birmaga.ru
добавить свой файл

1 2 ... 6 7

«Математическая теория принятия решений» ПОСОБИЕ


ВВЕДЕНИЕ

Современная математика характеризуется интенсивным проникновением в другие науки. Язык математики оказался универсальным, и это есть объективное отражение универсальности законов окружающего нас многообразного мира.

Экономика как наука об объективных причинах функционирования и развития общества еще со времен Адама Смита пользуется разнообразными количественными характеристиками, а потому вобрала в себя большое число математических методов. Современная экономика использует специальные методы оптимизации, составляющие основу математического программирования, теории игр, сетевого планирования, теории массового обслуживания и других прикладных наук.

Изучение математических дисциплин и их экономических приложений, составляющих основу актуальной экономической математики, позволит будущему специалисту не только приобрести необходимые базисные навыки, используемые в экономике, но и сформировать компоненты своего мышления: уровень, кругозор и культуру. Все эти знания и навыки понадобятся для успешной работы и ориентации в будущей профессиональной деятельности.

В настоящее время математику все чаще называют наукой о математических моделях.

Переводя экономическую (или любую другую задачу) на математический язык, исследователь получает возможность использовать для ее решения все разнообразие и богатство средств математики. Результаты, полученные с помощью количественных методов экономического анализа, позволяют подтвердить или опровергнуть выдвинутую гипотезу, построить прогноз, составить оптимальный план функционирования экономического объекта и многое другое.

Данное учебное пособие предназначено для студентов экономических специальностей заочной и вечерней форм обучения.

Раздел 1. Математическое моделирование социально-экономических систем

Социально-экономическая система – сложная вероятностная динамическая система, которая охватывает процессы производства, обмена и потребления материальных и других благ.


Система – это комплекс взаимосвязанных подсистем и их элементов вместе с отношениями между ними.

Основные свойства системы:

• целостность системы (принципиальная несводимость свойств системы к сумме свойств ее элементов);

• наличие цели и критерия исследования множества элементов;

• наличие внешней по отношению к системе среды;

• возможность выделения в системе взаимосвязанных частей (подсистем).

Моделирование – один из способов исследования систем.

Моделью называют материальный или идеальный объект, который строится для изучения исходного объекта-оригинала, который отражает существенные свойства объекта, и замещает реальный объект в ходе исследования и управления.

Моделирование основывается на принципе аналогии, т.е. возможности изучения реального объекта (системы) не непосредственно, а опосредованно, через рассмотрение подобного ему и более доступного объекта (модели).

Примерами материальных моделей служат фотография, макет застройки района и т.д. Идеальные модели имеют, как правило, знаковую форму.

Математическое моделирование относится к классу знакового моделирования. При этом модели могут создаваться из любых математических объектов: чисел, функций, уравнений, графиков и т.д.

Целью моделирования является повышение эффективности управления экономикой на разных уровнях управления. Экономическое управление осуществляется на макро- и микроэкономическом уровнях. На макроуровне объектами управления являются народное хозяйство в целом, отрасли и сектора экономики, на микроуровне – предприятия и рынки.

Основные функции управления экономическими объектами (системами):

• сбор и обработка информации об объекте управления;

• анализ и оценка информации об объекте управления;


• прогнозирование развития объекта;

• программирование развития объекта;

планирование развития объекта;

• регулирование развития объекта.

Практическими задачами экономико-математического моделирования являются:

• анализ экономических объектов и процессов;

• прогнозирование экономических процессов;

• выработка управленческих решений на всех уровнях хозяйственной деятельности.

По содержанию математические модели объекта управления подразделяются на экономико-математические и экономико-статистические методы и модели. Различие между ними состоит в решаемых с их помощью задачах и применяемых методах.

Экономико-математические модели включают в себя целевые критерии, уравнения, неравенства и ограничения, описывающие функционирование объекта, а также соотношения между показателями, обусловленные существующими экономическими зависимостями между ними.

Для разработки экономико-математических моделей используют аппарат математического программирования, теории планирования и управления и др.

Экономико-статистические модели связаны с анализом статистических данных об объекте управления. Эти модели устанавливают статистические связи, существующие между показателями объекта. Для разработки экономико-статистических моделей используют аппарат математической статистики и теории вероятностей.

К экономико-математическим методам относятся методы линейной алгебры, математического (линейного и нелинейного) программирования, теории вероятностей и математической статистики, методы экономической кибернетики, методы теории игр и принятия решений и др.

Для чего нужна замена самого исследуемого объекта или процесса моделью? Причины могут быть самыми разными. Сам оригинал бывает порой недоступен, или его использование нецелесообразно, или привлечение оригинала слишком дорого обойдется.

