birmaga.ru
добавить свой файл

1

Метод корневого годографа





Пример корневого годографа системы
.

Пусть передаточная функция замкнутой системы

,

причём порядок полинома числителя равен , порядок полинома знаменателя равен для физически реализуемых систем.

метод корневого годографа связывает динамические характеристики системы с поведением нулей и полюсов её передаточной функции, которые находятся из нулей и полюсов разомкнутой системы при изменении какого-либо параметра (обычно коэффициента усиления разомкнутой системы). Замкнутая система связана с разомкнутой с помощью следующего соотношения:

.

Пусть точка является полюсом замкнутой системы. Проведём в эту точку вектора из всех нулей разомкнутой системы (обозначим аргументы этих векторов ) и всех полюсов (аргументы этих векторов обозначим ). Тогда корневым годографом будет являться геометрическое место точек, удовлетворяющих следующему уравнению:




Метод корневого годографа позволяет подобрать коэффициент усиления системы управления, оценить колебательность движения, подобрать расположение нулей и полюсов корректирующих звеньев системы управления.

Свойства корневого годографа


Рассмотрим свойства корневого годографа при изменении коэффициента усиления:

  1. Ветви корневого годографа непрерывны и симметричны относительно действительной оси комплексной плоскости.

  2. Число ветвей корневого годографа равно порядку системы .

  3. Ветви начинаются в полюсах разомкнутой системы (так как при нулевого коэффициенте усиления полюсы разомкнутой и замкнутой систем совпадают). При возрастании от 0 до бесконечности полюса замкнутой системы двигаются по ветвям корневого годографа.

  4. Так как при полюсы замкнутой системы становятся равными нулям разомкнутой системы, то ровно ветвей корневого годографа заканчивается в нулях замкнутой системы, а остальные ветви уходят в бесконечность.
  5. Замкнутая система является устойчивой, если её полюса лежат в левой полуплоскости плоскости корней. Соответственно при пересечении ветвями годографа мнимой оси слева направо система из устойчивой становится неустойчивой. Коэффициент усиления, соответствующий этому переходу, называется критическим. Данное свойство полезно при оценке устойчивости системы.

Корневой метод синтеза


Метод позволяет получить приемлемые динамические качества, при заданной структуре САР и заданном значении коэффициента усиления (последний член характеристического уравнения).

Пусть имеется ХУ:

(1)

sn+A1sn-1+...+An = 0.

Сумма модулей вещественных частей всех корней равна коэффициенту A1. При заданной его величине быстродействие будет максимальным, если вещественные части корней равны. Но это не достижимо - система будет не устойчивой. Например, для САР состоящей из 3-х апериодических звеньев выполнение условия эквивалентно равенству постоянных времени...

Реально всегда можно выделить 2 или 3 корня, с наименьшей по модулю вещественной частью, которые определяют вид переходного процесса. Положим их 2 и они комплексные. Перепишем ХУ:

(2)

(sn-2+C1sn-3+...+Cn-3) (s2+B1s+B2) = 0.

Достаточно рассматривать только 2-ой сомножитель, поскольку им определен вид переходного процесса:

  • B2 определяется значением K и должен иметь возможно большее значение.

  • B1 определяется суммой 2-х низкочастотных постоянных времени и связан с затуханием , следовательно должен быть выбран исходя из 2-х противоречивых требований быстродействия и устойчивости.

Оптимальное соотношение между B1 и B2 может быть получено из условия затухания за один период , выбор которого определяет отношение вещественной части корней к мнимой:

 =  = 2 / ln(1/(1-1/)),   где:  = - B1/2;   = (B2-B12/4)1/2.


Если принять, что вид переходного процесса определяют три корня, то следует воспользоваться уравнением 3-ей степени:

(3)

(...) (s3+B1s2+B2s1+B3) = 0,

которое нужно представить в виде:

(s+C11) (s2+B11s+B22) = 0.

Вещественные части корней будут равны 1 = 2,3 = - B1/3. Требования к B11 и B22 уже сформулированы, а связи с (3) определены равенствами:

B1=C11+B11,   B2=B22+B11C11,  B3=C11B22.

Выбор порядка уравнения для описания основной составляющей переходного процесса (2) или (3) зависит от структурной схемы САР.

Метод корневых годографов


Метод позволяет подобрать параметры системы по оценке их влияния на общую картину расположения корней замкнутой САР.

