birmaga.ru
добавить свой файл

1 2 ... 4 5
Задача К4

Прямоугольная пластина (рис. К4.0–К4.4) или круглая пластина радиуса R=60 см (рис. К4.5–К4.9) вращается вокруг неподвижной оси по закону φ=f1(t) заданному в табл. К4. Положительное направление отсчета угла φ показано на рисунках дуговой стрелкой. На рис. 0, 1, 2, 5, 6 ось вращения перпендикулярна плоскости пластины и проходит через точку О (пластина вращается в своей плоскости); на рис. 3, 4, 7, 8, 9 ось вращения OO1 лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве).

По пластине вдоль прямой BD (рис. 0–4) или по окружности радиуса R (рис. 5–9) движется точка М; закон ее относительного движения, т. е. зависимость (s выражено в сантиметрах, t – в секундах), задан в таблице отдельно для рис. 0–4 и для рис. 5–9; там же даны размеры b и l. На рисунках точка - Д1 показана в положении, при котором (при s<0 точка M находится по другую сторону от точки А).

Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t=l с.

Указания. Задача К1 – на сложное движение точки. Для ее решения воспользоваться теоремами о сложении скоростей и о сложении ускорений. Прежде чем производить все расчеты, следует по условиям задачи определить, где находится точка Л1 на пластине в момент времени t1= l c, и изобразить точку именно в этом положении (а не в произвольном, показанном на рисунках к задаче).

В случаях, относящихся к рис. 5–9, при решении задачи не подставлять числового значения R, пока не будут определены положение точки М в момент времени t1=1 с и угол между радиусами СМ и СА в этот момент.

Таблица К4


Номер условия

Для всех рисунков φ=f1(t)

Для рис. 0–4

Для рис. 5-9

b, см



l



0



12



R



1



16







2


10



R



3



10



R



4



8



R



5



20



R



6



12






7



8



R



8



10



R



9



20












Рис. К4.0


Рис. К4.1




Рис. К4.2



Рис. К4.3



Рис. К1.4



Рис. К4.5






Рис. К4.6



Рис. К4.7



Рис. К4.8



Рис. К4.9


Пример К4. Шар радиуса R (рис. К4,а) вращается вокруг своего диаметра АВ по закону φ=f1(t) (положительное направление отсчета угла φ показано на рис. К4, а дуговой стрелкой). По дуге



Рис. К4

большого круга («меридиану») движется точка Л1 по закону ; положительное направление отсчета s от А к D.


Дано: R=0,5 м, , (φ – в радианах, s – в метрах, t – в секундах). Определить: vab и аaб в момент времени t1=l с.

Решение. Рассмотрим движение точки М как сложное, считая ее движение по дуге ADB относительным (АВ–относительная траектория точки), а вращение шара – переносным движением. Тогда абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки найдутся по формулам:

, , (1)

где, в свою очередь, , .

Определим все характеристики относительного и переносного движений.

1. Относительное движение. Это движение происходит по закону

(2)

Сначала установим, где будет находиться точка M на дуге в момент времени t1. Полагая в уравнении (2) t=1 с, получим

. Тогда

или . Изображаем на рис. К4, а точку в положении, определяемом этим углом (точка M1).

Теперь находим числовые значения , , :

; ;




где ρот – радиус кривизны относительной траектории, т. е. дуги . Для момента времени t1= 1 c, учитывая, что R=0,5 и, получим

; ; (3)

.

Знаки показывают, что вектор направлен в сторону положительного отсчета расстояния s, а вектор – в противоположную сторону; вектор - направлен к центру С дуги . Изображаем все эти векторы на рис. К4, а. Для наглядности приведен рис. К4, б, где дуга совмещена с плоскостью чертежа.

2. Переносное движение. Это движение (вращение) происходит по закону . Найдем угловую скорость ω и угловое ускорение ε переносного вращения: , и при t1=l с.

. (4)

Знаки указывают, что при t1=l с направление ε совпадает с направлением положительного отсчета угла φ, а направление ω ему противоположно; отметим это на рис. К4, а соответствующими дуговыми стрелками.

Для определения и находим сначала расстояние h точки А1, от оси вращения. Получаем . Тогда в момент времени t1=1 с, учитывая равенства (4), получим:


, , (5)

.

Изображаем на рис. К4, а векторы и с учетом направлений ω и ε и вектор (направлен к оси вращения).

3. Кориолисово ускорение. Так как угол между вектором и осью вращения (вектором ) равен 60°, то численно в момент времени t1=1 с (см. равенства (3) и (4))

(6)

Направление найдем, спроектировав вектор на плоскость, перпендикулярную оси вращения (проекция направлена так же, как вектор ), и повернув затем эту проекцию в сторону ω, т. е. по ходу часовой стрелки, на 90°. Иначе направление можно найти, учтя, что . Изображаем вектор на рис. К4, а.

Теперь можно вычислить значения vаб и aаб.

4. Определение vаб. Так как , а векторы и взаимно перпендикулярны (см. рис. К4, а), то в момент времени t1=1 с.


5. Определение aаб. По теореме о сложении ускорений


(7)

Для определения aаб проведем координатные оси (см. рис. К4, а) и вычислим проекции вектора на эти оси. Учтем при этом, что векторы и лежат на проведенной оси x, а векторы , и расположены в плоскости дуги , т. е. в плоскости (см. рис. К4,б). Тогда, проектируя обе части равенства (7) на координатные оси и учтя одновременно равенства (3), (5), (6), получим для момента времени t1=1.

;

;

.

Отсюда находим значение aаб в момент времени t1=1 с:



Ответ: vаб=0,93 м/с; ааб=4,1 м/с2.

Задача ДЗ

Механическая система состоит из прямоугольной вертикальной плиты 1 массой m1=18 кг, движущейся вдоль горизонтальных направляющих, и груза D массой m2=6 кг (рис. Д5.0–Д5.9, табл. Д5). В момент времени t0=0, когда скорость плиты и0=2 м/с, груз под действием внутренних сил начинает двигаться по желобу плиты. На рис. 0–3 желоб КЕ прямолинейный и при движении груза расстояние s =AD изменяется по закону , а на рис. 4–9 желоб – окружность радиуса R=0,8 м и при движении груза угол изменяется по закону . В табл. Д5 эти зависимости даны отдельно для рис. 0 и 1, для рис. 2 и 3 и т. д., где s выражено в метрах, φ – в радианах, t – в секундах.


Считая груз материальной точкой и пренебрегая всеми сопротивлениями, определить величину, указанную в таблице в столбце «Найти», где обозначено: x1 – перемещение плиты за время от t0=0 до t1=1 с; и,, a,, Nt–значения в момент времени t1=l с скорости плиты, ускорения плиты и полной нормальной реакции направляющих соответственно.



следующая страница >>