Различные экономико-математические модели создаются и изучаются потому, что проводить эксперименты с экономикой очень сложно, а часто и просто невозможно. В отсутствие предварительного анализа экономической ситуации такие эксперименты могут привести к весьма негативным последствиям (как к экономическим, так и к социальным).


Примеры математических моделей

Пример 1 (задача об использовании ресурсов). Предприятие производит 2 вида продукции – и . 1 кг продукции приносит прибыль 5 рублей, требует 2 кг ресурса A и 3 кг ресурса B. 1 кг продукции приносит прибыль 10 рублей, требует 7 кг ресурса A и 9 кг ресурса B. Суммарный запас ресурсов 70 кг (A) и 50 кг (B). Необходимо составить математическую модель, позволяющую рассчитать оптимальный план объема производства, обеспечивающий максимальную прибыль предприятия.

В соответствии с условиями задачи составим специальную таблицу.

РесурсПродукцияЗапасA2770B3950Прибыль510Пусть предприятие производит кг продукции и кг продукции .

Составим формулу расчета общей прибыли предприятия



(т.н. функция цели или целевая функция).

Необходимо найти максимум целевой функции при ограничениях


(ресурс A)

и

(ресурс B).

Исходя из смысла переменных и , решения необходимо искать среди неотрицательных чисел

.

Получаем задачу линейного программирования:

,



Пример 2 (задача о диете). Для откорма крупного рогатого скота на ферме используются 2 вида кормов и . 1 кг корма стоит 6 рублей, содержит 9 единиц питательного вещества A и 17 единиц питательного вещества B. 1 кг корма стоит 8 рублей, содержат 12 единиц питательного вещества A и 23 единицы питательного вещества B. Необходимый минимум в диете 20 единиц (вещество A) и 30 единиц (вещество B). Составить диету минимальной стоимости.

Пусть используют кг продукта и кг продукта . Тогда общая стоимость (целевая функция). Необходимо найти минимум целевой функции при ограничениях


(содержание вещества A)

и

(содержание вещества B).

Конечно, ,  0.

Получаем задачу линейного программирования:

,



Отображение линейных уравнений и линейных неравенств на плоскости

Линейное уравнение задает на плоскости прямую линию . Если , то это уравнение можно записать в виде линейной функции

,

где – угловой коэффициент прямой.

Прямая делит числовую плоскость на две полуплоскости, одна из которых задается неравенством , а другая – неравенством (рис. 1.1).


Рис. 1.1Рассмотрим прямую , которая параллельна прямой , и проходит через начало координат (рис. 1.2). Эта прямая задается уравнением вида

. (1.1)

Рис. 1.2Рассмотрим векторы и как геометрические векторы.

Можно сделать вывод, что выражение (1.1) – это скалярное произведение векторов и . Таким образом вектор , образованный коэффициентами при неизвестных в уравнении прямой, будет ортогонален (перпендикулярен) этой прямой.

Раздел 2. Системы линейных уравнений

Существует множество задач, требующих составления и решения систем линейных уравнений (СЛУ) (см. главу «Линейное программирование»).

Определение. Системой линейных уравнений с неизвестными x1, x2, … xn называется система вида


, (2.1)

где aij и bi (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) – произвольные числа, называемые, соответственно, коэффициентами при неизвестных и свободными членами уравнений (2.1).

Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c1, c2, ..., cn) называется решением системы (2.1), если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x1, x2, ..., xn каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество.

Решить систему – это значит найти множество всех ее решений.

Коэффициенты при неизвестных aij образуют прямоугольную числовую таблицу, которая называется основной матрицей системы (2.1)

, (2.2)

где i = 1, 2, …, m – номер строки; j = 1, 2, …, n – номер столбца.

Дополняя матрицу (2.2) столбцом свободных членов системы (3.1), получим расширенную матрицу системы

. (2.3)

Определение. Система линейных уравнений (2.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если решений не имеет.

Определенной называется такая совместная система, которая имеет единственное решение.

Неопределенной называется такая совместная система, которая имеет более одного решения.


Пример. По заданной расширенной матрице составить систему линейных уравнений.

.

Решение. Учитывая, что элементы основной матрицы системы представляют коэффициенты при неизвестных, а столбец справа – столбец свободных членов, получим:

 (2.4)

Переменная в системе называется базисной, если она встречается только в одном уравнении системы и имеет коэффициент, равный единице.

Система линейных уравнений имеет базисный вид (приведена к единичному базису), если в каждом уравнении системы выделена только одна базисная переменная.

