birmaga.ru
добавить свой файл

1

Вопросы по Сжатию и восстановлению информации


1. Размерность Лебега-Брауэра.

 – открытый конечный набор множеств, - покрытия, диаметр . Кратность покрытия точки – количество , содержащих точку. Кратность покрытия – максимум покрытия по точкам. Размерность  и кратность покрытия d+1.

2. Размерность Хаусдорфа.

.  - минимальное число покрывающих множеств. Размерность - .

3. Примеры фрактальных множеств (множество Кантора, кривая Коха).

Множество Кантора:, берем отрезок [0, 1], делим на 3 части и выкидываем середину и так повторяем для полученных новых отрезков [0, ] , [, 1].

Кривая Коха: делим [0, 1] на 3 части и центральную часть превращаем в горку, ее Хаусдофрова размерность , т.к. она состоит из 4 частей с коэффициентом подобия .

4. Теорема Банаха о неподвижной точке.

Пространство полное, если любая фундаментальная последовательность в нем сходится.  - полное метрическое пространство,  - элементы,  – метрика.  - Липшец, сжимающее, если .  - сходится: . фундаментальна: . Теорема:  - полное метрическое пространство,  - сжимающее отображение, то 1) сущ.ед. неподвижная точка , 2) , 3) . Д-о: , , значит последовательность фундаментальна, т.е. сходится, значит , пусть ,  - предел,  - предел, значит ; пусть сущ.  - противоречие. Следствие: .

5. Фрактальный метод сжатия информации о сложных объектах.

6. Фрактальный метод сжатия информации о множествах.

Если у сжимающего  точка  неподвижна, то . Пусть есть , ищем . Есть , подберем , что . Т.к. , то .  - метрика для компактных множеств. Неравенство Банаха:  - коэффициент сжатия. Хатчинсон (прием построения сжимающего отображения): норма оператора, , оператор сжимающий, если ;  - линейный оператор =>  чисел нужно для задания; зададим ; д-о: ; сжимаем ; строим поправку , сближаем  и , , где .  - канторово совершенное множество. Пример: .


7. Фрактальный метод сжатия информации о функции.

f(x) – функция яркости, . Пространство функций – линейное пространство. C(Q)={f – непрерывны на Q}: ; Lp(Q): . Нужно  - регионы,  - домены, строим  - сжимающее =>  - искажение => . 1) , 

 => ;

2) ,  => . .  должно выбираться так, чтобы отображались схожие участки. Похожесть определяется размерностью Хаусдорфа.  Т.е. получаем перебор по  среди тех, у кого близки  и 

Художник, рисующий ответы © 2009