birmaga.ru
добавить свой файл

1
Лекция 4.


Последовательность испытаний Бернулли.

Наиболее вероятное число успехов.
1. Последовательность испытаний Бернулли.
Пусть выполняется некоторый эксперимент (испытание) . В результате этого эксперимента происходит событие с вероятностью . Если событие произошло, то говорят, что результатом испытания был “успех” , а в противном случае, говорят, что в результате испытания имела место “неудача”. Вероятность “неудачи” обозначают . Ясно, что . Казалось бы, это бедная модель, но на самом деле, она обслуживает большое число ситуаций. Например, успел – не успел, выбрали – не выбрали, сдал экзамен – не сдал экзамен и т.п.

Если имеются такие условия, что испытание может повторяться неограниченное число раз с неизменной вероятностью “успеха” , причём, исход следующего испытания не зависит от исходов предыдущих испытаний, то говорят, что рассматривается последовательность испытаний Бернулли. Иногда, подчёркивая независимость последовательных испытаний, говорят – последовательность независимых испытаний Бернулли.

Замечание. В добавлении к этой лекции последовательность независимых испытаний вводится формально, с использованием понятия прямого произведения пространств исходов, но при первом чтении рекомендуется читать дальше.

2. Вероятность успехов”.

Найдём вероятность успехов” в последовательности испытаний Бернулли. Для нахождения этой вероятности рассматривается пространство исходов , состоящее из всевозможных последовательностей испытаний Бернулли. Пусть, например, рассматриваются последовательности из -х испытаний Бернулли. Тогда пространство исходов будет следующим

,

здесь .

Упражнение. Докажите, что .

Теперь требуется согласиться с тем, что если при -м испытании в последовательности испытаний Бернулли имел место “успех”, то вероятность этого события равна , то есть такая же, как будто и не было других испытаний. Действительно, так как результат всех испытаний, кроме - го не имеет значения, то, с учётом независимости - го испытания от остальных можно считать, что их и не было.


Обозначим событие, которое заключается в том, что при -м испытании в последовательности испытаний Бернулли имел место “успех”, а - событие, которое заключается в том, что при -м испытании в последовательности испытаний Бернулли имела место “неудача”. Например

.

Конкретную последовательность, состоящую из “успехов” и “неудач” можно представить в виде произведения событий и . Например,

.

По формуле вероятности произведения независимых событий

.

Обобщая, получаем, что если в испытаниях имело место успехов, то вероятность такого исхода равна . В пространстве исходов состоящих из успехов имеется . Действительно, именно таким количеством способов можно разместить символов “у” по местам (комбинаторика – сочетания).


Итак, вероятность исхода, имеющего успехов, равна . Таких исходов . Значит, по формуле вероятности суммы, вероятность события, которое заключается в том, что в последовательности испытаний было успехов”, равна . Обозначим - вероятность успехов в испытаниях Бернулли с вероятностью успеха . Тогда



Пример. Некоторый гражданин выходит из дома за час до начала работы. При этом, вероятность того, что он опоздает на работу равна 0.1. Какова вероятность того, что гражданин в течение недели он опоздает на работу два раза.

Решение. В неделе, считаем, дней. Причем, опоздание в текущий день не зависит от опозданий в другие дни. Вероятность опоздания не меняется в зависимости от дня недели. Значит, в этой задаче мы имеем дело с последовательностью испытаний Бернулли. Успех, при такой формулировке задачи, – это опоздание. Вероятность двух успехов в испытаниях Бернулли с вероятностью успеха 0,1 вычисляется по формуле (1)



3. Наиболее вероятное число успехов.
Проанализируем формулу (1) вероятности успехов в последовательности испытаний Бернулли. Для этого рассмотрим отношение . Имеем,


.

Сравним эту дробь с единицей. Найдём, при каких справедливо


Выполняя тождественные преобразования, получаем
,
,
,
.

Получили, что при верно неравенство . Отдельно рассмотрим случай, когда целое число и . В этом случае , , . Обозначим единственное целое число интервала . Полученные результаты сформулируем в виде теоремы.


Теорема. При возрастании от до числа вначале монотонно возрастают, а затем монотонно убывают. Максимальное значение числа достигается при . Если , то наибольшее значение достигается дважды, при и при .
Приведём иллюстрацию обоих случаев



Здесь при имеем , при имеем .


Здесь при имеем , при имеем , при имеем .


Пример. Некоторый гражданин выходит из дома за час до начала работы. Вероятность того, что он опоздает на работу равна 0.1. Какое наиболее вероятное число раз он опоздает на работу в течение пятидневной рабочей недели.

Решение. Здесь “успех” – это опоздание на работу. Вероятность “успеха” . Число испытаний Бернулли - число рабочих дней. Тогда наиболее вероятное число опозданий – это целое число интервала

.

Очевидно, . То есть, наиболее вероятно, что в течение недели гражданин ни разу не опоздает на работу.

Добавления.

1. Прямое произведение пространств исходов.

Прямым произведением пространств исходов и называется пространство исходов обозначаемое , состоящее из упорядоченных пар исходов , где , .

читают так – омега один крест омега два.
Примеры прямых произведений.

А) Пусть - все цифры кроме 0. - все цифры.


Тогда - все двузначные числа.

Б) В урне белые и чёрные шары. Причём и белых и чёрных шаров больше двух. Извлекают один шар. Возможные исходы образуют пространство . Затем извлекают второй шар. Возможные исходы образуют пространство . Тогда, всевозможные исходы двух последовательных извлечений. Очевидно,

, ,



В) Подбрасывают монету. . Ещё раз подбрасывают монету. . всевозможные исходы двух последовательных подбрасываний монеты.

Г) - время ожидания приёма врача, который обязательно примет в течение часа. Очевидно, - это всевозможные точки интервала . - время ожидания процедуры, при условии, что процедурный кабинет будет работать ещё два часа. Значит - это всевозможные точки интервала . Тогда, - это всевозможные точки квадрата со сторонами и



Понятие прямого произведения пространств исходов можно распространить на любое их число. То есть, можно получать . Обозначим исходы пространства . Обозначим вероятность исхода .

Последовательность испытаний (исходов) называется последовательностью независимых испытаний, если

.

Последовательность испытаний Бернулли получается следующим образом. Имеем, . Далее, считаем последовательностью независимых испытаний, где , . По определению получаем, что если в испытаниях имело место успехов, то вероятность такого исхода равна .

Заметим, что формальное ведение последовательности независимых испытаний приводит к моделям, в которых допускается, что вероятность события меняется от эксперимента к эксперименту. Например, каждый их 20 сотрудников имеет некоторую вероятность заболеть гриппом на следующий день. Какова вероятность того, что завтра на работу не выйдут 3 сотрудника.