birmaga.ru
добавить свой файл

1

Теоретические вопросы к первой контрольной по математическому анализу

Теоретические вопросы к первой контрольной по математическому анализу 1

Вопрос №1 3

Вопрос №2 3

Вопрос №3 3

Вопрос №4 4

Вопрос №5 6

Вопрос №6 7

Вопрос №7 7

Вопрос №8 8

Вопрос №9 8

Вопрос №10 8

Вопрос №11 9

Вопрос №12 9

Вопрос №13 9

Вопрос №14 10

Вопрос №15 11

Вопрос №16 13

Вопрос №17 13

Вопрос №18 13

Вопрос №19 14

Вопрос №20 14

Вопрос №21 14

Вопрос №22 14

Вопрос №23 15

Вопрос №24 15

Вопрос №25 16

Вопрос №26 17

Вопрос №27 17

Вопрос №28 17

Вопрос №29 18

Вопрос №30 18

Вопрос №31 18

Вопрос №32 19

Вопрос №33 19

Вопрос № 34 19

Вопрос №35 19

Вопрос №36 22

Вопрос №37 22

Вопрос №38 22

Вопрос №39 23

Вопрос №40 23

Вопрос №41 24



Вопрос №1


Однофакторная производственная функция (ОПФ)это функция, независимая переменная которой принимает значения используемого ресурса (фактора производства), а зависимая переменная – значения объёмов выпускаемой продукции.

Область определения ОПФ – множество неотрицательных действительных чисел.

Двухфакторная производственная функция (ДПФ)это функция, две независимых переменных которой принимают значения объёмов затрачиваемых или используемых ресурсов(например – труд и капитал), а значение функции имеет смысл величины объёма выпуска:

y=f(x)=f(x1,x2)

y – скалярная величина, x – векторная

х1,x2 – координаты вектора х

Область определения ДПФ – множество двумерных векторов х, все координаты х12 которых неотрицательные числа


Изокванта – это линия уровня ПФ, то есть множество точек, на котором ПФ принимает постоянное значение

Вопрос №2


Функция издержекэто функция, которая описывает связь между выпуском продукции и минимально возможными затратами, необходимыми для его обеспечения.

Изокоста – это линия уровня издержек, то есть множество точек, на котором функция издержек принимает постоянное значение

Вопрос №3


X = F(L,K) – производственная функция

Y = Z(L,K) – функция издержек

PR – прибыль, P* – цена единицы продукции, PL – цена единицы труда, PK – цена единицы капитала

PR = X∙P* – PL∙L – PK∙K = Р*∙F(L,K) – Z(L,K)


Вопрос №4





Вопрос №5





Вопрос №6





Вопрос №7

Множество – одно из ключевых понятий математики. Понятие множества является аксиоматическим, поэтому не имеет определения. Однако множество можно описать:


Под множеством мы понимаем соединение в некоторое целое М определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые мы будем называть элементами множества М)

Например – множество натуральных чисел или множество студентов МГУ

Множества обозначают большими буквами латинского алфавита, его элементы – маленькими.

Вопрос №8


Множество А является подмножеством множества В, если любой элемент А также принадлежит В



Любое множество является своим подмножеством. Пустое множество является подмножеством любого множества.

Если , тогда А является собственным или нетривиальным подмножеством В

Говорят, что между множествами А и В установлено взаимно-однозначное соответствие, если каждому элементу из А ставится в соответствие единственный элемент из В, причём разным элементам из А ставятся в соответствие разные элементы из В.

Множества А и В эквивалентны, если между ними можно установить взаимооднозначное соответствие.

Вопрос №9


Множества бывают конечными и бесконечными. Множество студентов МГУ – конечное, множество натуральных чисел – бесконечное.

Множество называется счётным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел. Множество называется несчётным, если оно не эквивалентно множеству натуральных чисел.

Континуум – класс множеств, равномощных множеству вещественных чисел. Множества, эквивалентные по числу элементов отрезку [0;1] называется множеством мощности континуума.

Вопрос №10


Мы можем упорядочить целые числа следующим образом:

0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 5 -5 6 -6 ….

Видим, что множество целых чисел эквивалентно множеству натуральных чисел, что требовалось доказать.

