birmaga.ru
добавить свой файл

1
СОДЕРЖАНИЕ


Задание№1. 2

Задание№11. 3

Задание№21. 4

Задание№31. 5

Задание№41. 6

Задание№51. 8

Задание№61. 9

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 10

Задание №1. Вычислить частные производные от следующей функции:

Решение
Найдем частные производные первого порядка заданной функции:







Задание №11. Вычислить полный дифференциал второго порядка от функции


Решение
Найдем частные производные первого порядка.



Найдем частные производные второго порядка заданной функции:



Полный дифференциал 2-ого порядка функции вычисляется по формуле:



Задание №21. Найти производную неявно заданной функции:


Решение
Вычисляем производную, считая функцией от



Выражая получим искомую производную








Задание №31. Найти производные неявно заданной функции:

Решение
Запишем неявно заданную функцию

Найдем частные производные первого порядка.




Тогда




Задание №41. Найти градиент функции в точке А и производную этой функции в точке А по направлению к точке В:

Решение
Вычислим частные производные и определим их значения в точке

Градиент функции равен




Найдем направляющие косинусы вектора :




Производная по направлению равна


В точке


Задание №51. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в точке .

Решение
Поскольку поверхность задана в виде

то уравнение касательной плоскости к указанной поверхности в заданной точке имеет вид:

Уравнение нормали имеет вид:


Вычислим частные производные функции и определим их значения в точке :



Тогда уравнение касательной плоскости принимает вид:


Уравнение нормали принимает вид:


Задание №61. Найти экстремум функции:

Решение
Найдем стационарные точки, решив систему уравнений:.

Найдем частные производные заданной функции.


Решим систему

Получили стационарную точку
Проверим достаточное условие экстремума. Найдем частные производные второго порядка:


Для точки



Так как и, то точка – точка минимума.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1 / Д.Т. Письменный. –М.: Айрис-пресс, 2003. – 288 с.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 2 / Д.Т. Письменный. –М.: Айрис-пресс: Рольф, 2002. – 256 с.

3. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: учебник для втузов. В 2 т. Т. 1 / Н. С. Пискунов.– М.: Интеграл-Пресс, 2001.– 456 с.