Полюсы и нули (корни) всегда можно вычислить и нанести на комплексную плоскость. Если менять один из параметров системы, (K, ..., Ti, ..., ), то изменения в ПФ (s) приведут к смещению корней - движению по траекториям, совокупность которых называется корневым годографом. Если менять один параметр, при дискретных значениях другого, то можно оптимально выбрать значения уже 2-х параметров, оценивая семейство корневых годографов. При выборе допустимо пользоваться любой из корневых оценок качества: , , 0.

Наиболее эффективен метод при выборе K.

При изменении K от 0 до бесконечности правила движения корней выглядят так:

  1. Если K=0, то корни ХУ (*) совпадают с полюсами W(s), т.к. G(s) должна стремится к бесконечности.


  2. Если K, то часть корней ХУ (*) совпадают с нулями W(s), а часть уходит в бесконечность, т.к. G(s)0 как при совпадении s с нулями, так и при s. Наклон асимптот для уходящих в бесконечность корней можно рассчитать по формуле:

(+2i) / (n-m),   где: i=1,2, ..., n-m.

Корневой метод синтеза


Метод позволяет получить приемлемые динамические качества, при заданной структуре САР и заданном значении коэффициента усиления (последний член характеристического уравнения).

Пусть имеется ХУ:

(1)

sn+A1sn-1+...+An = 0.

Сумма модулей вещественных частей всех корней равна коэффициенту A1. При заданной его величине быстродействие будет максимальным, если вещественные части корней равны. Но это не достижимо - система будет не устойчивой. Например, для САР состоящей из 3-х апериодических звеньев выполнение условия эквивалентно равенству постоянных времени...

Реально всегда можно выделить 2 или 3 корня, с наименьшей по модулю вещественной частью, которые определяют вид переходного процесса. Положим их 2 и они комплексные. Перепишем ХУ:

(2)

(sn-2+C1sn-3+...+Cn-3) (s2+B1s+B2) = 0.

Достаточно рассматривать только 2-ой сомножитель, поскольку им определен вид переходного процесса:
  • B2 определяется значением K и должен иметь возможно большее значение.


  • B1 определяется суммой 2-х низкочастотных постоянных времени и связан с затуханием , следовательно должен быть выбран исходя из 2-х противоречивых требований быстродействия и устойчивости.

Оптимальное соотношение между B1 и B2 может быть получено из условия затухания за один период , выбор которого определяет отношение вещественной части корней к мнимой:

 =  = 2 / ln(1/(1-)),   где:  = - B1/2;   = (B2-B12/4)1/2.

Если принять, что вид переходного процесса определяют три корня, то следует воспользоваться уравнением 3-ей степени:

(3)

(...) (s3+B1s2+B2s1+B3) = 0,

которое нужно представить в виде:

(s+C11) (s2+B11s+B22) = 0.

Вещественные части корней будут равны 1 = 2,3 = - B1/3. Требования к B11 и B22 уже сформулированы, а связи с (3) определены равенствами:

B1=C11+B11,   B2=B22+B11C11,   B3=C11B22.

Выбор порядка уравнения для описания основной составляющей переходного процесса (2) или (3) зависит от структурной схемы САР.

Метод корневых годографов


Рабочие файлы: [root_locus.vsm]

Метод позволяет подобрать параметры системы по оценке их влияния на общую картину расположения корней замкнутой САР.


Если ПФ замкнутой САР:

    где: m < n,

то полюсы и нули (корни) всегда можно вычислить и нанести на комплексную плоскость. Если менять один из параметров системы, (K, ..., Ti, ..., ), то изменения в ПФ (s) приведут к смещению корней - движению по траекториям, совокупность которых называется корневым годографом. Если менять один параметр, при дискретных значениях другого, то можно оптимально выбрать значения уже 2-х параметров, оценивая семейство корневых годографов. При выборе допустимо пользоваться любой из корневых оценок качества: , , 0. Наиболее эффективен метод при выборе K.

Рассмотрим идею построения траекторий корней. ПФ разомкнутой системы и ХУ запишем в виде:

(*)

,

здесь s - не оператор Лапласа или дифференцирования, а любая точка на одной из возможных траекторий корней, которые мы хотим построить варьируя K !!!

Если корни - полюсы и нули известны (q1oq2o, ..., qmo; q1xq2x, ..., qnx), то операторную часть ПФ - G1(s) можно представить в виде:



где: ;    n>m.

Представим сомножители (s - qi) векторами:

.


