birmaga.ru
добавить свой файл

1

www.ashap.info

Турнир им. А.П.Савина, 2012 год

Математический квадрат, 6 класс

Условия


Арифметика

6А1
. У мальчика столько же сестёр, сколько и братьев, а у его сестры вдвое меньше сестер, чем братьев. Сколько в этой семье братьев и сколько сестер?

6А2. В поход пошли 56 математиков и в целое число раз меньше физиков. Они разместились в нескольких палатках, в каждой столько человек, сколько палаток. Сколько было физиков?

6А3. Средний возраст 11 игроков футбольной команды равен 22 годам. Во время матча один игрок был удалён за нарушение, после чего средний возраст оставшихся игроков стал равен 21 году. Сколько лет удалённому игроку?

6А4. Каждый член семьи выпил по одинаковой чашке сиропа с газировкой, причем один из них выпил четверть сиропа и седьмую часть газировки. Сироп и газировку выпили всю. Сколько человек могло быть в семье?

6А5. Два пешехода стартовали одновременно по круговой дороге с одного места в одном направлении. Пешеход, идущий быстрее, нагнал другого через 36 минут. Если бы они стартовали в противоположных направлениях, то встретились бы через 4 минуты. За сколько минут каждый из пешеходов может обойти круговую дорогу?

Цифры и числа


6Ц1
. В ряд выписаны в порядке возрастания числа, делящиеся на 9: 9, 18, 27, 36, … Под каждым числом этого ряда записана сумма его цифр. На каком месте во втором ряду впервые встретится число 45?

6Ц2. Найдите все трёхзначные числа, которые уменьшаются в 13 раз при вычеркивании средней цифры.

6Ц3. Найдите наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 становится квадратом, а после умножения на 3 – кубом некоторого натурального числа.

6Ц4. Найдите такое десятизначное число, чтобы его первая цифра указывала количество нулей в его записи, вторая цифра – количество единиц и т.д. вплоть до десятой цифры, которая должна указывать количество девяток в десятичной записи числа.


6Ц5. В записи семизначного числа нет одинаковых цифр, при этом оно делится нацело на каждую из своих цифр. Какие цифры отсутствуют в данном числе?

Комбинаторика


6К1.
Если класс из 30 человек рассадить в зале кинотеатра, то в любом случае хотя бы в одном ряду окажется не менее двух одноклассников. Если то же самое проделать с классом из 26 человек, то по крайней мере три ряда окажутся пустыми. Сколько рядов может быть в зале?

6К2. На гранях кубика расставлены числа от 1 до 6. Кубик бросили два раза. В первый раз сумма чисел на четырёх боковых гранях оказалась равна 12, во второй – 15. Какое число написано на грани, противоположной той, где написано число 3?

6К3. В левом нижнем углу шахматной доски 4×4 стоит король. За один ход он может передвинуться либо на одну клетку вправо, либо на одну клетку вверх, либо на одну клетку по диагонали вправо и вверх. Сколькими разными путями король может пройти в правый верхний угол доски?

6К4. За круглым столом расселись 10 мальчиков и 15 девочек. Оказалось, что имеется ровно 5 пар мальчиков, сидящих рядом. Сколько могло получиться пар девочек, сидящих рядом? (Если мальчик образует пару и с соседом слева, и с соседом справа, считаются обе пары.)

6К5. Имеется набор гирь со следующими свойствами:

а) в нём есть 5 гирь, попарно различных по весу;

б) для любых двух гирь найдутся две другие гири того же суммарного веса.

Какое наименьшее число гирь может быть в этом наборе?

Часы и календарь


6Ч1.
Электронные часы показывают время от 00:00 до 23:59. Сколько раз в течение суток значения часов и минут отличаются друг от друга на 15?

6Ч2. В июле некоторого года было четыре среды и четыре субботы. Каким днём недели было 20-е число этого месяца?

6Ч3. Двое часов начали и закончили бить одновременно. Первые бьют через каждые 2 секунды, вторые – через каждые 3 секунды. Всего было насчитано 13 ударов, при этом совпадающие удары воспринимались как один. Сколько времени били часы?


6Ч4. Какое наибольшее количество дней подряд Юра может заниматься математикой, если он делает это по вторникам, пятницам и нечетным числам месяца?

6Ч5. В США дату принято записывать так: номер месяца, потом число и год. В Европе же сначала идет число, потом месяц и год. Сколько в году дней, дату которых нельзя прочитать однозначно, не зная, каким способом она написана?

Логика


6Л1.
Из четырёх неравенств 2x > 70, x < 100, 4x > 25 и x > 5 два верны и два не верны. Найдите значение x, если известно, что оно целое.

6Л2. В комнате находится 10 человек, каждый из которых является рыцарем (всегда говорит правду) или лжецом (всегда лжёт). Первый сказал: «Здесь нет ни одного рыцаря», второй: «Здесь не более одного рыцаря», третий: «Здесь не более двух рыцарей», …, десятый: «Здесь не более девяти рыцарей». Сколько рыцарей в комнате?

6Л3. Петр, Роман и Сергей учатся на математическом, физическом и химическом факультетах. Если Петр – математик, то Сергей – не физик. Если Роман – не физик, то Петр – математик. Если Сергей – не математик, то Роман – химик. Кто из них учится на математическом факультете?

6Л4. На столе лежат в ряд четыре фигуры: треугольник, круг, полукруг и ромб. Они окрашены в разные цвета: красный, синий, жёлтый и зеленый. Известно, что с красной фигурой соседствуют синяя и зелёная; справа от жёлтой фигуры лежит ромб; круг лежит правее треугольника и ромба; треугольник лежит не с краю; синяя и жёлтая фигуры лежат не рядом. Определите цвет и форму самой левой фигуры.

6Л5. На острове живут рыцари (всегда говорят правду) и лжецы (всегда лгут), каждый из них живет в четырёхэтажном доме. В социологическом опросе приняли участие все жители острова. На вопрос «Вы живете на первом этаже?» ответили «да» 40% жителей. На аналогичный вопрос про второй этаж утвердительно ответили 30%, про третий – 50%, а про четвёртый – 0%. Какой процент жителей острова действительно живет на первом этаже?