.com/ref-1_847451950-203.coolpic, используя разложения функции http://coolreferat.com/ref-1_847451005-255.coolpic в окрестности т. http://coolreferat.com/ref-1_847450894-111.coolpic в ряд Тейлора.

http://coolreferat.com/ref-1_847452519-981.coolpic,                                                     (2)
где http://coolreferat.com/ref-1_847453500-616.coolpichttp://coolreferat.com/ref-1_847454116-215.coolpichttp://coolreferat.com/ref-1_847454331-107.coolpic - сумма членов ряда порядок которых относительно приращений http://coolreferat.com/ref-1_847454438-240.coolpic (двум) и выше.

Из (2) имеем:
http://coolreferat.com/ref-1_847454678-1193.coolpic                                               (3)
Далее предположим, что изменяется только одна переменная из множества переменных http://coolreferat.com/ref-1_847455871-209.coolpic. Например, http://coolreferat.com/ref-1_847456080-97.coolpic, тогда (3) преобразуется к виду:
http://coolreferat.com/ref-1_847456177-540.coolpic                                                                 (4)

Из (4) с очевидностью следует, что 

http://coolreferat.com/ref-1_847456717-333.coolpic                                                                                       (5)


Предположим, что http://coolreferat.com/ref-1_847457050-334.coolpic, тогда 
http://coolreferat.com/ref-1_847457384-910.coolpic                                                                            (6)
С учетом (6) имеем: http://coolreferat.com/ref-1_847458294-396.coolpic.                                                (7)
Предположим, что http://coolreferat.com/ref-1_847457050-334.coolpic положительно, т.е. http://coolreferat.com/ref-1_847459024-310.coolpic. Выберем при этом http://coolreferat.com/ref-1_847459334-156.coolpic, тогда произведение http://coolreferat.com/ref-1_847459490-396.coolpic, что противоречит (1).
Поэтому, действительно, http://coolreferat.com/ref-1_847459886-404.coolpic очевиден.
Рассуждая аналогично относительно других переменных http://coolreferat.com/ref-1_847460290-171.coolpic получаем необходимое условие для точек локального минимума функции многих переменных

http://coolreferat.com/ref-1_847460461-499.coolpic

http://coolreferat.com/ref-1_847460960-1051.coolpic                                                               (8)
Легко доказать, что для точки локального максимума необходимые условия будут точно такими же, как и для точки локального минимуму, т.е. условиями (8).
Понятно, что итогом доказательства будет неравенство вида: http://coolreferat.com/ref-1_847462011-157.coolpic - условие неположительного приращения функции в окрестности локального максимума.
Полученные необходимые условия не дают ответ на вопрос: является ли стационарная точка http://coolreferat.com/ref-1_847450894-111.coolpic точкой минимума или точкой максимума.
Ответ на этот вопрос можно получить, изучив достаточные условия. Эти условия предполагают исследование матрицы вторых производных целевой функции http://coolreferat.com/ref-1_847451005-255.coolpic.

2. Достаточные условия для точки локального минимума (максимума)
Представим разложение функции http://coolreferat.com/ref-1_847462534-236.coolpic в окрестности точки http://coolreferat.com/ref-1_847450894-111.coolpic в ряд Тейлора с точностью до квадратичных по http://coolreferat.com/ref-1_847462881-288.coolpic слагаемых.

http://coolreferat.com/ref-1_847463169-1601.coolpic                    (1)

Разложение (1) можно представить более кратко, используя понятие: "скалярное произведение векторов" и "векторно-матричное произведение".
http://coolreferat.com/ref-1_847464770-939.coolpic                                             (1')
http://coolreferat.com/ref-1_847465709-685.coolpic
http://coolreferat.com/ref-1_847466394-504.coolpic
http://coolreferat.com/ref-1_847466898-342.coolpic
http://coolreferat.com/ref-1_847467240-186.coolpic - матрица двух производных от целевой функции по соответствующим переменным.
http://coolreferat.com/ref-1_847467426-468.coolpichttp://coolreferat.com/ref-1_847467894-256.coolpic
Приращение функции http://coolreferat.com/ref-1_847468150-536.coolpic на основании (1') можно записать в виде:
http://coolreferat.com/ref-1_847468686-1011.coolpic                                   (3)
Учитывая необходимые условия:

http://coolreferat.com/ref-1_847469697-348.coolpichttp://coolreferat.com/ref-1_847454116-215.coolpic                                                                          (4)

