birmaga.ru
добавить свой файл

1
УДК ???.?


Об одном классе логик аргументации*

В.К. Финн1

Рассматривается класс четырехзначных логик аргументации. Предлагается логика аргументации, соответствующая симметричному ДСМ-методу автоматического порождения гипотез.

Введение

В [Финн, 2001] был предложен вариант логики аргументации А4, истинностные значения которой 1, 1, 0,  истолковывались соответственно как «фактически истинно», «фактически ложно», «фактически противоречиво» и «неопределенно». Семантика логики аргументации А4 образована непустым множеством доводов (возможных аргументов и контраргументов) А и функциями g+ и g такими, что:

g:  2А, где {+} а  - множество пропозициональных переменных p, q, r, s (быть может с нижними индексами). g+(p) и g(p) являются множеством аргументов и контраргументов высказывания p, соответственно. Предполагается, что для любого pимеет место g+(p)g(p)=.

Принцип оценивания пропозициональных переменных прост:

если p имеет аргументы и не имеет контраргументов, то p фактически истинно (v[p]=1, где v[p] – функция оценки);

если p не имеет аргументов и имеет контраргументы, то p фактически ложно (v[p] = –1);

если p имеет аргументы и имеет контраргументы, то p фактически противоречиво (v[p]=0);

если p не имеет ни аргументов, ни контраргументов, то p неопределенно (v[p]=).

Таким образом, функция оценки атомарных формул определяется следующим образом:


  1. v[p] = 1, если и только если g+(p) и g(p)=;

  2. v[p] = 1, если и только если g+(p)= и g(p) ;

  3. v[p] = 0, если и только если g+(p) и g(p) ;
  4. v[p] = , если и только если g+(p) = g(p) =.


Д.А. Бочвар1 высказал соображение об осмысленности многозначных логик при условии интерпретируемости их истинностных значений. Он предположил, что интересные многозначные логики могут быть фрагментами формализованной семантики. В соответствии с этим соображением рассмотрим 3 типа отношения порядка на множестве истинностных значений {1, 1, 0, }:

1   –1  1  1

\ / | |

 0  –1  0

| | |

   0  –1

| |

   

(1) (2) (3)

Интерпретация порядка (1) следующая: высказывания подразделяются на принимаемые в силу наличия аргументов и отсутствия контраргументов (они получают оценку 1), на отвергаемые в силу наличия контраргументов и отсутствия аргументов (они получают оценку 1) и на не принимаемые и не отвергаемые, соответственно, имеющие аргументы и контраргументы (они получают оценку 0 – «фактически противоречиво») и не имеющие ни аргументов, ни контраргументов (они получают оценку  - «неопределенность»).

Естественно тогда считать, что D = {1, 1} образует множество выделенных истинностных значений, а {0, } – множество невыделенных.

Рассмотрим теперь следующие варианты четырехзначных логик аргументации А4(i), i=0,1, 2, 3.

Логика аргументации А4(0)

Логические связки: , {&n(0)}nN (n2), N – множество натуральных чисел), (2), . Связки , , &2(0), (2), определяются следующими истинностными таблицами.

р


р






1

1

0






1

1




1

1

1

0






1

1




1

1

1

1

1




0

0




0

1

1

1















1

1

0

1


&2(0)


1

1

0






(2)

1

1

0



1

1

0

0






1

1

1

1

1

1

0

1

0

1




1

1

1

1

1

0

0

0

0

0




0

1

1

0

0



1


0








1

1

0




А4(0) является модификацией логики аргументации А4 из [Финн, 2001]: заменена дизъюнкция 2 на (2), которая является max (p, q) на порядке (2).

Обратим внимание на незамкнутость {1, 1}относительно &2(0), так как 1&2(0) –1=0, следствием которой является ее неассоциативность [Финн, 2001]. Очевидно, что ограничение &2(0) на {1, 1} является небулевским. Однако дизъюнкция (2) образует полурешетку с единицей «1», а именно:

p (2)p= p

p (2)(q (2)r)= (p (2)q) (2)r

p (2)q=q (2)p

p (2)1=1.

