birmaga.ru
добавить свой файл

1
Разработка практического занятия по теме:


Метод площадей

Цель (ставиться перед учащимися и перед учителями):

Определить какие компоненты метода площадей мы будем применять на уроке при решении задач и по каким признакам можно определить, что в той или иной задаче используется тот или иной компонент метода площадей.

I этап - подготовительный : повторение теории и отработка отдельных компонентов метода площадей.


  1. На доске висит ромашка: учащиеся подходят и срывают лепесток, читают вопрос и отвечают на него.

Вопросы:

  • Дайте определение площади.

  • Что является единицей измерения площадей?

  • Сформулируёте свойство аддитивности площадей.

  • Сформулируйте свойство инвариантности площадей.

  • Cформулируйте теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу.

  • Сформулируйте теорему об отношении площадей треугольников, имеющих равные высоты.

  • Какие фигуры называются равновеликими?

  • Какие фигуры называются равносоставленными?

  1. Пока учащиеся отвечают на вопросы «ромашки», два ученика выходят к доске и заполняют нужную формулу площадей фигур (один ученик заполняет формулы площадей треугольников, а другой всех остальных фигур ). Формулы площадей треугольников при проверке проговаривают вслух.

  2. Устное решение задач по готовым чертежам (задачи на один или 2 компонента метода):

а) Площадь треугольника ABD равна 15 м2. Найти площадь

параллелограмма ABCD (свойство инвариантности и свойство

аддитивности площадей: треугольники равны, следовательно равны

их площади и находим сумму площадей).

б) В треугольнике АВС на стороне АС взята точка D. Найдите отношение

площадей треугольников АВD и ВDС (площади относятся как


основания AD:DC).

Найдите отношение площадей треугольников АВD и ВDС, если ВD-

биссектриса ( АD:DC=AB:BC) и если ВD – медиана (AD:DC=1).

Сделайте вывод о равновеликости треугольников (отношение

площадей треугольников, имеющих равные высоты).

Вывод: медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

На эти выводы учащимся предлагаются задачи:

В

В



Найти


-?

SABD = 7.

Найти SDBC -?


4

5

S1

S2

7

х

D

С

А

D

С

А

II этап - решение задач: решение задач на несколько компонентов метода и задач, в которых признаки выбора метода не видны.

Учитель: сейчас рассмотрим задачи, где используются 2-3 компонента метода. Ваша задача- определить какие это компоненты. Где в условии задач видны признаки этих компонентов?

1) Задачи на 2-3 компонента метода, признаки которого видны в формулировке задач:
  1. Найти площадь четырёхугольника АВСD, если АВ=5 см, ВС=13 см, СD=9 см, АD=15 см, АС=12 см (площадь прямоугольного треугольника, свойство аддитивности площадей).



13

С

В

Рассмотрим треугольники АВС и АСD. По теореме, обратной теореме Пифагора доказываем, что эти треугольники прямоугольные: 52+122=132 ; 122+92=152.

По свойству аддитивности площадей имеем SАВСD=SАВС+SАСD=
SАВСD=


5


12

9



А


15

D


Вопросы к задаче:

  • Что требуется найти? (площадь четырёхугольника – признак выбора метода площадей).

  • Чтобы найти плошадь четырёхугольника, какой компонент метода площадей можно использовать? (свойство аддитивности площадей).

  • Как найти площади треугольников? (по формуле площади прямоугольного треугольника).

  • Итак, мы видим, что в задаче используются два компонента метода площадей и по условию задачи и по чертежу мы увидели признаки выбора этих компонентов.

Данную задачу учащиеся решают самостоятельно по готовому чертежу (на кодопозитиве), в тетрадь записывают только решение, которое потом сверяют с кодопозитивом.



  1. 2

    Рассмотрим треугольники ВОС и СОD. СH – высота для этих треугольников. По теореме об отношении площадей треугольников, имеющих равные высоты имеем: и


    ; ; SAOD=

    По свойству аддитивности площадей: SABCD=SBOC+SCOD+SAOB+SAOD=18+24+12+16=70 (см2).

    Вывод-обобщение задачи:
    . Диагонали четырёхугольника АВСD пересекаются в точке О. Найдите площадь четырёхугольника, если известно, что площади треугольников АОВ, ВОС, СОD равны соответственно 12, 18, 24 см2 (отношение площадей треугольников, имеющих равные высоты, свойство аддитивности площадей).




В



С



О



H


D


А



Вопросы к задаче:

  • Что требуется найти? (площадь четырёхугольника – признак выбора метода площадей).
  • Чтобы найти плошадь четырёхугольника, какой компонент метода площадей можно использовать? (свойство аддитивности площадей).


