birmaga.ru
добавить свой файл

1



ЛЕКЦИЯ 10


Криволинейные ортогональные координаты. Коэффициенты Ламе. Дифференциальные операции в ортогональной системе координат. Цилиндрическая и сферическая системы координат. Центральные, осевые и осесимметричные скалярные поля.

9*. ПРИМЕНЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ В
ВЕКТОРНОМ АНАЛИЗЕ




9.1. Криволинейные ортогональные координаты



Такие величины, как градиент, дивергенция, ротор и другие, часто встречаются в различных задачах теоретической и математической физики. Во многих случаях полезно уметь записывать эти величины не только в декартовых, но и в тех или иных криволинейных системах координат. Например, если рассматриваемое поле обладает сферической симметрией, т.е. в каждой точке рассматриваемая величина зависит только от расстояния этой точки до начала координат, то, ясно. Что все формулы, связанные с данным полем, должны значительно упроститься в сферической системе координат.

Говорят, что в пространстве задана система координат, если каждой точке P поставлено в соответствие ройка чисел {q1, q2, q3}, причем различным тройкам чисел отвечают различные точки пространства. Числа q1, q2, q3 называются координатами точки P=P(q1, q2, q3).

Линией, вдоль которой изменяется только одна координата qi, а остальные фиксированы, называется координатной qi-линией. Поскольку, в общем случае, координатные q1, q2 и q3 линии отличны от прямых линий, то поэтому координаты {q1,q2,q3} называются криволинейными. Если координатные линии являются прямыми, то такие координаты называются декартовыми.


Пусть декартовы и криволинейные координаты связаны формулами:

x = x(q1,q2,q3), y = y(q1,q2,q3), z = z(q1,q2,q3). (9.1)

Поскольку через каждую точку P пространства проходит три координатных линии q1,q2,q3, то в этой точке можно построить базис {r1,r2,r3}, естественным образом связанный с координатными линиями, т.е. так, чтобы каждый вектор ri был касательным к соответствующей координатной линии и направлен в сторону возрастания координаты qi. Для этого вычислим производные , , в точке P. Очевидно, что эти производные будут представлять собой координаты вектора касательной к qi-линии, т.е. можно принять

, , . (9.2)

Для того чтобы векторы r
1, r2, r3 образовывали базис, необходимо и достаточно, чтобы они были неколлинеарными, т.е. чтобы определитель

(9.3)

был отличен от нуля. Другими словами, якобиан перехода от криволинейных координат к декартовым должен быть отличен от нуля: J0.


Введем в точке P нормированный базис, состоящий из трех единичных векторов: e
1, e2 и e3, касательных к координатным линиям, проходящих через точку M:

, , , (9.4)

где

(9.5)

называются коэффициентами Ламе.

Заметим, что в отличие от декартовой системы координат, определяемой тремя единичными векторами, в криволинейной системе координат базис {e
1, e2, e3} будет меняться от точки к точке, т.е. сами векторы e1, e2, e3 представляют собой функции параметров q1,q2,q3. Однако это не мешает любой вектор, заданный в произвольной точке M (т.е. любое векторное поле), в виде линейной комбинации векторов e1, e2, e3.

В дальнейшем мы ограничимся простейшим и в то же время наиболее важным случаем ортогональных координат. система криволинейных координат называется ортогональной, если в любой точке три координатные линии, проходящие через эту точку, ортогональны друг другу. Другими словами, в каждой точке базис r1, r2, r3 является ортогональным (а базис e1, e2, e3 – ортонормированным). Отметим, что свойством ортогональности обладают, в частности, цилиндрические и сферические координаты.


9.2. Дифференциальные операции в ортогональной
системе координат




9.2.1. Элементы длины, площади, объема


Найдем, прежде всего, выражения для элементов длины, площади и объема в ортогональной криволинейной системе координат. Для этой цели рассмотрим бесконечно малый криволинейный параллелепипед, вырезаемый тремя парами координатных плоскостей, отвечающих соответственно значениям параметров q1, q2, q3, равным q1 и q1+dq1, q2+dq2, q3+dq3 (см. рис. 9.1).




Рис. 9.1
Рассмотрим сначала ребро MM1. Точка M имеет криволинейные координаты (q1,q2,q3), а точка M1 – криволинейные координаты (q1+dq1, q2+dq2 ,q3+dq3). Обозначив декартовы координаты точки M1 – через (x+dx, y+dy, z+dz), мы можем написать, что длина dl1 вектора равна

.