Теперь вновь запишем ХУ:

.

При изменении K от 0 до бесконечности уравнения (1) и (2) определяют правила движения корней:


  1. Если K=0, то корни ХУ (*) совпадают с полюсами W(s), т.к. G(s) должна стремится к бесконечности.

  2. Если K, то часть корней ХУ (*) совпадают с нулями W(s), а часть уходит в бесконечность, т.к. G(s)0 как при совпадении s с нулями, так и при s. Наклон асимптот для уходящих в бесконечность корней можно рассчитать по формуле:

(+2i) / (n-m),   где: i=1,2, ..., n-m.

Анализ и синтез САУ методом корневого годографа


Ознакомление с методикой построения корневых годографов для анализа и синтеза линейных (линеаризованных) систем автоматического управления.

 

Постановка задачи

Дана модель разомкнутой системы, записанная в виде отношения произведений типовых звеньев:

.

Необходимо:

    1. Построить корневой годограф.

    2. Получить коэффициент усиления Kкр, при котором система находится на границе устойчивости.

    3. Вычислить частоту   кр, при которой в системе возникают незатухающие колебания.

    4. Нанести на ветви корневого годографа значения полюсов замкнутой системы, соответствующие 0.5.Kкр и 0.25.Kкр.

    5. Привести выражение для Wз(s) в виде произведения типовых звеньев. Указать значения параметров типовых звеньев.

В ряде случаев, имеющих практическое значение, модель линейной системы автоматического управления (САУ) задается в виде структурной схемы, состоящей из типовых звеньев, математическое описание которых задано в операторной форме. Связь между входом и выходом системы задается в виде передаточной функции W(s). B общем виде передаточную функцию W(s) можно представить в виде:


(2.1)

где s – комплексная переменная, B(s) – полином степени m; A(s) – полином степени n.

Для физически реализуемых САУ mn. Коэффициенты указанных полиномов действительные числа.

Применение метода корневого годографа (КГ) обусловлено фундаментальной зависимостью поведения линейной САУ от полюсов и нулей ее передаточной функции. Под полюсами подразумеваются корни полинома - знаменателя A(s), а под нулями - корни полинома числителя B(s). Полином A(s) называется также характеристическим многочленом передаточной функции W(s).

Положение полюсов W(s) на комплексной плоскости определяет устойчивость САУ, а в совокупности с нулями вид импульсной переходной функции w(t) и переходной функции h(t).

Метод корневого годографа позволяет находить полюса и нули передаточной функции замкнутой системы, располагая полюсами и нулями разомкнутой системы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы k. Метод корневого годографа является также методом проектирования пропорционального устойчивого регулятора.

Передаточную функцию разомкнутой системы Wp(s) представим в виде:

, (2.2)

где – нули передаточной функции Wp(s), (); полюса передаточной функции Wp(s), (), n и m – порядки знаменателя и числителя; K - коэффициент усиления разомкнутой системы; C - коэффициент представления.


Передаточная функция разомкнутой системы, как правило, задается в виде отношения произведений передаточных функций стандартных (типовых) звеньев, при описании которых используются выражения трех видов:

Ts (2.3)

Ts +1 (2.4)

2s 2 + 2T  + 1 (2.5)

Здесь Т постоянная времени [с].

Если выражения (2.3), (2.4), (2.5) стоят в знаменателе передаточных функций звеньев (в числителе 1), то звенья называются соответственно интегрирующим, апериодическим, колебательным. Для колебательного звена  - безразмерный коэффициент затухания (0 <   < 1). Если выражения (2.3), (2.4), (2.5) стоят в числителе передаточных функций звеньев (2.1), то звенья называются соответственно дифференцирующим, форсирующим первого порядка, форсирующим второго порядка.

Для перехода от стандартной формы записи к формуле (2.2) необходимо вычислить полюса и нули соответствующих типовых звеньев.

Для передаточных функций, использующих выражение (2.3) –

, (2.6)

использующих выражение (2.4) –

, (2.7)

использующих выражение (2.5) –

, (2.8)

или

(2.9)

где  = arcsin  .

Коэффициент представления C вычисляется по формуле

(2.10)

Замечание. Для звеньев, использующих выражение (2. 5), соответствующая постоянная времени входит в выражение (2.10) в квадрате.

При замыкании системы с передаточной функцией Wp(s) единичной обратной связью передаточная функция замкнутой системы Wз(s) принимает вид:


, (2.11)

где знак “+” соответствует отрицательной обратной связи; знак “–” соответствует положительной обратной связи.