Отметим, что ограничение (2) на множестве истинностных значений {1, 1} является булевским.

Логика аргументации А4(1)

Логические связки: , &(1), {n(1)}nN,(n2), ; определяются истинностными таблицами1


&(1)

1

1

0






2(1)

1

1

0



1

1

0

0






1

1



1

1

1

0

1

0






1



1

1

1

0

0

0

0






0

1

1

0

0
















1

1

0




и истинностными таблицами для  (отрицания) и  (импликации) А4(0).

Легко проверить, что p&(1)q=min1(p, q) для порядка (1), но p(1)q не является max1 (p, q) для этого порядка, так как 1 (1) 1=.


Имеет место ассоциативность для &(1) :

p&(1)(q&(1)r)= (p&(1)q) &(1)r

Очевидно,что &(1) образует полурешетку с нулем , а, именно:

p&(1)p=p

p&(1)(q &(1)r)= (p&(1) q) &(1)r

p&(1)q = q&(1)p

p&(1) =

Так как 12(1) 1=, то дизъюнкция не является max1 (p, q) для порядка (1). Более того, 2(1) не является ассоциативной логической связкой, так как имеет место:

12 (1)(12(1) 1)= 12(1) =1 и

(12(1)1)2(1) 1= 12(1) 1= 

Как было сказано выше, {1, 1} – множество выделенных истинностных значений в соответствии с их принятой интерпретацией, однако, смыслы «1» и «1» противоположны: если v[p]=1, то p принято на основании имеющейся аргументации, но если v[p]= 1, то p не принято (опровергнуто) на основании имеющихся контраргументов. Поэтому «1» и «1» не сравнимы и 12(1) 1= . В силу этого аналогично [Финн, 2001] вводится счетное множество n-местных дизъюнкций &n(1), где n2 и определяется функция оценки v [n(1)(p1, ..., pn)].

Логика аргументации А4(2)

Логические связки: , &(2), (2), ; определяются следующими истинностными таблицами

&(2)


1

1

0






(2)

1

1

0



1

1

1

0






1

1

1

1

1

1

1

1

0






1

1

1

1

1

0

0

0

0






0

1

1

0

0
















1

1

0



и истинностными таблицами для  и  из А4(0).


Легко видеть, что p&(2)q= min2(p, q), а p(2)q= max2(p, q) для порядка (2). Множество выделенных истинностных значений D={1}.

Очевидно, что &(2) и (2) образуют решетку, а ограничения &(2) и (2) на множестве {1, 1} являются булевскими & и , соответственно.

Можно показать, что имеют место аксиомы дистрибутивности

p&(2)(q(2)r)= (p&(2) q) (2)(p&(2) r),

p(2)(q& (2)r)= (p(2) q) & (2)(p(2) r).

Таким образом, &(2) и (2) образуют дистрибутивную решетку.

Логика аргументации А4(3)

Логические связки: , &(2), (3), ; определяются следующими истинностными таблицами


&(3)

1

1

0






(3)

1

1

0



1

1

1

0






1

1

1

1

1


1

1

1

1






1

1

1

0

1

0

0

1

0






0

1

0

0

0
















1

1

0




и истинностными таблицами для  и  из А4(0).

Легко видеть, что p&(3)q= min3(p, q), а p(3)q= max3(p, q) для порядка (3). Множество выделенных истинностных значений А4(3) D={1}.

Можно показать, что &(3) и (3) образуют дистрибутивную решетку, а ограничения &(3) и (3) на множестве {1, 1} являются булевскими & и , соответственно.

Логики аргументации А4(2) и А4(3), логические связки которых &(i) и (i) (i=2,3) образуют дистрибутивные решетки, а ограничения &(i){1, 1}=& и (i){1, 1}= , где & и , соответственно, конъюнкция и дизъюнкция двузначной логики (i=2,3), будем называть стандартными четырехзначными логиками аргументации. Логики аргументации А4(0) и А4(1), которые содержат неассоциативные логические связки &2(0) и 2(1), а их ограничения &2(0){1, 1}=& и 2(1){1, 1} не являются, соответственно, & и  двузначной логики, будем называть нестандартными1.


