birmaga.ru
добавить свой файл

1 2 ... 7 8




СОДЕРЖАНИЕ
Введение……………………………………………………………………………………………………4

Лабораторная работа №1 РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 6

1.1 Построение разностной схемы 6

1.2 Реализация граничных условий 7

1.3 Особенности построения разностной схемы для уравнения, записанного в цилиндрической системе координат 9

1.4 Пример решения параболического уравнения методом конечных разностей 10

1.4.1 Программа на языке Паскаль 10

1.4.2 Программа для системы Mathcad 14

1.5 Варианты заданий 17

Лабораторная работа №2 РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 19

2.1 Построение разностной схемы 19

2.2 Реализация начальных и граничных условий 20

2.3 Особенности построения разностной схемы для уравнения, записанного в цилиндрической системе координат 22

2.4 Пример решения гиперболического уравнения методом конечных разностей 24

2.4.1 Программа на языке Паскаль 24

2.4.2 Программа для системы Mathcad 26

2.5 Варианты заданий 29

29

29

29

29

29

29

29

29

29

29

29

29

29

29

29

29

29

29

29

29

29

29

29

29

29

29

29

29

29

29

29

29

29

30

30

30

30

30

30

30

30


Введение

В ходе изучения дисциплины «Методы математической физики» вы познакомиться с основными уравнениями, описывающими различные физические процессы, и изучить основные методы их решения. Лабораторный практикум по этой дисциплине посвящен численным методам решения задач математической физики. Вам предлагается сделать две лабораторных работы, посвященных соответственно численному решения уравнений параболического и гиперболического типа.


В ходе выполнения лабораторной работы Вы должны написать программу для численного решения поставленной задачи на языке Паскаль или в системе Mathcad. В отчете по лабораторной работе необходимо привести результаты работы программы (результаты расчетов) в соответствии с заданием. Кроме отчета необходимо прислать текст программы, содержащий необходимые комментарии. Программа на языке Turbo Pascal должна быть прислана в виде текстового файла в том виде, в каком вы ее запускали на своем компьютере. Если использовалась система Mathcad, то соответственно необходимо прислать файл в формате Mathcad.

Лабораторная работа №1 РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

1.1 Построение разностной схемы




Требуется найти решение параболического уравнения

, (1.1)

на отрезке [a, b] в течение промежутка времени при следующих начальных и краевых условиях.

Известно, что в начальный момент времени t = 0 задано распределение функции , а на границах отрезка задано одно из условий:




x=a

x=b

1)




2)





3)





Как видно из уравнения (1.1), его решение зависит от двух переменных: t – времени и x – пространства. Выберем систему координат так, чтобы в ней переменная x менялась вдоль оси абсцисс, а переменная t – вдоль оси ординат (рис. 1).


Рис. 1

Для решения уравнения (1.1) конечно-разностным методом построим конечно-разностную сетку, покрывающую прямоугольник . Координаты узлов сетки, образованные пересечением вертикальных и горизонтальных отрезков, определяются по формулам , , где шаг по пространству, ; – шаг по времени, . Здесь , .


Запишем конечно-разностную схему для уравнения (1.1), используя для производных по времени и пространству следующий шаблон (рис. 2):

, ,

тогда

, (1.2)

где , .

Здесь сеточная функция, соответствующая значению непрерывной функции в точке .

Рис. 2
Из (1.2) видно, что для получения решения на верхнем k+1 временном слое в i-ом узле необходимо знать три значения функции u(x,t) на нижнем k-ом временном слое, а именно, значения в узлах i – 1, i, i + 1.

Полученная явная разностная схема (1.2) обладает первым порядком аппроксимации по времени и вторым порядком по пространству . Условие устойчивости разностной схемы будет иметь вид: .



следующая страница >>