birmaga.ru
добавить свой файл

1
Задачи по курсу «Фундаментальная и компьютерная алгебра»

Немного о БЕЙСИКЕ


  1. Какое число соответствует переменной m типа Integer, если в области памяти, помеченной именем «m» записано ?

  2. Написать программу, которая упорядочивает по возрастанию тройку действительных чисел.

  3. Написать программу, которая заполняет прямоугольную область листа Exel размером 3× 4 буквой «я». Левый верхний угол – ячейка С4.

  4. Используя БЕЙСИК, вычислить а) , б) , в)

  5. Записать 231 в а) двоичной системе, б) восьмеричной системе, в) шестнадцатеричной системе.

  6. Найти not(23)

  7. Поделить -3678 на -43 с остатком, пользуясь VB

  8. Найти ± 113\ ± 29 ; ± 113 mod ± 29

  9. Найти round(5.1), round(-7.5)

  10. Пусть ; ; . Вычислить и . Они отличаются? Верно ли равенство ?

  11. Найти результат работы программы:
    Dim Слог as string: Слог=””:
    For i=1 to 5 Слог=Слог+”ма”: Next: Debug.Print Слог

  12. Пользуясь типом Collection создать алгебраическую систему НЕДЕЛЯ с операциями СледДень, ПредДень

  13. Написать программу-функцию вычисляющую значения факториала .

  14. Написать программу-функцию вычисляющую значения биномиальных коэффициентов .
  15. Числа Леонардо Фибоначчи (1202 г.) задаются рекуррентно как , . Вычислить первых несколько чисел Фибоначчи, составить соответствующую программу. Проверить справедливость формулы


Делимость целых чисел


  1. Разложить на простые множители.

  2. Признаки делимости на 2,3,4,5,9,10,11.

  3. Разложить 1729235737845 на простые множители.

  4. Построить ряд простых чисел от 523+1 до .

  5. Найти НОД и НОК чисел 15400 и 21780

  6. Решить уравнение

  7. Найти все квадратичные вычеты по модулю 13.

  8. Поделить 20+6i на 3+4i с остатком в кольце гауссовых чисел .

  9. Составить программу деления с остатком в кольце гауссовых чисел.

Алгоритм Евклида


  1. Применить алгоритм Евклида к паре 2341, 674 и найти НОД этих чисел

  2. Записать НОД(76345,234163) в виде линейной комбинации чисел 76345,234163

  3. Пусть -- разложение на (различные) простые множители двух натуральных чисел. Как найти НОД(n,k) и НОК(n,k)?

  4. Найти 2×2-матрицу Q с целыми коэффициентами и единичным определителем и такую, что Q⋅ , где d=НОД(8267,-127)

Матричная алгебра


  1. Вычислить: а)

  2. Написать программу а) умножения, б) сложения, в) транспонирования матриц

  3. Выполнить операции над матрицами :
    а) A B , б) , в)
  4. Составить программу транспонирования заданной матрицы А.


  5. Сколько 2×3-матриц c элементами 0 и 1?

  6. Сколько невырожденных 2×2-матриц над полем ?

  7. След матрицы Tr A есть сумма элементов на главной диагонали. Доказать, что а) Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B), б) Tr(rA)=r Tr(A) , в) Tr(AB)=Tr(BA).

  8. Верна ли формула для матриц?

  9. Доказать что любая 2×2-матрица А есть корень своего характеристического многочлена

  10. В произвольном кольце определим бинарную операцию (скобку Ли):
    [A,B]≔AB-BA. Доказать тождество Якоби: [[A,B],C]+[[B,C],A]+[[C,A],B]=0

  11. Обратить матрицу

  12. Доказать, что если A – нильпотентная матрица (т.е. для какого-либо натурального n), то (Этот ряд обрывается?)

  13. Вычислить а) ; б) ; в) . Замечание


  14. Составить программу элементарных преобразований строк (столбцов) данной матрицы.

Комплексные числа


  1. Изобразить на плоскости точки, соответствующие числам 5, -2, -3i, .

  2. Найти вещественные числа x и y, удовлетворяющие уравнению: а) ; б) .
  3. Вычислить выражения: а) (2+i)(3-i)+(2+3i)(3+4i); б) ; в) ; г) ; д) ; е) .


  4. Вычислить , где n – целое число.

  5. Комплексные числа представить в тригонометрической и показательной формах.

  6. Найти тригонометрическую форму числа: а) 5; б) i; в) -2; г) -3i; д) (1+i); е) ; ж) ; з) sin +i cos ; и) .

  7. Данные комплексные числа представить в показательной форме и выполнить действия: а) ; б) .

  8. Выразить cos 3φ, sin 3φ, cos 4φ, sin 4φ через и sinφ .

