birmaga.ru
добавить свой файл

1 2


Введение

Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания; его широко используют все, без исключения, направления современной науки. Принципы симметрии играют важную роль в биологии и химии, физике и математике, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Законы природы, в свою очередь, подчиняются принципам симметрии.

Главенствующую роль в теории играет плоскость симметрии. Комбинируя зеркальные отражения, можно вывести все возможные симметричные операции. Исходя из этих комбинаций, можно полностью вывести все элементы классической симметрии - простые, сложные и винтовые оси, плоскости простого и скользящего отражения, трансляции. Совокупности таких элементов образуют виды симметрии (например, 32 класса для кристаллических многогранников, 230 пространственных групп для кристаллических структур). Как видно, именно плоскость симметрии лежит в основании всего здания симметричной теории.

Существует множество теорий относительно принципа симметрии. Так, например, известный математик начала ХХ века Джордж Дэвид Беркофф из Гарвардского университета вывел математическую формулу для измерения красоты и притягательности произведений искусства. В формуле присутствуют два абстрактных понятия - сложность и упорядоченность (или симметрия). Согласно теории Беркоффа, сложный объект более привлекателен с эстетической точки зрения, если он менее симметричен, и наоборот, симметричный объект должен быть простым по строению. Но метод измерения степени сложности и симметричности объекта, предложенный Беркоффом, показался ученым слишком субъективными, и формула вскоре была забыта.

Однако идея Беркоффа о том, что симметрия является определяющим фактором эстетической притягательности объекта искусства, нашла свое подтверждение в науке. Последние исследования в области биологии доказали, что человека и других животных привлекают особи противоположного пола с наиболее симметричным строением тела. Следовательно, можно предположить, что стремление к симметрии заложено в человеке природой.


Итак, в современном понимании симметрия - это общенаучная философская категория, характеризующая структуру организации систем. Важнейшим свойством симметрии является сохранение (инвариантность) тех или иных признаков (геометрических, физических, биологических и т. д.) по отношению к вполне определенным преобразованиям. Математическим аппаратом изучения симметрии сегодня является теория групп и теория инвариантов.

1 Понятие симметрии. Виды симметрии

Слово симметрия имеет греческое происхождение и переводится как соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей.

Симметрия предполагает неизменность какого-либо объекта (или его свойств)по отношению к тем или иным преобразованиями, которые выполняются над объектом.

Так, например, бабочка симметрична по отношению к отражению в воображаемом зеркале, разделяющем бабочку пополам вдоль ее туловища. Равносторонний треугольник симметричен по отношению к повороту на 120 градусов вокруг оси, проходящей через его центр масс (точка пересечения меридиан) и перпендикулярной к плоскости треугольника. Такие объекты, как, например, полимерные цепные молекулы белков (объекты, вытянутые вдоль какого-либо направления), симметричны по отношению к переносу (смещению) вдоль него на некоторое расстояние.

Познавая качественное многообразие проявлений порядка и гармонии в природе, мыслители древности, особенно греческие философы, пришли к выводу о необходимости выразить симметрию и в количественных отношениях, при помощи геометрических построений и чисел.

Симметрия форм предметов природы как выражение пропорциональности, соразмерности, гармонии подавляла древнего человека своим совершенством, и это было использовано религией, различными представлениями мистицизма, пытавшимися истолковать наличие симметрии в объективной действительности для доказательства всемогущества богов, якобы вносящих порядок и гармонию в первоначальный хаос. Так, в учении пифагорейцев симметрия, симметричные фигуры и тела (круг и шар) имели мистическое значение, являлись воплощением совершенства.


В широком смысле симметрия означает инвариантность как неизменность свойств системы при некотором изменении (преобразовании) ее параметров. Наглядным примером пространственных симметрий физических систем является кристаллическая структура твердых тел. Симметрия кристаллов – закономерность атомного строения, внешней формы и физических свойств кристаллов, заключающаяся в том, что кристалл может быть совмещен с самим собой путем поворотов, отражений, параллельных переносов и других преобразований симметрии.

Орнамент – наверное, самое древнее отображение идеи симметрии, лежащей в основе многих фундаментальных законов.

Следует выделить аспекты, без которых симметрия невозможна:

1) объект - носитель симметрии; в роли симметричных объектов могут выступать вещи, процессы, геометрические фигуры, математические выражения, живые организмы и т.д.

