birmaga.ru
добавить свой файл

1
Динамика кулисного механизма


Кулисный механизм (рис. 1), состоящий из маховика 1, кулисы 2 и катка 3, расположен в горизонтальной плоскости и приводится в движение из состояния покоя вращающим моментом , создаваемым электродвигателем. Заданы массы звеньев механизма; величина вращающего момента; радиус инерции катка и радиусы его ступеней; радиус маховика, представляющего собой сплошной однородный цилиндр, R1 = 0,36 м; OA = 0,24 м. (табл. 1).

Определить:


  • Угловую скорость маховика при его повороте на угол .

  • Угловое ускорение маховика при его повороте на угол .

  • Силу, приводящую в движение кулису в положении механизма, когда и реакцию подшипника на оси маховика.

  • Силу, приложенную в центре катка и уравновешивающую механизм в положении, когда .

Записать дифференциальное уравнение движение механизма, используя уравнение Лагранжа второго рода и уравнение движения машины.

Подготовить презентацию в Pоwer Point к защите курсовой работы.



Рис. 1

Таблица 1.

, кг

, кг

, кг

, Н·м

, м






, рад

51

21

24

50

0,09

0,08

0,18

5π/4



1. Кинематический анализ механизма.

1.1. Определение кинематических характеристик

Механизм состоит из трех звеньев. Ведущим является маховик 1, к которому приложен вращающий момент со стороны электродвигателя. От маховика посредством кулисы 2 движение передается ведомому звену 3 – катку. Маховик совершает вращательное движение, кулиса – поступательное, каток – плоское. Начало координат помещаем в точку , ось направляем вправо, ось – вверх (рис. 2).

Скорость и ускорение поступательно движущейся кулисы находим по теоремам сложения скоростей и ускорений, рассматривая движение кулисного камня как сложное. Переносная скорость и переносное ускорение т. определяют скорость и ускорение кулисы в ее поступательном движении.

Так как

и ,

то

, .

Откуда

, .


Скорость центра катка находим из условия пропорциональности скоростей его точек расстояниям до мгновенного центра скоростей

.

Откуда

, .
Угловую скорость катка находим как отношение скорости его центра к расстоянию до мгновенного цента скоростей, угловое ускорение дифференцированием угловой скорости
, .
Укажем векторы ,,,,,,, и в положении механизма, изображенном в условии задачи, когда . Так как динамический расчет еще не проведен и информация об угловой скорости маховика и его угловом ускорении отсутствует, то изображение носит иллюстративный характер, с учетом того, что в данном положении и кулиса и каток движутся замедлено. Каток приближается к его крайнему нижнему положению.

y

x


Рис.2
1.2. Уравнения геометрических связей
Как и раньше, начало координат помещаем в точку , ось направляем вправо, ось – вверх.

Уравнения связей:

, , , ,


, , .
Последние два соотношения получены интегрированием равенств
и .
2. Определение угловой скорости и углового ускорения маховика.

2.1. Кинетическая энергия системы
Кинетическую энергию механизма находим как сумму кинетических энергий его звеньев

.
Кинетическая энергия вращающегося маховика:
,

– момент инерции маховика относительно оси вращения.

Кинетическая энергия поступательно движущейся кулисы:
,
Кинетическая энергия катка, совершающего плоское движение:
,
– момент инерции маховика относительно оси вращения.

Кинетическая энергия системы:
.
После тождественных преобразований:

– приведенный к ведущему звену момент инерции.
2.2. Производная кинетической энергии по времени
Производную кинетической энергии по времени находим по правилу вычисления производной произведения и производной сложной функции
.

Здесь


2.3. Элементарная работа и мощность внешних сил и работа внешних сил на конечном перемещении (механизм в горизонтальной плоскости)

В случае, когда механизм расположен в горизонтальной плоскости работу совершает только вращающий момент . Элементарная работа при этом определяется равенством

.

Мощность


Работа при повороте маховика на угол
.
2.4. Определение угловой скорости маховика при его повороте на угол φ*
Для определения угловой скорости маховика применяем теорему об изменении кинетической энергии в конечной форме, полагая, что механизм в начальный момент находился в покое.
, , .
Подстановка в это равенство найденных выражений и дает
,

где .
Тогда

.
2.5. Определение углового ускорения маховика при его повороте на угол φ*
Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергией в дифференциальной форме
, .
Подставляя в это уравнение найденные выше значения, находим
.

Откуда

(1)

и



Это дифференциальное уравнение второго порядка описывает движение кулисного механизма. Оно может быть проинтегрировано только численно, а также использовано для нахождения углового ускорения маховика в произвольном его положении.

Определим угловое ускорение маховика при угле его поворота .

.

3. Определение сил.

3.1. Определение реакций внешних и внутренних связей в положении φ*
Определим реакцию подшипника на оси маховика и силу, приводящую в движение кулису с помощью принципа д`Аламбера, рассматривая движение маховика отдельно от других тел системы.

Маховик совершает вращательное движении. Внешними силами, помимо пары сил с моментом , на него действуют реакция подшипника и реакция кулисы (рис.3). Система сил инерции приводится к паре с моментом , направленным против вращения, т.к. оно ускоренное (рис.3).



Рис.3
Записывая условие уравновешенности плоской системы внешних сил


находим
.
При угле


Сила , приводящая в движение кулису, по третьему закону динамики равна реакции кулисы и направлена в противоположную сторону.
3.2. Определение силы уравновешивающей кулисный механизм
Найдем силу, которую надо приложить к оси катка, чтобы она уравновешивала действие момента, создаваемого электродвигателем в положении маховика .

Для этого воспользуемся принципом виртуальных перемещений

или в аналитической форме, с учетом действующих на систему активных сил:
.
Используя уравнения связей

, ,

находим вариации координат
, .
Подстановка этих соотношений в уравнение принципа виртуальных перемещений дает
.
Любая сила, имеющая такую проекцию на ось уравновешивает действие вращательного момента.
4. Составление дифференциального уравнения движения кулисного механизма.

4.1. Уравнение Лагранжа второго рода
Составим дифференциальное уравнение движения кулисного механизма в форме уравнения Лагранжа второго рода, выбирая за обобщенную координату угол поворота маховика
.
Обобщенная сила определяется отношением
,

где

.

Тогда

.
Воспользовавшись найденным ранее выражением для кинетической энергией системы

,

находим ее производные

Подстановка найденных значений в уравнение Лагранжа дает
. (2)
4.2. Уравнение движения машины
Машиной называется совокупность твердых тел (звеньев), соединенных между собой так, что положение и движение любого звена полностью определяется положением и движением одного звена, называемого ведущим. Если ведущим звеном является кривошип, то уравнение машины записывается в форме

, (3)

- момент инерции машины, приведенный к оси вращения ведущего звена; - вращающийся момент, приведенный к оси вращения ведущего кривошипа.


Приведенный момент инерции найден в п.2.1 курсовой работы. Приведенный вращающий момент определяется равенством
.
Для рассматриваемого кулисного механизма
.
Дифференциальные уравнения движения механизма, полученные с помощью теоремы об изменении кинетической энергии (1), уравнения Лагранжа (2) и уравнения движения машины (3) совпадают.


  1. Результаты вычислений

В таблице 2 приведены угловая скорость и угловое ускорений маховика, а также динамические и статические усилия.
Таблица 2.


, рад/с

, рад/с2

,

Н

, Н

,

Н

, Н

9,53

32,96

347,18

0

347,18

425,53