  9. Найти комплексные числа такие, что

  10. Нарисовать линию на комплексной плоскости, заданную уравнением: а) , б) , в) , г)

  11. Нарисовать на плоскости ℂ область, заданную неравенствами а) 1<|z|≤ 5; б) -1≤ Re z<0; в) 2π > Im z>0, г)

  12. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, соответствующиx условиям: а) |z|=1; в) |z-1-i|<1; г) 1≤ |z-2i|<2; д)|Re z|≤ 1; е) |z+2|-|z-2|=3.
  13. Как расположены на плоскости точки, соответствующие а) комплексным числам , для которых , и ; б) комплексным числам для которых ,


  14. Нарисовать кривую на комплексной плоскости.

  15. Разложить многочлен двух переменных в произведение линейных многочленов над полем ℂ.

  16. Найти образ единичного квадрата K: 0≤ x≤ 1, 0≤ y≤ 1 относительно отображения z→ 1/(1+z).

  17. Вычислить выражения: а) ; в) ; г) .

  18. Найти комплексные числа, соответствующие противоположным вершинам квадрата, если двум его соседним вершинам соответствуют числа 2+i и 5-i.

  19. Изобразить на плоскости множество точек, соответствующих комплексным числам , где t∈ ℝ .

  20. Доказать равенство



  1. Найти все комплексные числа, сопряженные к а) своему квадрату; б) своему кубу.

  2. Найти при .

  3. Доказать равенства: а) (n∈ ℤ ); б) (n∈ℤ )

  4. Решить уравнения над полем комплексных чисел:

    1. ;

    2. ;

    3. ;

    4. (4+i)z+7i=1;

    5. ;

    6. ;
    7. ;


    8. ;

    9. ;

    10. .

  5. Решить уравнения: а) , б) .

  6. Решить систему уравнений:

    1. , ;

    2. ; ;

    3. , .

  7. Доказать, что:

    1. если |z|<1, то ;

    2. если |z|≤ 2, то ;

    3. если |z|<1/2, то .

  8. Доказать неравенство:
    .

  9. Доказать, что если , то , где n∈ ℤ .

  10. Доказать равенство:



где x≠ 2kπ, k∈ ℤ

  1. Доказать, что если комплексное число z является одним из корней степени n из вещественного числа a, то и сопряженное число является одним из корней степени n из a.
  2. Вычислить все комплексные корни: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з).


  3. Найти двумя способами корни степени 5 из единицы и выразить в радикалах
    и . Как следствие получить способ построения правильного пятиугольника с помощью циркуля и линейки.

  4. Решить уравнения: а) ; б) .

  5. Является ли число корнем некоторой степени из единицы?

Алгебраические системы




  1. Какие из следующих операций над целыми числами коммутативны и/или ассоциативны: а) m-n; б) , в) m+n-mn; г) ?

  2. Будет ли отрезок [-1;1] группой относительно операции сложения ? НЕТ

  3. Будет ли интервал (0;+∞) группой относительно операции умножения? ДА

  4. Будет ли множество C[-1;1] непрерывных функций на отрезке [-1;1] кольцом? Привести пример двух ненулевых функций f,g∈ C[-1;1] таких, что fg=0.

  5. Будет ли отрезок [-1;1] без 0 группой относительно операции умножения?

  6. В моноиде ℳ слов над алфавитом А={а,б,в} найти все слова длины 2. Сколько слов длины n в моноиде ℳ ?

  7. В моноиде невырожденных 2х2-матриц (относительно умножения) найти все инволюции (т.е. элементы, квадрат которых равен единичному элементу).

  8. В кольце Mat(2x2,ℝ) найти все а) идемпотенты; б) нильпотентные элементы (некоторая степень равна 0).
  9. Пусть G – группа движений плоскости, Φ – поворот на относительно О, Ψ – отражение относительно оси Oy. Описать в геометрических терминах движения а) и ; б) . Решить уравнение .


  10. Проверить, что множество остатков от деления на 5 есть поле относительно операций сложения и умножения по модулю 5. Составить таблицы сложения и умножения в этом поле.

  11. Проверить, что множество , где 1+1=0 и есть поле (Галуа) из четырех элементов, содержащее поле . Составить таблицы сложения и умножения в этом поле.

  12. В алгебраической системе «Неделя» («Неделя*{чет, нечет}) с унарными операциями СледДень, ПредДень найти а) ; б)

Абелевы группы


1. Разложить в прямую сумму циклических групп фактор группу , где .

2. Разложить в прямую сумму примарных циклических групп фактор группу , где .

3. Какие из подмножеств рациональных чисел будут подгруппой в (ℚ ,+): а) ; б) десятичные дроби; в) правильные дроби; г) целые числа

4. Циклическую группу порядка 7 реализовать как а) группу движений плоскости; б) подгруппу группы подстановок; в) подгруппу мультипликативной группы комплексных чисел.