2) некоторые признаки - величины, свойства, отношения, процессы, явления - объекта, которые при преобразованиях симметрии остаются неизменными; их называют инвариантными или инвариантами.

3) изменения (объекта), которые оставляют объект тождественным самому себе по инвариантным признакам; такие изменения называются преобразованиями симметрии;

4) свойство объекта превращаться по выделенным признакам в самого себя после соответствующих его изменений.

Существует несколько основных типов преобразования симметрии. В первом случае говорят о зеркальной, во втором – о поворотной и в третьем – о переносной (трансляционной) симметрии.

В конформной (круговой) симметрии главным преобразованием является инверсия относительно сферы.

Конформная симметрия обладает большой общностью. Все известные преобразования симметрии: зеркальные отражения, повороты, параллельные сдвиги представляют собой лишь частные случаи конформной симметрии.

Главная особенность конформного преобразования состоит в том, что оно всегда сохраняет углы фигуры и сферу и всегда переходит в сферу другого радиуса.


Известно, что кристаллы какого-либо вещества могут иметь самый разный вид, но углы между гранями всегда постоянны.

Легко установить, что каждая симметричная плоская фигура может быть с помощью зеркала совмещена сама с собой. В то время как симметричные фигуры полностью соответствуют своему отражению, несимметричные отличны от него: из спирали, закручивающейся справа налево, в зеркале получится спираль, закручивающаяся слева направо.

Существуют языки, в которых начертание знаков опирается на наличие симметрии. Так, в китайской письменности используется иероглиф, который означает именно истинную середину.

В архитектуре оси симметрии используются как средства выражения архитектурного замысла. В технике оси симметрии наиболее четко обозначаются там, где требуется оценить отклонение от нулевого положения, например на руле грузовика или на штурвале корабля.

Вообще, принцип симметрии очень часто используется в искусстве. Так, на мозаике Киевского собора св. Софии под знаменитой Орантой изображены два зеркально-симметричных Христа, обращенных лицом к ученикам. Примером удивительного сочетания симметрии и асимметрии является Покровский собор (храм Василия Блаженного) на Красной площади в Москве. Эта причудливая композиция из десяти храмов, каждый из которых обладает центральной симметрией, в целом не имеет ни зеркальной, ни поворотной симметрии.

В пространстве существуют тела, обладающие винтовой симметрией, т.е. совмещаемые со своим первоначальным положением после поворота на какой-либо угол вокруг оси, дополненного сдвигом вдоль той же оси. Если данный угол поделить на 360 градусов - рациональное число, то поворотная ось оказывается также осью переноса.

2 «Золотое сечение»

Симметрия форм предметов природы как выражение пропорциональности, соразмерности, гармонии подавляла древнего человека

своим совершенством, и это было использовано религией, различными представлениями мистицизма, пытавшимися истолковать наличие симметрии в объективной действительности для доказательства

всемогущества богов, якобы вносящих порядок и гармонию в первоначальный хаос. Так, в учении пифагорейцев симметрия, симметричные фигуры и тела (круг и шар) имели мистическое значение, являлись воплощением совершенства.

Следует обратить внимание и на учение Пифагора о гармонии.
Известно, что если уменьшить длину струны или флейты вдвое,
тон повысится на одну октаву. Уменьшению в отношении 3:2 и
4:3 будут соответствовать интервалы квинта и кварта. То, что важнейшие гармонические интервалы получаются при помощи отношений чисел 1, 2 и 3, 4, пифагорейцы использовали для своих мистических выводов о том, что «все есть число» или «все упорядочивается в соответствии с числами». Сами эти числа 1, 2, 3, 4 составляли
знаменитую «тетраду». Очень древнее изречение гласит: «Что есть
оракул дельфийский? Тетрада! Ибо она есть музыкальная гамма
сирен». Геометрическим образом тетрады является треугольник из
десяти точек, основание которого составляют 4 точки плюс 3,
плюс 2, а одна находится в центре.

