birmaga.ru
добавить свой файл

1
  1. Определить, будет ли линейным пространством относительно линейных операций над матрицами-строками множество всех строк, сумма всех элементов которых равна нулю.



2. Найти какой-нибудь базис и размерность подпространства, порожденного векторами , , ,, .

6. 7. Установить, принадлежат ли векторы u = (5,2,0,0, 2) и v = (5,2,1,0, 2) линейному многообразию , где а = (2,3,-1,1,1), , .

3 Определить взаимное расположение линейных многообразий и , где а = (-3,-2,1,-1,2), , , d = (-1,0,3,3,8), , .

4. Найти какую-нибудь систему линейных уравнений, задающую подпространство, порожденное системой векторов-строк , , ,.


5.Убедиться, что отображение пространства всех векторов на пространство всех векторов, коллинеарных данной прямой, сопоставляющее каждому вектору его ортогональную компоненту на эту прямую, является линейным отображением.
6. Убедиться, что отображение пространства на , сопоставляющее строке строку , является линейным отображением.
7. Найти матрицу отображения, указанного в задании 2, в стандартных базисах пространств и .

8. Убедиться, что существует единственное линейное отображение пространства на , которое переводит векторы , , , в векторы , , , и найти его матрицу в стандартных базисах пространств и .

9. Найти образ вектора при линейном отображении пространства на , которое имеет в стандартных базисах пространств и матрицу .
10. Пусть линейное отображение пространства на имеет в стандартных базисах пространств и матрицу . Найти матрицу этого отображения в базисах , , , и , , .

11. Пусть линейное отображение пространства на имеет в стандартных базисах пространств и матрицу . Найти базисы образа и ядра, ранг и дефект этого отображения.

12. Пусть линейное отображение А пространства на имеет в стандартных базисах пространств и матрицу , а линейное отображение В пространства на имеет базисах , , , и , , пространств и матрицу . Найти матрицу отображения 2А – 3В в стандартных базисах пространств и .

13. Пусть линейный оператор А пространства в базисе , имеет матрицу , а линейный оператор В того же пространства в базисе , имеет матрицу . Найти матрицу произведения операторов АВ в стандартном базисе.


14.Выяснить, можно ли в линейном пространстве определить скалярное произведение формулой: .
15.Для векторов х = (1, -i, 2, i), y = (1 + i, 1 - i, -2i, 3) унитарного пространства найти скалярное произведение (х,у) и длины векторов х, у.

16.Найти угол между векторами (-2, -1, 3, -2) и (-3, 1, 5, 1) евклидова пространства .
17.Найти матрицу Грама системы векторов (1, 2, 1), (1, 4, 3), (2, 3, 1), вычислить ее определитель Грама и определить, будет ли эта система векторов линейно независима.
18. Убедиться, что векторы (1, 2, 2, 3) и (2, 3, 2, -4) ортогональны, дополнить их до ортогонального базиса евклидова пространства и нормировать векторы полученного базиса.
19.Найти систему линейных уравнений, задающую ортогональное дополнение к подпространству, заданному системой линейных уравнений
20. Найти базис ортогонального дополнения к подпространству, порожденному векторами (1, 0, -2, 1), (2, 1, -2, 3) и (0, 1, 2, 1).
21.Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора (-4, 1, 3, -4) относительно подпространства, порожденного векторами (1, 1, 1, 1, 1), (1, 0, 0, 3).

22. Пусть А – линейное отображение пространства в , заданное в базисах (1, 1, 1), (1, 0, 0), (0, 1, -1) и (1, 2), (1, 1) матрицей . Найти матрицу сопряженного отображения в базисах (1, 2), (1, 1) и (1, 1, 1), (1, 0, 0), (0, 1, -1).

23. Пусть линейный оператор А пространства задан матрицей в базисе, матрица Грама которого имеет вид . Найти матрицу сопряженного оператора в том же базисе.
24. Пусть линейный оператор А унитарного пространства задан матрицей в стандартном базисе. Убедиться, что А является нормальным оператором, найти его собственные значения и ортонормированный базис из собственных векторов.
25. Найти собственные значения и ортонормированный базис из собственных векторов для самосопряженного оператора пространства , заданного в стандартном базисе матрицей . Найти спектральное разложение этой матрицы.

26. Найти спектральный радиус и принадлежащий ему неотрицательный собственный вектор для матрицы .2736. Убедиться, что матрица является матрицей обмена, и найти для нее неотрицательный собственный вектор, принадлежащий собственному значению 1.

27. Определить, будут ли следующие матрицы продуктивны: .

28. Найти канонический вид квадратичной формы , а также неособую замену переменных, приводящую эту форму к каноническому виду.

29. Найти нормальный вид над полем комплексных чисел квадратичной формы , а также неособую замену переменных, приводящую эту форму к нормальному виду.
30. Найти канонический вид квадратичной формы и неособую ортогональную замену переменных, приводящую эту форму к каноническому виду (приведение к главным осям).
31. Выяснить, эквивалентны ли над полем действительных чисел квадратичные формы и .
32. Найти все значения параметра , при которых квадратичная форма является положительно определенной.