Вопрос №11


Мы можем упорядочить рациональные числа следующим образом:



По вышеизображённой схеме мы можем упорядочить все элементы множества рациональных чисел. В таком случае прослеживается эквивалентность с множеством натуральных чисел, что и требовалось доказать.

Вопрос №12


Множество С называют объединением или суммой множеств А и В (С = ) если оно состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В.

Свойства объединения:



Обозначение:

Геометрическая интерпретация:

Вопрос №13


Множество С называется пересечением или произведением множеств А и В () если оно состоит из элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В.

Свойства пересечения:


Обозначение:


Графическая интерпретация:

Вопрос №14


Множество С называется разностью множеств А и В (С=А\В), если оно состоит из элементов, принадлежащих А, но не принадлежащих В.

Свойства разности:



Законы де Моргана:



Обозначение: С={}

Геометрическая интерпретация:

Вопрос №15


Множество вещественных чисел — суть, непрерывное упорядоченное поле. Это объединение рациональных и иррациональных чисел. Обозначение Е1.

Аксиома непрерывности: Пусть множество Е1 разбито на 2 непустых класса А и В таких, что каждое действительное число содержится только в одном классе и для каждой пары чисел и выполнено неравенство a < b. Тогда существует единственное число с, такое что для любых а и b выполняется неравенство: а ≤ c ≤ b. Оно отделяет числа класса А от чисел класса В. Число с является либо наибольшим числом в классе А (тогда в классе В нет наименьшего числа), либо наименьшим числом класса В (тогда в классе А нет наибольшего).

Пусть . Тогда если , то х* - мажоранта М. М* - множество всех мажорант множества М.


Пусть . Тогда если , то хº - миноранта М. Мº - множество всех минорант множества М.

Множество М ⊂ Е1 ограничено сверху, если ∃х*:∀х ∈ М ⇒ х ≤ х* (например – множество отрицательных чисел)

Множество М ⊂ Е1 называется неограниченным сверху, если оно не является ограниченным сверху. Или же если ∀х₁ ∈ Е1 ∃х₂ ∈ М, х₂ = х₂(х₁) : х₂(х₁) > х₁ (например множество натуральных чисел)

Множество М ⊂ Е1 ограничено снизу, если ∃хº:∀х ∈ М ⇒ х ≥ хº (например – множество неотрицательных рациональных чисел)

Множество М ⊂ Е1 называется неограниченным снизу, если оно не является ограниченным снизу. Или же если ∀х₁ ∈ Е ∃х₂ ∈ М, х₂ = х₂(х₁) : х₂(х₁) < х₁ (например – множество отрицательных рациональных чисел)

Множество называется ограниченным, если оно ограничено и сверху, и снизу. (например – множество натуральных чисел, больших 1 и меньших 10)

Число называется максимумом или максимальным элементом множества , если и . Обозначение:

Число называется минимумом или минимальным элементом множества , если и . Обозначение:


Теорема: если , то число  является единственным.

Доказательство: Предположим, что существует число а = max M. Тогда по определению:

, но отсюда следует, что для . Однако отсюда получаем, что b не является максимумом М. Противоречие. Такого числа а не существует. Число b = max M – единственное, что и требовалось доказать.

Теорема: если , то число  является единственным.

Доказательство: Предположим, что существует число а = min M. Тогда по определению:

, но отсюда следует, что для . Однако отсюда получаем, что b не является минимумом М. Противоречие. Такого числа а не существует. Число b = min M – единственное, что и требовалось доказать.

Вопрос №16


Теорема: Пусть M ≠ ∅, M* ≠ ∅, то у множества M* существует минимальный элемент.

Доказательство: Пусть M* - множество мажорант М. Тогда min M* = sup M, это точная верхняя грань множества М. Так как единственность минимума множества М* следует из теоремы о единственном минимуме множества, то осталось установить существование sup M. По свойству непрерывности можем записать:


Как мажоранта M, число является элементом М*, но как миноранта M*, число является минимальным элементом множества M* → = sup X = min Y и существует, что и требовалось доказать.

Вопрос №17


Теорема: Пусть M ≠ ∅, M° ≠ ∅, то у множества M° существует максимальный элемент.