В геометрии, механике - всюду, где мы имеем дело с отрезками
прямых, мы встречаемся и с понятиями меры, сравнения и соотношения. Эти понятия являются отражением реальных отношений
между предметами в объективном мире. Чтобы пояснить это положение, можно выбрать на данной прямой АВ любую третью точку С.
Таким образом, совершается переход от единства к двойственности,
и мысль этим самым приводит к понятию пропорции. Следует
подчеркнуть, что соотношение есть количественное сравнение двух
однородных величин, или число, выражающее это сравнение. Про-
порция есть результат согласования или равноценности двух или нескольких соотношений. Следовательно, необходимо наличие
не менее трех величин (в рассматриваемом случае прямая и два
ее отрезка) для определения пропорции. Деление данного отрезка
прямой АВ путем выбора третьей точки С, находящейся между

А и В, дает возможность построить шесть различных возможных

соотношений:
a:b ; a:c ; b:a ; b:c ; c:a ; c:b
при условии отметки соответствующей длины отрезков прямой бук-
вами «а», «b», «с» и применения к данной длине любой системы
мер. Проанализировав возможные случаи деления отрезка АВ на
две части, мы приходим к выводу, что отрезок можно делить на:


1) две симметрические части a=b; 2) a:b = c:a


Так как c = a + b, то

a/b = (a + b)/a ;

( (a + b)/a очевидно, превосходит единицу); дело обстоит так же и в отношении а/b; значит, «а» превосходит «b» и точка «С» стоит ближе к В, чем
к A.

Это соотношение a:b = c:a или AC/CB = AB/AC

может быть выражено следующим образом: длина АВ была разделе-
на на две неравные части таким образом, что большая из ее частей
относится к меньшей, как длина всего отрезка АВ относится

к его большей части:

3) a/b = b/c равноценно a/b = b/(a + b).

В этом случае «b» больше «а»; точка С ближе к А, чем к В, но отношения те же, что и во втором случае,

Рассмотрим равенство
a/b = c/a = (a + b)/a,
при котором отрезок АС длиннее отрезка СВ. Это общее простейшее
деление отрезка прямой АВ, являющееся логическим выражением
принципа наименьшего действия. Между точками А и В имеется
лишь одна точка C, поставленная таким образом, чтобы длина отрез-
ков АВ, СВ и АС соответствовала принципу простейшего деления;
следовательно, существует только одно числовое выражение, соответствующее отношению a/b. Эту же задачу можно решить путем гео-
метрического построения, известного как деление прямой на две
неравные части таким образом, чтобы соотношение меньшей и боль-
шей частей равнялось соотношению большей части и суммы длин
обеих частей, а это и соответствует формуле
a/b = (a + b)/a,

которую называют «божественная пропорция», «золотое сечение» т.д.


Изучение объективной реальности и задачи практики привели к возникновению наряду с понятием симметрия и понятия асимметрии, которое нашло одно из своих первых количественных выражений в так назыываемом золотом делении, или золотой пропорции.

Пифагор выразил «золотою пропорцию» соотношением:
А:Н = R:B,
где Н и R суть гармоническая и арифметическая средние между
величинами А и В.
R = (A + B)/2; H = 2AB/ (A + B).
Кеплер первый обращает вни-
мание на значение этой пропорции в ботанике и называет ее
sectio divina - «божественное сечение»; Леонардо да Винчи назы-
вает эту пропорцию «золотое сечение».
3 Симметрия в природе

3.1 Симметрия в живой природе

Живой организм не имеет кристаллического строения в том смысле, что даже отдельные его органы не обладают пространственной решеткой.

Однако упорядоченные структуры в ней представлены очень широко. Если они жидкие, то их называют жидкими кристаллами. В этих структурах сильно вытянутые молекулы расположены так, что их длинные оси в среднем ориентированы в одну сторону. В некоторых случаях образуются дополнительные сверхструктуры: возникает закручивание или слоистые структуры.

Жидкие кристаллы, как и твердые, обладают анизотропией физических свойств. Однако пространственной решетки жидкие кристаллы не имеют.

К жидким кристаллам относятся отдельные компоненты желчи и крови, хрусталик глаза, оболочки нервов, серое вещество мозга, головка сперматозоида и т. д. Но особенно важное значение играет жидкокристаллическая структура мембран клеток. Это та «кожица», которая удерживает вещество клетки от растекания и служит ей как бы внешним органом. Мембрана — вязкая жидкость, в которой молекулы фосфолипидов (жиров) имеют длинные оси, расположенные параллельно. При комнатной температуре молекулы фосфолипидов свободно перемещаются вдоль плоскости мембраны, пространственной решетки нет, и это состояние — нормальное состояние живой клетки. При понижении температуры мембрана «замерзает», молекулы фосфолипидов останавливаются, образуется пространственная решетка. Лишенная подвижности мембрана не может выполнять свои функции, и клетка гибнет. Наступила кристаллизация, клетка оказалась «пойманной» решеткой.