Рассмотрим систему (2.4). В каждом уравнении системы есть базисная переменная . Запишем базисные переменные в левой части, а остальные переменные перенесем вправо.

(2.5)

Придавая переменным и произвольные значения, из уравнений системы (2.5) можно однозначно найти значения переменных .

Таким образом, общее решение системы (2.4) можно записать в виде матрицы-столбца:

.

При конкретных значениях и получают решения, называемые частными. Переменные называют базисными, а и свободными.


Элементарные преобразования системы линейных уравнений

Такие преобразования применяются для упрощения СЛУ в ходе поиска решения системы.

Элементарными преобразованиями называются преобразования:


  1. умножение на число обеих частей какого-либо уравнения системы;

  2. прибавление к обеим частям какого-либо уравнения системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на число ;

  3. перестановка местами уравнений системы;

  4. удаление из системы нулевого уравнения

.

Примечание. 1. В результате элементарных преобразований получают новую СЛУ, эквивалентную заданной.

2. Элементарные преобразования можно применять и к расширенной матрице системы.

Решение СЛУ методом Жордана-Гаусса

Метод Жордана-Гаусса позволяет привести совместную систему к базисному виду.

Пример. Рассмотрим СЛУ



Допустим, что необходимо переменную в первом уравнении сделать базисной. Для этого необходимо исключить эту переменную из второго и третьего уравнений:

1) умножим первое уравнение системы на и сложим его со вторым уравнением. Тогда второе уравнение примет вид

.

2) Умножим первое уравнение на и сложим с соответствующими элементами третьего уравнения.


Получим уравнение



или

.

Получим систему



В этой системе переменная – базисная переменная.

Преобразования Жордана-Гаусса. Общий случай

Рассмотрим СЛУ вида

(2.6)

Допустим, что необходимо переменную сделать базисной в p-уравнении.

Разделим p-уравнение на .

Получим уравнение

. (2.7)

Чтобы исключить переменную из i-уравнения системы, умножим обе части выражения (2.7) на и прибавим к соответствующим частям i-уравнения.

Получим уравнение



или

,

где .

Элемент называется разрешающим элементом, p-уравнение – разрешающим уравнением (p-строка в расширенной матрице – разрешающей строкой), q-столбец в расширенной матрице системы – разрешающим столбцом.


Аналогичным образом переменная исключается и из остальных уравнений.

Таким образом, элементы расширенной матрицы системы при использовании метода Жордана-Гаусса преобразуются по правилам:


  1. Выбирается разрешающий элемент.

  2. Элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент.

  3. Разрешающий столбец заполняется нулями (кроме единицы в разрешающей строке).

  4. Остальные элементы матрицы преобразуются по схеме:

.

Такая схема преобразования элемента в элемент называется «схемой прямоугольника»:

где – изменяемый элемент,

– разрешающий элемент.
Примечание. По этой же схеме изменяются и свободные члены.

Рассмотрим пример решения СЛУ с использованием преобразований Жордана-Гаусса.

Пример. Решить СЛУ



Решение. Составим расширенную матрицу системы Ap, дополнив ее слева столбцом контрольных сумм , а справа столбцом, в котором указываются базисные переменные.

Примечание. Контрольная сумма – это сумма элементов по строке (или коэффициентов соответствующего уравнения). Эти числа также преобразуются по правилам преобразования элементов.




Преобразуем переменную во втором уравнении в базисную. Тогда разрешающий элемент матрицы – , первый столбец – разрешающий, вторая строка – разрешающая.

Разделим элементы второй строки на . Остальные элементы первого столбца заполним нулями. Преобразуем остальные элементы матрицы в соответствии с правилами Жордана-Гаусса (см. п. 4 правил преобразования матрицы).

, , ,

, ,

, , ,

.

Проверка контрольных сумм:

.

Расширенная матрица будет иметь вид:


Аналогичным образом преобразуем переменную в базисную переменную.


Окончательно получим расширенную матрицу в виде



Запишем эквивалентную (равносильную) систему уравнений



При этом переменная – свободная.

Выразив базисные переменные через свободную , получим общее решение системы:



Следствия метода Жордана-Гаусса

1. Если система линейных уравнений совместна, т.е. имеет базисный вид, и число уравнений равно числу неизвестных , то система имеет единственное решение.

2. Если система совместна и число уравнений меньше числа неизвестных , то система имеет бесчисленное множество решений.

3. Если в процессе преобразований получится уравнение вида



или в расширенной матрице получится строка вида

,

то такая система несовместна.



следующая страница >>