Доказательство: Пусть M° - множество минорант М. Тогда max M° = inf M, это точная нижняя грань множества М. Так как единственность максимума множества М° следует из теоремы о единственном максимуме множества, то осталось установить существование inf M. По свойству непрерывности можем записать:



Как миноранта M, число является элементом М°, но как мажоранта M°, число является максимальным элементом множества M°→ = inf X = max Y и существует, что и требовалось доказать.

Вопрос №18


Вещественное число β является супремумом М (sup M = min M* = β ) тогда и только тогда, когда:



Необходимость: Пусть β – супремум М. Тогда выполняются условия 1) и 2).

Необходимость необходимости: Для того, чтобы β являлось супремумом М необходимо, чтобы выполнялись условия 1) и 2).

Достаточность необходимости: Для того, чтобы выполнялись условия 1) и 2) достаточно, чтобы β являлось супремумом М.

Вопрос №19


Вещественное число β является супремумом М (sup M = min M* = β ) тогда и только тогда, когда:





Достаточность: Пусть выполняются условия 1) и 2). Тогда β – супремум М.

Необходимость достаточности: Для того, чтобы выполнялись условия 1) и 2) необходимо, чтобы β являлось супремумом М.

Достаточность достаточности: Для того, чтобы β являлось супремумом М достаточно, чтобы выполнялись условия 1) и 2).

Вопрос №20


Вещественное число β является инфимумом М (inf M = max M° = β ) тогда и только тогда, когда:





Необходимость: Пусть β – инфимум. Тогда выполняются условия 1) и 2).

Необходимость необходимости: Для того, чтобы β являлось инфимумом М необходимо, чтобы выполнялись условия 1) и 2).

Достаточность необходимости: Для того, чтобы выполнялись условия 1) и 2) достаточно, чтобы β являлось инфимумом М.

Вопрос №21


Вещественное число β является инфимумом М (inf M = max M° = β ) тогда и только тогда, когда:



Достаточность: Пусть выполняются условия 1) и 2). Тогда β – инфимум М.

Необходимость достаточности: Для того, чтобы выполнялись условия 1) и 2) необходимо, чтобы β являлось инфимумом М.

Достаточность достаточности: Для того, чтобы β являлось инфимумом М достаточно, чтобы выполнялись условия 1) и 2).

Вопрос №22


ε-окрестностьэто такое множество, каждая точка которого удалена от данной точки х0 менее, чем на ε.

Пусть , тогда ε-окрестность это множество .

Точка х0 называется внутренней точкой М () если

Внутренность множества М – это множество всех внутренних точек М.

Множество называется открытым, если (то есть любая точка множества является внутренней).

Для двумерного многообразия:

Пусть ε-окрестность – это такое множество

Точка называется внутренней точкой М () если

Вопрос №23


ε-окрестностьэто такое множество, каждая точка которого удалена от данной точки х0 менее, чем на ε.

Пусть , тогда ε-окрестность это множество .

Точка х* называется граничной точкой М () если:

Граница множества М – это множество всех граничных точек М.

Замкнутое множество – это множество, которому принадлежит его граница.

Для двумерного многообразия:

Пусть ε-окрестность – это такое множество

Точка называется граничной точкой М () если:

Вопрос №24


ε-окрестностьэто такое множество, каждая точка которого удалена от данной точки х0 менее, чем на ε.

Пусть , тогда ε-окрестность это множество .

Точка является предельной точкой М, если выполняется или 1), или 2).


1) в содержится бесконечное число точек из М

2) в содержится хотя бы одна точка из М.

Производное множество М’ – это множество всех предельных точек М.

Замкнутое множество – это множество, которому принадлежит его производное множество.

Для двумерного многообразия:

Пусть ε-окрестность – это такое множество

Точка является предельной точкой М, если выполняется или 1) или 2).

1) в содержится бесконечное число точек из М

2) в содержится хотя бы одна точка из М.

Теорема о предельной точке: два определения предельной точки эквивалентны.

Вопрос №25


Докажем эквивалентность двух определений замкнутого множества.

  1. Если , то F – замкнутое.
  2. Если , то F – замкнутое.


Теорема: Для того, чтобы множество F () было замкнутым (т.е. ), необходимо и достаточно, чтобы .