  • Чтобы применить данный компонент, что нужно найти? (площадь треугольника AOD).

  • Рассмотрим треугольники BOC и COD. Что они имеют общего? (высоту). Значит, о каком компоненте идёт речь? (об отношении площадей треугольников, имеющих равные высоты). Найдём отношение площадей этих треугольников.

  • Рассмотрите треугольники AOB и AOD и сделайте вывод.

  • Итак, сколько компонентов метода площадей мы использовали в задаче? (два).

Перед решением задачи на доске заготовлен чертёж, один учащийся выходит к доске, записывает дано и строит необходимые элементы на чертеже. После устного разбора задачи у доски оформляет решение следующий ученик.

Последний шаг учащиеся выполняют самостоятельно.
2) Задача, в формулировке которой не видны признаки метода площадей.
3. Стороны параллелограмма и его меньшая диагональ относятся как 10:21:17. Определите стороны параллелограмма, если его меньшая высота равна 16 см.


В

AB:AD:BD=10:21:17


Пусть k-коэффициент пропорциональности, тогда

AB=10k, AD=21k, BD=17k.

Рассмотрим треугольник ABD:





Приравнивая различные выражения для одной и той же площади получаем уравнение:








С


16


H


D



А



Вопросы к задаче:


  • По условию задачи видны ли признаки выбора метода площадей? (нет).

  • Что требуется найти? (стороны параллелограмма).

  • Что для этого нужно знать? (коэффициент пропорциональности).

  • Нам дано отношение сторон AB, AD, BD. Какую фигуру образуют эти стороны? (треугольник). Выразите стороны этого треугольника через коэффициент пропорциональности. Зная стороны, что можно найти? (площадь по формуле Герона)

  • Что нам ещё известно? (высота).

  • Что можно найти, зная стороны и высоту? (площадь треугольника).

  • Что мы сделаем с этими выражениями? (приравняем). И что мы найдём? (коэффициент пропорциональности).

  • Итак, для решения данной задачи использовался следующий компонент метода - умение выражать площадь одной и той же фигуры разными способами через элементы данной фигуры.

Данная задача полностью оформляется на доске учащимися.
Заключительное слово учителя:
Мы провели занятие на решение задач методом площадей. Для некоторых задач можно сразу увидеть способ решения методом площадей, т. е. признаки выбора метода видны в формулировке и чертеже задачи, а для некоторых задач признаки выбора метода не видны в формулировке задач, поэтому наша цель научиться решать именно такие задачи, при решении которых, в основном, составляется уравнение и задача переводиться на «алгебраический » язык.

Работа с группой учителей


  1. Суть метода площадей:

Из названия следует, что главным объектом данного метода является площадь. Способ решения задач основывается на понятии площади, её свойствах. Суть метода основывается на следующих приёмах:

  1. На основании свойств площади (аддитивность, инвариантность), а также на понятиях равновеликих и равносоставленных фигур.

  2. На основании отношения площадей треугольников, имеющих равные высоты и по равному углу, подобных треугольников.

  3. На основании сравнений различных выражений для площади данной фигуры . Данный приём позволяет получить соотношения между элементами фигур (сторонами, высотами и т. д). В этом случае возникает уравнение, содержащее известные и искомые элементы фигуры, разрешая которое мы определяем неизвестное. В данном случае метод площадей из геометрической задачи он «делает» алгебраическую, сводя всё к решению уравнения. Основное своё применение данный приём находит в задачах, где участвует треугольник из-за большого количества формул площадей, хотя неисключён и случай применения данного приёма и для других фигур.

  1. О всех ли компонентах метода площадей шла речь?

Учителя зачитывают компоненты, которые они увидели на занятии и «свои» компоненты.

  1. Решение задач:

Рассмотрим задачу, в которой применяется ещё один компонент метода площадей:

Из вершины А треугольника АВС провести две прямые так, чтобы они разделили треугольник АВС на три равновеликих треугольника.


В

SABD=ADBH


SDBE=DEBH

SEBC=ECBH

ADBH= DEBH= ECBH

AD = DE = EC



Е

D

А

С


Компонент:

Умение выражать площади разных фигур через одну и ту же величину.

Рассмотрим задачу, в формулировке которой не видны признаки выбора метода площадей:

Диагонали ромба равны 18 м и 24 м. Найдите периметр ромба и расстояние между параллельными сторонами.

Компоненты:


  • Умение выражать площадь одной и той же фигуры разными способами через данные элементы фигуры.

  • Умение находить площадь ромба по формулам.