Вдоль ребра MM1 координаты x, y, z суть функции переменной q1 (переменные q2 и q3 постоянны вдоль ребра MM1). Следовательно, в данном случае

, , ,


и

.

Аналогично получаем формулы для длин dl2 и dl3 ребер MM2 и MM3. Запишем формулы для dl1, dl2 и dl3 следующим образом:

(9.6)

Поскольку рассматриваемая система координат ортогональна, то площадь d1 грани MM2N1N2 равна произведению dl2 на dl3, т.е.

, (9.7)

Аналогично получаем для площадей d2 и d3 двух других граней MM1N2M3 и MM1N3M2:

, (9.8)

Наконец, объем всего рассматриваемого бесконечно малого параллелепипеда равен:

, (9.9)

9.2.2. Градиент

Пусть в некоторой области пространства, в которой введены криволинейные координаты q1, q2, q3, задано дифференцируемое скалярное поле u(M). Найдем выражение градиента в ортогональных криволинейных координатах. Проекция градиента функции u=u(q1, q2, q3) на некоторое направление, совпадает, как известно, с производной от u по этому направлению. Следовательно, для того чтобы вычислить компоненты gradu в базисе {e1, e2, e3} нужно вычислить производные от U по направлениям, определяемым этими векторами. Пусть U – разность значений функции U в точках M1 и M. Тогда


.

Аналогично находим две другие компоненты градиента:

, .

Таким образом, окончательно получаем

. (9.10)

9.2.3. Дивергенция


Пусть в некоторой области пространства, в которой введены криволинейные координаты q1, q2, q3, задано дифференцируемое векторное поле a(M). Найдем выражение дивергенции в ортогональных криволинейных координатах. По определению diva в точке M задается формулой:

.

Следовательно, мы можем вычислить diva в точке M как отношение потока вектора a через поверхность бесконечно малого параллелепипеда, изображенного на рис. 9.1, к объему dv этого параллелепипеда. Обозначим a1, a2, a3 компоненты вектора a в базисе e1, e2, e3 и вычислим сначала поток этого вектора через две грани, перпендикулярные ребру MM1.

Внешняя нормаль к грани MM2N1M3 совпадает с вектором (–e1). Следовательно, поток вектора a через эту грань (с точностью до бесконечно малых величин 1-го порядка относительно dv) равна

. (9.11)

Противоположная грань M1N3NN2 отличается от рассмотренной грани тем, что на ней первая криволинейная координата равна q1+dq1; следовательно, значение величины a1H2H3 на этой грани отличается от ее значения на грани MM2N1M2 приращением:


.

Кроме того, направление нормали к грани M1N3NN2 совпадает с направлением вектора e1. Поэтому поток вектора a через грань M1N3NN2 равен

. (9.12)

Сложив выражения (9.11) и (9.12), получим, что поток вектора a через две параллельные между собой грани MM2N1M3 и M1N3NN2 равен

.

Аналогично рассматривая две другие пары параллельных между собой граней, получим следующие два выражения для потока векторного поля через эти пары граней:

и .

Складывая все три полученные величины и разделив их затем на dv, получим

. (9.13)

9.2.4. Ротор


По определению проекция (rota)n ротора векторного поля a в некоторой точке P на направление фиксированного вектора n представляется формулой:

.

Следовательно, мы можем получить проекцию rota на направление вектора e1, вычислить циркуляцию вектора a вдоль контура MM2N1M3M (см. рис. 9.1) и разделив ее на d1. Представим эту циркуляцию в виде суммы четырех слагаемых, отвечающих отрезкам MM2, M2N1, N1M3 и M3M, и вычислим каждое слагаемое отдельно. Начнем с первого из них. Проекция вектора a на направление равна a2, следовательно, циркуляция вектора a вдоль (с точностью до бесконечно малых величин первого порядка относительно d1) равна


. (9.14)

Циркуляция вдоль N1M3 отличаются от только что полученного выражения тем, что на N1M3 третья координата равна q3+dq3, а не q3, как на MM2, и, кроме того, направление отрезка N1M3 противоположно направлению e2. Поэтому циркуляция вдоль N1M3 равна

. (9.15)

Аналогично получаем для циркуляции вдоль M2N1 и N3M выражения

(9.16)

и

. (9.17)

Сложив величины (9.14)-(9.17), получим, что циркуляция вектора a вдоль контура MM2N1N3M равна

.

