birmaga.ru
добавить свой файл

1
Задача № 27.

Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, имеющей ширину . В каких точках интервала плотность вероятности обнаружения частицы одинакова для основного и второго возбуждённого состояний?
Решение:
Потенциальная яма имеет вид, представленный на рисунке 1:


Рисунок 1

Составим уравнение Шредингера для области :
(1)
или в виде:
(2)
где . Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:
(3)
Используя условие непрерывности на краях ямы (в точках и ), получим:
(4)
С учётом выражений (4) волновая функция (3) примет вид:
(5)
Постоянную в выражении (5) найдём, используя условие нормировки:

(6)

В этом случае волновые функции собственных состояний частицы в потенциальной яме имеют вид:
(7)
Физический смысл пси-функции заключается в том, что её квадрат модуля определяет плотность вероятности местонахождения частицы. Поэтому плотность вероятности обнаружения частицы, находящейся в собственном состоянии, равняется:
(8)
Для основного состояния () имеем:
(9)
Для второго возбуждённого состояния () имеем:
(10)
Найдём точки интервала , в которых выполняется . Для этого составим уравнение:
(11)

Учитывая тригонометрическое соотношение , получим:

Воспользуемся тригонометрическим соотношением и получим:



Отсюда получим, что или . Отсюда получим:
или , где и - целые числа. Поэтому , . Интервалу принадлежат решения и . Поэтому в точках плотности вероятностей для основного и второго возбуждённого состояний одинаковы. Графики функций (9) и (10) приведены на рисунке 2:


Рисунок 2

Ответ: В точках плотности вероятностей обнаружения частицы одинаковы для основного и второго возбуждённого состояний.