birmaga.ru
добавить свой файл

1

Дистанционная математическая школа

Код курса: М 3



7-8 классы

Модуль 1: Основы теории множеств
«На бюре, выложенном перламутною мозаикой, которая местами уже выпала и оставила после себя желтенькие желобки, наполненные клеем, лежало множество всякой всячины: куча исписанных мелко бумажек, накрытых мраморным позеленевшим прессом с яичком наверху, какая-то старинная книга в кожаном переплете с красным обрезом…»

Н.В. Гоголь. Мертвые души

Группа учеников, березовая роща, созвездие, пара ботинок, стая птиц, школьная команда, букет цветов, стопка книг – на первый взгляд, в этих выражениях нет ничего общего. Но во всех выражениях говорится о совокупности каких-то объектов. С математической точки зрения вместо разных слов можно использовать одно - «множество»: множество учеников, множество берез, множество звезд, множество ботинок, множество птиц, множество спортсменов, множество цветов, множество книг. Часто мы так говорим и в разговорной речи.
Задание 1. Составьте предложение с синонимом слова «множество».

Учителю. Предложите учащимся конкурс: они по очереди проговаривают предложения, причем синоним слова множества должен быть таким, который еще никто не называл. Побеждает тот, кто последним придумал предложение с неповторяющимся синонимом.
Множество – одно из наиболее фундаментальных понятий современной математики. Оно используется практически во всех ее разделах. Оно является неопределяемым, исходным понятием математики, таким, как точка или прямая. Основы современной теории множеств заложил выдающийся немецкий математик Георг Кантор (1845-1918 гг.):

«Под многообразием, или множеством, я понимаю вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, т.е. всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона. . .»

Будем считать множеством совокупность каких-либо объектов, рассматриваемую как единое целое. Объекты, входящие в множество, называются его элементами. Часто множества обозначаются прописными буквами латинского или русского алфавита, а их элементы – строчными. Для записи множеств используют фигурные скобки.

Способы задания множеств. Множество может быть задано разными способами. Рассмотрим некоторые из них.

 


  1. Перечисление всех элементов множества по их названиям.

Например, множество цифр в арабской системе счисления Ц = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

Множество месяцев М = {январь, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь}.

Учителю. Обратите внимание учащихся на следующее: порядок следования элементов, заключенных в скобки, является несущественным. Кроме того, не допускаются повторения одного и того же элемента.


  1. Задание общей характеристики ( общих свойств ) элементов данного множества.

Например, А - множество автобусов в городе, С - множество синих воздушных шаров.


  1. Указанием формального закона построения элементов множества.

Например, множество чисел кратных трем: К = {3n, где n – натуральные числа}; множество рациональных чисел: Q = {, где m – целые числа, n – натуральные числа}
Задание 2. Задайте множество А - дней недели, Б - четных чисел, В - двузначных натуральных чисел, Г - множество четырехугольников с попарно параллельными противоположными сторонами, Д - множество букв, из которых состоит слово «ИНФОРМАТИКА».

Ответ:

А = {понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресение}

Б = {2n, где n – целые числа}

В = {n, где n – натуральные числа и выполняется условие: 9 < n < 100}

Г = {параллелограмм, квадрат, прямоугольник, ромб}

Д = { И, Н, Ф, О, Р, М, А, Т, К}

Учителю. Возможны разные варианты задания одного и того же множества. Например, множество В можно задать и так:

В – натуральные двузначные числа;


В = {10, 11, 12, 13, 14, …, 98, 99};

В = {n, где n – целые числа и выполняется условие: 10 ≤ n ≤ 99}.
 Если объект входит в данное множество, то есть, является его элементом, то говорят, что он принадлежит множеству, и записывают этот факт следующим образом: a  A.

Если объект не входит в данное множество (не является его элементом), то говорят, что объект не принадлежит множеству, и записывают так: m  A.
Задание 3. Для каждого множества из задания 2 записать три элемента, принадлежащих множеству и три объекта, не принадлежащих ему.

Ответ: Например,

Среда  А, январь  A;

16  Б, 101  Б;

43  В, 1001  В;

Ромб  Г, трапеция  Г;

О  Д, Б  Д.
Для некоторых числовых множеств вводятся стандартные обозначения:

N – множество натуральных чисел;

Zмножество целых чисел;

Q
множество рациональных чисел;

Rмножество действительных чисел.
Задание 4.


  1. Запишите несколько чисел, которые являются элементами одновременно трех множеств N, Z, Q.

  2. Запишите несколько элементов множества Z, которые не являются элементами множества N.

  3. Запишите несколько чисел, которые являются элементами множества N, но не являются элементами множества Z.

  4. Запишите несколько чисел множества Q, которые не являются элементами множеств N и Z.


Ответ: Например,

  1. 45 N, 45 Z, 45 Q.

2. -7 Z, -7  N.

3. Таких элементов нет, все натуральные числа являются и целыми числами.

4. Q, N, Z.


Материалы разработаны методистами Новосибирского центра продуктивного обучения