birmaga.ru
добавить свой файл

1 2 ... 8 9



3.Введение в анализ


Символы математической логики

Для сокращения записи утверждений используются символы:

квантор общности, означающий «для любого», «для каждого»;

квантор существования, означающий «существует»;

! – квантор единственности, означающий «единственное»;

| – символ, означающий «при», «такое что», «имеет место»;

– знак логического следствия (запись «» означает «из утверждения A следует утверждение B»);

– знак двойного логического следствия (запись «» означает «из утверждения A следует утверждение B, и из утверждения B следует утверждение A», или «утверждения A и B эквивалентны»);

– знак логического «или» (запись «» означает «выполнено хотя бы одно из утверждений A или B»);

– знак логического «и» (запись «» означает «выполнены оба утверждения A и B»);

Вместо знака логического следствия в некоторых случаях используют близкую по смыслу запись в виде пары круглых скобок.

3.1Множества


Наиболее общим понятием математики является понятие множества. Дать определение этому понятию не удается; можно лишь пояснить, что близкими по содержанию являются такие понятия, как набор и совокупность. Подобного описания вполне достаточно, так как при построении теории природа самих объектов игнорируется: предметом исследования являются лишь свойства операций, отношений между объектами определенных множеств.

Для обозначения того, что объект a является элементом множества A, используют знак принадлежности

;

если объект a не является элементом множества A, то записывают

.

Задать множество можно двумя способами. Первый способ состоит в перечислении всех элементов. Например, множество состоит из чисел 1, 2 и 3; множество состоит из всех четных чисел, и т.д.

Второй способ состоит в указании характеристического свойства, которым обладают те и только те элементы, которые принадлежат данному множеству. Например, множество всех четных чисел можно определить так:



(читается «множество x, таких что »); здесь Z – множество целых чисел.

Два множества называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Равенство множеств обладает такими же свойствами, что и равенство чисел:

1. (равенство рефлексивно).


2. Если то (равенство симметрично).

3. Если и то (равенство транзитивно).

Множество A называют подмножеством множества B, если любой элемент множества A является элементом множества B. Отношение «являться подмножеством» записывают при помощи знака включения:



(читается «A включается в B» или «B включает A»). Если при этом множества A и B не равны, то A называют собственным подмножеством B.

Два множества A и B равны тогда и только тогда, когда A является подмножеством B и множество B является подмножеством A.

Множество , не содержащее ни одного элемента, называется пустым. Пустое множество является подмножеством любого другого. Множество, состоящее из пустого множества, само уже не является пустым.

Объединением (или суммой) множеств A и B называют множество , состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B (некоторый элемент принадлежит объединению множеств тогда и только тогда, когда он принадлежит или множеству A, или множеству B).


Пересечением (или произведением) множеств A и B называют множество , состоящее тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из множеств A и B (некоторый элемент принадлежит пересечению множеств тогда и только тогда, когда он одновременно принадлежит и множеству A, и множеству B).

Разностью множеств A и B называют множество , состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству A, но не принадлежат множеству B (некоторый элемент принадлежит разности множеств тогда и только тогда, когда он одновременно принадлежит множеству A и не принадлежит множеству B).

Если пересечение множеств A и B пустое:

,

то говорят, что множества A и B не пересекаются. В этом случае , .

Многие свойства операций объединения, пересечения и разности множеств аналогичны свойствам суммы, произведения и разности чисел, однако имеются и отличия.

1. (объединение коммутативно).

2. (пересечение коммутативно).

3. (объединение ассоциативно).

4. (пересечение ассоциативно).


5. (пересечение дистрибутивно относительно объединения).

6. (пересечение дистрибутивно относительно разности).

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .



следующая страница >>