Подстановки


  1. Даны подстановки . Найти ,
  2. Записать подстановку такую, что . Каков ее порядок?


  3. Записать подстановку вершин квадрата при отражении его относительно диагонали.

  4. Записать подстановку вершин куба при повороте куба на относительно его диагонали.

  5. Разложить в циклы, найти порядки и знаки этих подстановок.

  6. Каково наибольшее возможное число инверсий у подстановки ? На какой подстановке оно реализуется?

  7. Решить уравнение относительно .

  8. Написать программу генерации случайной подстановки.

  9. Написать программу нумерации подстановок.

  10. Написать программу возведения подстановки в заданную степень.

  11. Доказать, что порождается транспозицией (1,2) и максимальным циклом

Кольца


  1. Найти группу обратимых элементов для следующих колец





    1. кольцо непрерывных функций на отрезке [0;1]

    2. кольцо сходящихся последовательностей

  2. Дано кольцо матриц Сколько в нем элементов? Оно коммутативно? Его группа обратимых элементов ?

Поля


  1. Обратить в поле
  2. Обратить в поле


  3. Построить поле Галуа GF(8) исходя из нового элемента α такого, что

  4. Можно ли расширить поле () подсоединением корня из -1?

  5. Доказать, что поле рациональных чисел не содержит собственных подполей.

Алгебра многочленов


  1. Поделить на с остатком

  2. Найти остаток от деления многочлена на

  3. Разложить над полями

  4. Разложить над

  5. Найти значение многочлена в точке

  6. Доказать, что многочлен обратим в алгебре многочленов тогда и только тогда, когда он – ненулевая константа.

  7. Создать тип polimon с полями koef (массив коэффициентов), deg (степень многочлена), Lkoef (старший коэффициент). Методы этого типа: сложение и умножение многочленов, деление с остатком, значение многочлена

Наивная теория множеств


  1. Все множества строятся из пустого множества. Например, и . Написать программу-функцию, выдающее по заданному натуральному числу его запись через пустое множество. Сколько получается фигурных скобок?

  2. Даны множества . Изобразить их на числовой оси. Описать множества и изобразить их на числовой оси.


  3. Пусть А – множество ромбов на плоскости, а В – множество прямоугольников на плоскости. Описать в геометрических терминах пересечение .


  4. Перечислить элементы множества .


  5. Равно ли множество множеству ?


  6. Пусть Р – множество ромбов, П – множество прямоугольников, Ч – множество четырехугольников, Т – множество трапеций, К – множество квадратов на плоскости. Отметить в виде диаграммы все отношения включения между ними.

Алгебра высказываний


  1. Объясните, почему утверждения 2,4,7 справедливы, а утверждения 1,5,6 ложны?

  2. Пусть в какой-либо квазитеории, полагают по определению . Будет ли тогда утверждение 3 верным (в этой квазитеории) ?

  3. Построить таблицу истинности для булевой функции а) ; б) . По таблице истинности построить СНДФ, СКНФ и многочлен Жегалкина

  4. Задана булева функция двух переменных:


(a,b)

(0,0)

(1,0)

(0,1)

(1,1)

G


1

0

1

0

Построить СНДФ, СКНФ и многочлен Жегалкина для G.

  1. Попытайтесь доказать 7. Если получится, немедленно сообщите преподавателю, --вас ждет награда.

  2. Битовую строку из 16 единиц назовем «чистой правдой», а из 16 нулей – «откровенной ложью». Эти правда и ложь единственны, а сколько будет полуправд -- битовых строк, в которых восемь единиц и восемь нулей?

  3. Пусть таковы, что и . Найти ; ;

  4. Как сказал великий сатирик Аркадий Райкин «женщина – друг человека». Эту высказывательную форму относительно переменных «женщина», «человек» замкнуть всеми возможными способами (сколько их?) и оценить истинность получившихся высказываний.

  5. Рассмотреть оставшиеся случаи замыкания формы «»

  6. Сколько разных способов замыкания высказывательной формы от трех переменных (а от n переменных)?

  7. Найти все значения булевых переменных при которых форма

    становится истинной.

  8. Решить булево уравнение


  9. Построить таблицу истинности формулы

Алгебра кватернионов


1. Доказать, что отображение



является изоморфизмом

как алгебры над полем ℝ на некоторую подалгебру в алгебре матриц Mat(2×2,ℂ ) над ℝ.

2. Решить в

уравнение (описать многообразие решений).

3. Рассчитать образ точки Р(-5;7;1) под действием поворота на угол относительно вектора , а затем поворота на угол относительно вектора