birmaga.ru
добавить свой файл

1


Раздаточный материал №1 по теме:

«Комплексные числа»

Содержание



1









Упражнения



  1. Найти z1 + z2; z1z2; z1 - z2; z1 : z2; если:

a). z1 = 2 + 5i, z2 = 1-7i; b). z1 = - i, z2= .


  1. Записать данные комплексные выражения в стандартной алгебраической форме

(z = x -iy):

a). z = - ; b). z = + .


  1. Вычислить:

a). i + i11 + i21 + i31 + i41; b). ii2i3i4; c). .



  1. Найти действительные числа x и y из условия равенства комплексных чисел:

a). (1- i)x + (1 - i)y = 3 - i; b). ; c). .


  1. Найти действительные числа x, удовлетворяющие условиям:

a). Re((1 + 2xi) 3 + 47) = 0; b). Im((x + 2i) 3 + 2xi) = 0.


  1. Найти множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условиям:

a). |z|= 1; b). b). |z - 1 - i| 3; c). |2z - 1| 2;

d). Re; e). Im; f). |z + 1| = |z - 1|;
g). 1|z + i|4; h). |z + i|>|z|; i). |z + i| = |z - i|.


  1. Доказать равенства:

a). b). |z1z2| = | z1|| z2|;


c). Arg z1 + Arg z2 = Arg (z1 + z2); d). Arg z1 - Arg z2 =Arg .


  1. Записать в тригонометрической форме:

a). z = - + i; b). z = -1;

c). z = - cos + isin; d). z = . Приложение 2: Показательная форма записи комплексных чисел. Ло­гарифм комплексного числа.

Ответы к упражнениям



  1. a). z1 + z2 = 3 – 2i; z1 z2 = 37 -9i; z 1– z2 = 1 + 12i; z1 : z2 = 74 + 0,38i.

b). z1 + z2 = 2; z1z2 = 5; z1 – z2 = - 2 i; z1 : z2 = - 0,2 - 0,4i.


  1. a). z = i; b). z= - 0,72 + 0,46i.

  2. a). i; b). – 1; c). – i.

  3. a). {1;2}; b). {2;3}; c). x R, y R,.

  4. a). | x | = 2; b). x1 = - ; x2 = 1.

  5. a). Окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

b). Множество всех внутренних точек окружности и сама окружность

радиуса, равного 3, с центром в точке z = 1 + i.

c). Множество всех внешних точек окружности единичного радиуса с

центром в точке z = .

d). Окружность радиуса, равного 2, с центром в начале координат, кроме

точки z = 2i.

e). Прямая y - x - 1 = 0, кроме точки z = i.

f). Мнимая ось.

g). Множество всех точек, лежащих внутри кольца, ограниченного

концентрическими окружностями с радиусами, равными соответствен-

но 1 и 4 (включая точки окружности), с центром в точке z = - i.

h). Полуплоскость, лежащая выше прямой y = - .

i). Действительная ось.

  1. a). z = 2; c). z = cos + isin;


b). z = cos + isin; d). z = cos + isin.

  1. a). z = - + ; c). - 299 (1 + i );

b). i; d). -256.

  1. a). z1 = (1 + i); z2 = (-1 + i); z3 = (-1 - i); z4 = (1 - i);

b). z1 = cos + isin; z2 = cos + isin;

z3 = cos + isin; z4 = cos + isin.


c). zk = , k = .


  1. a). i 2; b). zk = , k =.

c). z1 = 1, z2 = 3, z3,4 = 2i.