Рассмотрим виды симметрии. Такие объекты живой природы, как бабочка, лист растения, рак, обладают зеркальной симметрией относительно плоскости, делящих их на две зеркально равные части. Такой вид симметрии носит название двусторонней. Она характерна для внешнего строения тела человека, млекопитающих, птиц, пресмыкающихся, земноводных, рыб, а также многих растений.

Если некоторый объект нельзя совместить с его зеркальным двойником (отражением) с помощью каких-либо перемещений и поворотов, то такие объекты называют стереоизомерами. Примерами стереоизомеров являются: рука человека, кристаллы кварца. О стереоизомерах говорят, что они зеркально-ассиметричны. Объекты – стереоизомеры имеют одинаковую форму, размеры и в то же время различны, такт как не совпадают со своим зеркальным образом.

Одну из форм стереоизомера (произвольно какую) называют правой (П), зеркально-отраженную форму – левой (Л).

Одним из достижений в изучении П- и Л-форм является открытие того факта, что ряд свойств П- и Л-форм биообъектов качественно отличаются друг от друга (дисимметрия жизни). Так, антибиотик пенициллин вырабатывается из грибка только в П-форме; искусственно приготовленная его Л-форма антибиотически неактивна. Обычно в природе П- и Л-формы встречаются не в равных количествах. Как правило, преобладает либо П-, либо Л-форма, а в живых организмах зеркально-асимметрические молекулы встречаются только в виде какой-либо одной формы. Согласно одной из существующих гипотез, причинами неравноправия П- и Л-форм могут быть дисимметрические элементарные частицы, а также правополяризованный свет, который в небольшом избытке всегда присутствует в рассеянном солнечном свете и образуется при отражении обычного света от зеркальной поверхности морей и океанов.

На преобладание в живых организмах зеркально-асимметричных молекул в виде только одной формы (П или Л) впервые обратил внимание Луи Пастер. Он и позднее В.И. Вернадский полагали, что именно здесь проходит граница между живой и неживой природой.


Одна из наиболее замечательных черт жизни – это способность организма извлекать из окружающей среды химические соединения, молекулярная структура которых по большей части симметрична, и изготовлять из них правые или левые асимметрические соединения углерода. Растения, например, используют симметричные неорганические соединения вроде воды и углекислого газа и превращают их в асимметричные молекулы крахмала и сахара. Тела всех живых существ насыщены асимметричными молекулами, а также асимметричными спиралями белков и нуклеиновых кислот.

С вопросами зеркальной симметрии тесно связана и проблема возникновения жизни на Земле, появление которой связывают с нарушением существовавшей до того зеркальной симметрии в неживой природе. Согласно одной из гипотез (Л.Л. Морозов), переход от мира зеркально-симметричных молекул к чисто П- или Л-формам произошел не в процессе длительной эволюции, а скачком («Большой биологический взрыв»), в результате акта самоорганизации материи.

Винтовые оси симметрии видны в расположениях чешуек шишек и укладке коры пальм, структуре костной ткани и в побегах различных растений. На стебле подсолнечника явно видна винтовая ось пятого порядка. У растений существуют только определенные, строго фиксированные оси, но в большинстве своем не такие, как у кристаллов. Так, если злаки, липа, бук, береза образуют ось 21 (ботаническая дробь 2/1), осока, тюльпан, орешник, виноград и ольха - 31 (3/1), то дуб, вишня смородина, слива имеют ось 52 (5/2).

Биологические дроби не произвольны, а представляют собой члены двух последовательностей, составленных из чисел Фибоначчи.

Биологические дроби, описывающие винтовую симметрию растений, составлены из членов двух рядов. В обоих рядах числители есть числа Фибоначчи, начиная с четвертого члена - двойки. Знаменатели рядов различны. В первом числа Фибоначчи начинаются с третьего числа, а во втором - со второго.

Итак, первый ряд:


2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13…

Второй ряд:

2/1, 3/1, 5/2, 8/3, 13/5, 21/8…

До сих пор неизвестно, почему симметричное винтовое расположение листьев или чешуек в шишках точно связано с величиной определенного отношения, присутствующего в пространственных объектах, производящих особое эстетическое впечатление.


следующая страница >>