Об интерпретации истинностных значений логик А4(i).

Семантическим принципом нестандартных логик аргументации А4(0) и А4(1) является условие оценки &2(i)(1,2) (i = 0, 2) такое, что v[&2(i)(1,2)]=0, если и только если v[1]=1 и v[2]=1, или v[1]=1 и v[2]=1, или v[1]=0, или v[2]=0.

Это условие обобщается для n>2 [Финн, 2001]: v[&n(i)(1, ..., n)]=0, если и только если ij(v[i]=1& v[j]=1)h(v[h]=0), где 1 i, j, hn.

Таким образом, множество формул 1, ..., n, входящих в n(i) оцениваются как «гештальт» независимо от порядка их вхождения. Этот факт связан с неассоциативностью 2(i) и истолкованием 2(i)(1, 1)=0 как фактического противоречия. Атомарная формула p получает оценку v[p]=0, если и только если g+(p) и g(p). Это означает, что p имеет аргументы и контраргументы.

Порядок (1) используется для определения ассоциативной &(1) с небулевским ограничением &(1){1, 1}, так как 1&(1) 1=0. При этом для А4(1) D={1, 1}, это означает, что принятыми высказываниями являются как аргументируемые, так и те, которые отвергаются в силу наличия контраргументов при отсутствии аргументов.

Для нестандартных логик аргументации можно выдвинуть гипотезу о том, что функции g+ и g индуктивно определимы для формул  произвольной сложности. В частности, v[&2(i)(1,2)]=0, если и только если (g+(1) & g(1))  (g+(2) & g(2)) ((g+(1) & g(1)=) & (g+(2)= & g(2))) ((g+(1)= & g(1)) & (g+(2) & g(2)=)).


Интерпретации истинностных значений для А4(2) и А4(3) отличаются тем, что для А4(2) предпочтительнее является непринятие высказывания посредством установления контраргументов (при отсутствии аргументов) по сравнению с установлением фактического противоречия, что соответствует порядку (2); а для А4(3) предпочтительнее является непринятие высказывания посредством установления как наличия аргументов, так и наличия контраргументов, по сравнению с установлением фактического противоречия, что соответствует порядку (3).

Замечание о теории истины и семантике логики аргументации

В [Финн, 2004] было отмечено, что развитие теории автоматического порождения гипотез делает актуальным применение различных теорий истины – теории соответствия (Аристотель – А. Тарский), теории когерентности и прагматической теории [Поппер, 2002]. В самом деле, формирование базы фактов интеллектуальной системы требует применения теории соответствия, оценивание и автоматическое принятие гипотез основано на теории когерентности [Поппер, 2002] – согласованности порождаемых гипотез с имеющимися знаниями (в том числе использование абдуктивного объяснения базы фактов для принятия гипотез). Выделение надежных гипотез требует проверки их полезности при практическом применении, что означает применение теории прагматической истины.

Аналогичное имеет место и в семантике логики аргументации, ибо атомарная оценка основана на применении функций g+ и g и множества возможных аргументов и контраргументов А, что означает использование теории когерентности.

В [Финн, 2001] семантика А4 была охарактеризована посредством аргументационной матрицы М = {1, 1, 0, }, D, A, g+, g и функции оценки v[] для соответствующего множества логических связок. Можно сформулировать реляционный вариант семантики логики аргументации, задав отношение частичного порядка  на множестве А, изменив, соответственно, определения v[].


Аналогично А4, рассмотренной в [Финн, 2001], для логик А4(i), i=0,1, 2, 3 могут быть построены формализации доказательства и выводимости из гипотез посредством метода аналитических таблиц как для логики высказываний, так и для логики предикатов.

В последнее время активно развиваются идеи и средства формализации аргументации [van Benthem et al., 1996; Prakken et al., 2001; Willard, 1989]. Обстоятельный обзор логик аргументации и их семантик содержится в [Вагин и др., 2004].

