birmaga.ru
добавить свой файл

1
Экзаменационные вопросы по курсу


«Теория вероятностей и математическая статистика».
1. Вероятностное пространство. Счетная аддитивность, монотонность вероятностной меры P. Вероятность объединения событий. Лемма Бореля-Кантелли.

2. Независимость событий, случайных величин.

3. Случайные величины и их распределения вероятностей.

4. Биномиальное распределение. Пуассоновская аппроксимация (предельная теорема и неравенство).

5. Биномиальное распределение. Интегральная теорема Муавра-Лапласа (вывод ее из центральной предельной теоремы или теоремы Муавра-Лапласа).

6. Неравенство Чебышева и его уточнения. Закон больших чисел. Теорема Бернулли.

7. Вероятностное доказательство теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной на отрезке функции полиномами.

8. Классическое и геометрическое определение вероятности. Свойства вероятностей.

9. Свойства распределений сумм независимых случайных величин.

10. Неравенства для распределений максимума сумм независимых случайных величин.

11. Задача о разорении игрока.

12. Математические ожидания и их свойства.

13. Характеристические функции: формула обращения, теорема единственности (план доказательства), теорема непрерывности (без доказательства).

14. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных случайных величин. Теорема Ляпунова (без доказательства).

15. Задача выбора одной из двух простых гипотез. Оценка снизу необходимого числа независимых наблюдений с помощью неравенства Йенсена.

16. Задача выбора одной из двух простых гипотез. Лемма Неймана-Пирсона и ее применение к проверке гипотез о математическом ожидании нормального распределения.

17. Задача выбора одной из двух простых гипотез. Лемма Неймана-Пирсона и ее применение к проверке гипотез о вероятности успеха в схеме Бернулли.


18. Несмещенные оценки. Неравенство Рао-Крамера. Эффективные оценки.

19. Эффективные оценки: метод максимального правдоподобия, оценки с дисперсией, меньшей, чем граница Рао-Крамера.

20. Определение доверительного интервала. Доверительные интервалы для неизвестного математического ожидания нормального распределения (при известной и неизвестной дисперсии).

21. Доверительные интервалы для вероятности успеха в схемах Бернулли и Пуассона.

22. Различные виды сходимостей последовательностей случайных величин и их ( сходимостей ) свойства.

23. Теорема о предельном распределении статистики критерия согласия Пирсона хи-квадрат. Критерий согласия Колмогорова и свойства статистики Dn.

24. Усиленный закон больших чисел.

25. Сходимость рядов из независимых случайных величин.

26. Оптимальные оценки. Теорема о единственности оптимальной оценки. Теорема Блэкуэлла-Колмогорова.