Структурная схема системы с обратной связью приведена на рис. 2.1.



Рис. 2.1. Структурная схема САУ.

Из (2.11) следует, что нули передаточной функции замкнутой системы равны нулям передаточной функции разомкнутой системы.

Задачу можно представить следующим эквивалентным образом. Есть объект управления, определяемый передаточной функцией . Необходимо найти значение параметра пропорционального регулятора (рис. 2.2.)



Рис. 2.2. Эквавалентная схема САУ.

Для определения полюсов замкнутой системы (рис. 2.1.) необходимо решить уравнение:

Wp(s) = – 1 (2.12)

Так как Wp(s) является функцией комплексного переменного s, то уравнение (12) распадается на два уравнения:

– уравнение модулей:

|W(s)|=1 (2.13)

– уравнение аргументов:

arg W(s) =  (2 +1) ,  =0, 1, 2, … (2.14а)

для отрицательной обратной связи и

arg W(s) =  2 ,  =0, 1, 2, … (2.14б)

для положительной обратной связи.

Уравнения (2.14) имеют наглядный геометрический смысл. Если точка s является полюсом замкнутой системы, то, проведя в точку s вектора из всех нулей Wp(s) (обозначим аргументы этих векторов ) и вектора из всех полюсов Wp(s) (обозначим аргументы этих векторов ), уравнение (2.14а) можно записать в следующем виде:


,  = 0, 1, 2, … (2.15a)

а уравнение (2.14б) в виде:

,  = 0, 1, 2, … (15б)

Углы  отсчитываются от положительного направления действительной оси. Знак угла “+” соответствует повороту против часовой стрелки, знак угла “–” соответствует повороту по часовой стрелке.

Геометрическое место точек на комплексной плоскости “s”, удовлетворяющее выражениям (2.15а) и (2.15б) называется корневым годографом.

Как следует из (2.15), конфигурация корневого годографа не зависит от коэффициента усиления K, но каждому конкретному значению K однозначно соответствуют точки на корневом годографе.

Для определения этого соответствия достаточно воспользоваться уравнением ( 2.13) в следующей интерпретации:

, (2.16)

где – модуль (длина) вектора, проведенного из j-нуля в точку s КГ; модуль вектора, проведенного из i-полюса в ту же точку s.

Приведем свойства корневых годографов (случай отрицательной обратной связи):

1. Ветви корневого годографа непрерывны и расположены на комплексной плоскости симметрично относительно действительной оси.

2. Число ветвей КГ равно порядку системы n. Ветви начинаются в n полюсах разомкнутой системы при K = 0. При возрастании K от 0 до бесконечности полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ.

3. Отрезки действительной оси, по которым перемещаются действительные полюса замкнутой системы являются действительными ветвями корневого годографа. Эти ветви находятся в тех частях действительной оси, справа от которых расположено нечетное общее число действительных полюсов и нулей разомкнутой системы.


4. m ветвей КГ при возрастании K от 0 до бесконечности заканчиваются в m нулях Wp(s), a (– m) ветвей при K, стремящемся к бесконечности, удаляются от полюсов вдоль асимптот.

5. Асимптоты в виде звезды из (– m) полупрямых выходят из точки с координатой



на действительной оси под углами



к действительной оси.

6. Угол выхода ветви КГ из полюса определяется из уравнения (2.15а), примененного к данному полюсу. Аналогично определяется угол входа ветви КГ в нуль .

7. При расположении ветвей корневого годографа в левой полуплоскости s САУ устойчива. При пересечении ветвей КГ мнимой оси слева направо САУ становится неустойчивой. Пусть при K = Kкр пересечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке i кр. Назовем это значение коэффициента усиления критическим Kкр, а величину  кр критической угловой частотой, на которой система становится неустойчивой.

Метод КГ позволяет выбрать коэффициент усиления САУ, подобрать расположение полюсов и нулей передаточной функции корректирующих звеньев, определить параметры доминирующих полюсов САУ (ближайших к началу координат плоскости s).

В качестве примеров, приведем КГ для двух систем автоматического управления.

На рисунке 2.3а приведен корневой годограф САУ, передаточная функция разомкнутой системы, которой равна:


.

Рисунок 2.3б иллюстрирует КГ САУ с передаточной функцией разомкнутой системы вида:

.



а



б

Рис. 2.3. Примеры корневых годографов.