Подставим (3) в виде:
http://coolreferat.com/ref-1_847470260-345.coolpic                                                                           (4')
http://coolreferat.com/ref-1_847470605-919.coolpic                                                        (5)
Квадратичная форма http://coolreferat.com/ref-1_847471524-205.coolpic называется дифференциальной квадратичной формой (ДКФ).
Если ДКФ положительно определена, то http://coolreferat.com/ref-1_847471729-155.coolpic и стационарная точка http://coolreferat.com/ref-1_847450894-111.coolpic является точкой локального минимума.
Если же ДКФ и матрица http://coolreferat.com/ref-1_847467240-186.coolpic, ее представляющая, отрицательно определены, то http://coolreferat.com/ref-1_847472181-156.coolpic и стационарная точка http://coolreferat.com/ref-1_847450894-111.coolpic является точкой локального максимума.
Итак, необходимое и достаточное условие для точки локального минимума имеют вид
http://coolreferat.com/ref-1_847472448-226.coolpic

http://coolreferat.com/ref-1_847454116-215.coolpic (эти же необходимые условия можно записать так:

http://coolreferat.com/ref-1_847472889-287.coolpichttp://coolreferat.com/ref-1_847473176-417.coolpichttp://coolreferat.com/ref-1_847473593-358.coolpic)
http://coolreferat.com/ref-1_847473951-249.coolpic - достаточное условие.
Соответственно, необходимое и достаточное условие локального максимума имеет вид:
http://coolreferat.com/ref-1_847472448-226.coolpichttp://coolreferat.com/ref-1_847454116-215.coolpic (http://coolreferat.com/ref-1_847474641-825.coolpic), http://coolreferat.com/ref-1_847475466-249.coolpic.
Вспомним критерий, позволяющий определить: является ли квадратичная форма и матрица, ее представляющая, положительно определенной, или отрицательно определенной.
3. Критерий Сильвестра
Позволяет ответить на вопрос: является ли квадратичная форма и матрица, ее представляющая, положительно определенной, или отрицательно определенной.
Далее изложение будет относительно ДКФ и матрицы http://coolreferat.com/ref-1_847467240-186.coolpic ее определяющей, т.е. ДКФ вида

http://coolreferat.com/ref-1_847475901-215.coolpic.

http://coolreferat.com/ref-1_847467426-468.coolpichttp://coolreferat.com/ref-1_847467894-256.coolpic - называется матрицей Гессе.
http://coolreferat.com/ref-1_847476840-3274.coolpic
Главный определитель матрицы Гессе http://coolreferat.com/ref-1_847467240-186.coolpic
http://coolreferat.com/ref-1_847480300-358.coolpic
http://coolreferat.com/ref-1_847480658-681.coolpic
http://coolreferat.com/ref-1_847481339-1014.coolpic
http://coolreferat.com/ref-1_847482353-393.coolpic
http://coolreferat.com/ref-1_847467240-186.coolpic и ДКФ, которую оно представляет, будут положительно определенными, если все главные определители матрицы Гессе (http://coolreferat.com/ref-1_847467240-186.coolpic) положительны (т.е. имеет место следующая схема знаков:
http://coolreferat.com/ref-1_847483118-170.coolpic)

Если же имеет место другая схема знаков для главных определителей матрицы Гессе http://coolreferat.com/ref-1_847467240-186.coolpic, напримерhttp://coolreferat.com/ref-1_847483474-161.coolpic, то матрица http://coolreferat.com/ref-1_847467240-186.coolpic и ДКФ отрицательно определены.


следующая страница >>