Деля полученное выражение на H2H3dq2dq3, т.е. на площадь грани MM2N1M3, получим, что компонента (rota)1 вектора rota в направлении базисного вектора e1 равна

. (9.18)

Аналогично вычисляются две другие компоненты:

, (9.19)

. (9.20)


Символически это можно записать в виде

(9.21)

9.2.5. Лапласиан


Оператор Лапласа U функции U определяется формулой

.

Пользуясь формулами для градиента и дивергенции, находим

. (9.22)

9.3. Цилиндрическая система координат



Эта система координат вводится при помощи соотношений

x = cos, y = sin, z = z,

т.е. q1 = , q2 = , q3 = z.




Рис. 9.2
Очевидно, что координатные линии  (или q1 линии) представляют собой прямые, проходящие через ось Oz, перпендикулярно этой оси (см. рис. 9.2). Координатные линии  (q2 линии) – окружности с центром на оси Oz, плоскости которых параллельны плоскости xOy.

Координатные линии z (q3 линии) – прямые, параллельные оси Oz.

Найдем векторы r1, r2, r3:

,

,

.

Непосредственно легко убедится, что базис {r1, r2, r3} является ортогональным.


Вычислим коэффициенты Ламе для цилиндрических координат

(9.23)

В таком случае основные дифференциальные операции векторного анализа будут иметь вид:

, (9.24)

, (9.25)

, (9.26)

, (9.27)
Пример 9.1. Перейти к цилиндрической системе координат для векторного поля



и найти diva и rota.

Решение. Так как в данном случае xi+yj=r1, то

,

т.е.



Тогда

,

.

9.4. Сферическая система координат






Рис. 9.3
Эта система координат вводится при помощи соотношений

x = sin cos, y = sinsin, z = cos,

т.е. q1 = , q2 = , q3 = .


Очевидно, что координатные линии  (или q1 линии) представляют собой лучи, выходящие из начала координат (см. рис. 9.3). Координатные линии  (q2 линии) – полуокружности, центры которых находятся в начале координат и плоскости которых проходят через ось Oz. Координатные линии  (q3 линии) – окружности с центрами на оси Oz, плоскости которых параллельны плоскости xOy.

Найдем векторы r1, r2, r3:

,

,

.

Непосредственно легко убедится, что базис {r1, r2, r3} является ортогональным.

Вычислим коэффициенты Ламе для цилиндрических координат

(9.28)

В таком случае основные дифференциальные операции векторного анализа будут иметь вид:

, (9.29)

, (9.30)

, (9.31)

. (9.32)

9.5. Центральные, осевые и осесимметричные
скалярные поля


Скалярное поле называется центральным, если функция поля u=u(M) зависит только от расстояния точки поля M до некоторой постоянной точки – его центра. Если начало координат поместить в центр поля, то функция u примет вид


. (9.33)

При исследовании таких полей целесообразно пользоваться сферической системой координат. Поверхностями уровня такого поля будут сферы с центром с в центре поля, и поэтому такие поля часто называют сферическими.

Скалярное поле называется осевым, если функция поля u=u(M) зависит только от расстояния точки поля M до некоторой оси. Если принять эту ось за ось Oz, то функция u примет вид

. (9.34)

При исследовании таких полей целесообразно пользоваться цилиндрической системой координат. Поверхностями уровня такого поля будут круговые цилиндры, оси которых совпадают с осью поля, и поэтому такие поля часто называют цилиндрическими.

Скалярное поле называется осесимметричным, если функция поля u=u(M) принимает одни и те же значения в соответствующих точках всех полуплоскостей, проходящих через одну и ту же прямую (ось поля). Если ось поля принять за ось Oz, то при исследовании таких полей целесообразно пользоваться либо сферическими, либо цилиндрическими координатами. Функцию u в сферической системе координат можно представить в виде

,

в цилиндрической системе координат – в виде

.

Замечание. Градиенты центральных, осевых и осесимметричных полей образуют векторные поля того же порядка – центральные, осевые и осесимметричные поля.

Например, градиент и лапласиан центрального поля (9.33) будут иметь вид

, ;


осевого поля (9.34) – вид

, ;

осесимметричного поля в сферической системе координат:

, ;

в цилиндрической системе координат:

, .