Логики аргументации для ДСМ-метода
автоматического порождения гипотез


В [Финн, 1999] были представлены принципы ДСМ-метода автоматического порождения гипотез, реализующего синтез познавательных процедур – индукции, аналогии и абдукции (с возможным применением дедукции после завершения формирования знаний в результате применения ДСМ-рассуждений).

ДСМ-метод АПГ для формализации рассуждений использует итеративную логику, которая обладает следующим принципом «раскрытия неопределенностей»

(, n)={1, n+1, 1, n+1, 0, n+1}(, n+1), где n и n+1 – числа применений правил правдоподобного вывода, выражающие степень правдоподобия порождаемых гипотез (чем меньше n, тем больше степень правдоподобия гипотезы) [Финн, 1999].

Истинностные значения ДСМ-логик определяются следующим образом:

, n &(i) , m =  &(i) , max(n, m),

, n (j) , m =  (j) , min(n, m),

, n  , m =   , max(n, m),

~ , n = ~, n.

Рассмотрим логические связки, определяемые следующими истинностными таблицами



&2(4)

1

1

0






2(5)

1

1

0



1

1

0

0






1

1



1

1

1

0

1

0






1



1

1

1

0

0

0

0

0




0

1

1

0







0








1

1






Тогда для симметричного ДСМ-метода АПГ &2(4) и 2(5) оказываются адекватными в соответствии с рекуррентным определением множества истинностных значений (, n), определенным выше. В силу этого для симметричного ДСМ-метода АПГ адекватными являются логики аргументации А4,i(4), (i=1,2), исходными логическими связками которых являются , , {&n(4)}nN, {n(5)}nN с D1={1} и D2={1, 1}.

Отметим, что А4,2(4) с D2={1, 1} наиболее соответствует идее симметричного ДСМ-метода АПГ.

Логики аргументации А4,i(4) являются нестандартными четырехзначными логиками аргументации, так как &2(4) и 2(5) являются неассоциативными логическими связками, а их ограничения &2(4)|{1, –1} и 2(5)|{1, –1} не являются, соответственно, & и  двузначной логики.

В заключение следует указать, что всем логикам аргументации, рассмотренным выше, соответствуют формализации посредством метода аналитических таблиц.

Список литературы

[Вагин и др., 2004] Вагин В.Н., Головина Е.Ю., Загорянская А.А., Фомина М.В. Достоверный и правдоподобный вывод в интеллектуальных системах. – М.: Физматлит, 2004.

[Поппер, 2002] Поппер К.Р. Объективное знание. – М.: УРСС, 2002.

[Финн, 1999] Финн В.К. Синтез познавательных процедур и проблема индукции // НТИ, сер.2, 1999, №1 – 2.


[Финн, 2001] Финн В.К. Об одном варианте логики аргументации // НТИ, сер.2, 2001, №5.

[Финн, 2004] Финн В.К. Об интеллектуальном анализе данных // Новости искусственного интеллекта, №3, 2004.

[van Benthem et al., 1996] van Benthem J., van Elmeren F.H., Grootendorst R., and Veltman F., Eds. Logic and Argumentation. Amsterdam: North-Holland, 1996.

[Prakken et al., 2001] Prakken H., Vreeswijk G. Logics for defeasible argumentation // Handbook of Philosophical Logic. V. 4. – Kluwer Academic Publishers, Dordrecht etc., 2001.

[Willard, 1989] Willard C.A. A Theory of Argumentation. – Tuscaloosa and London: The University of Alabama Press, 1989.



* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 05-01-00914а)

1 125190, г. Москва, ул. Усиевича, д.20,ВИНИТИ РАН, finn@viniti.ru

1 Устное сообщение.

1 Для n2 n(1) определяется посредством функции оценки аналогично [Финн, 2001].

1 Очевидно, что логика А4 рассмотренная в [Финн, 2001], является нестандартной логикой аргументации.