Теорема 1 (необходимость): Если М замкнутое (то есть ), то

Доказательство:

А) Если F = E1, то F’ = F →

Б) Если F’ = ∅ и F ≠ ∅, то

В) Если F’ ≠ ∅ и F ≠ ∅, то каждая предельная точка является или граничной, или внутренней. Если предельная точка является граничной, то она принадлежит F в силу . Если предельная точка внутренняя, то она обязательно принадлежит F. → , что требовалось доказать.

Теорема 2 (достаточность): Если , то F – замкнутое (то есть )

Доказательство:

А) Если F* = ∅, то

Б) Если F* ≠ ∅, то каждая граничная точка является или предельной, или изолированной. Если граничная точка предельная, то она принадлежит F в силу . Если граничная точка изолированная, то она обязательно принадлежит F. → , что требовалось доказать.

Вопрос №26


Точка х’ является предельной точкой М, если в содержится хотя бы одна точка из М.

Для n-мерного многообразия:

Точка х’(х1’,x2’,…,xn’) является предельной точкой М, если в содержится хотя бы одна точка из М.

Вопрос №27


Точка является предельной точкой М, если выполняется или 1), или 2).

1) в содержится бесконечное число точек из М

2) в содержится хотя бы одна точка из М.

Теорема: из 1) следует 2)

Доказательство: если в ε-окрестности точки х’ содержится бесконечное количество точек множества М, то в проколотой ε-окрестности точки х’ содержится на одну точку меньше, то есть бесконечное количество, а значит – и хотя бы одна, что и требовалось доказать.

Вопрос №28


Точка является предельной точкой М, если выполняется или 1), или 2).

1) в содержится бесконечное число точек из М


2) в содержится хотя бы одна точка из М.

Теорема: из 2) следует 1)

Доказательство: Предположим, что если утверждение 2) верно, то утверждение 1) - неверно, то есть в ε-окрестности х содержится конечное число точек.

Пусть . Тогда учитывая конечность выбранного множества мы можем определить . Рассмотрим проколотую ω -окрестность х. Но тогда:

Uω(х) ∩ М = х, откуда следует, что

Но это противоречит условию 2). Наше предположение неверно, утверждение 1) верно, что и требовалось доказать.

Вопрос №29


Теорема: Пусть Е1\G = M, тогда М = F.

Доказательство:


Вопрос №30


Теорема: Пусть Е1\F = М, тогда М = G

Доказательство:


Вопрос №31


Если 0 ≤ λ ≤ 1, то

выпуклая комбинация векторов и .


Отрезок - это множество всех выпуклых комбинаций векторов и .

Множество называется выпуклым, если отрезок, соединяющий 2 любые его точки полностью принадлежит данному множеству.

Вопрос №32


Шаром с центром в точке и радиусом r > 0 называется множество

Открытым шаром с центром в точке и радиусом r > 0 называется множество

Шар с центром в точке и радиусом r > 0 также называют окрестностью точки

Сферой с центром в точке и радиусом r > 0 называется множество

Вопрос №33


Открытый шар является открытым множеством, если для любой его точки верно, что

Пусть ε = r. Тогда перепишем:


А это и есть определение шара. Значит шар – открытое множество, что и требовалось доказать.

Вопрос № 34


Теорема: Двумерный шар с центром в точке и радиусом r > 0 является выпуклым множеством

Доказательство: Заданное множество мы можем изобразить геометрически в виде окружности с хордой:

АВ – отрезок прямой, хорда. По определению хорды АВ лежит в данном круге. Поэтому двумерный шар – выпуклое множество, что и требовалось доказать.

Вопрос №35


Числовая последовательность – это функция, определённая на множестве натуральных чисел и принимающая числовые значения. То есть это функция, аргументом которой является натуральное число. Поэтому числовую последовательность можно определить как функцию натурального аргумента (ФНА)

Пусть дана функция f(n) = n+1



График ФНА – это точки, но не линия.

Рассмотрим вариации графиков ФНА:

Первый тип – стремится к какому-либо числу:

Второй тип – бесконечно возрастает, или бесконечно убывает, или бесконечно возрастает и убывает:



Третий тип – колеблется, ни к чему не приближаясь:

Вопрос №36

<В процессе модерации>

Вопрос №37


<В процессе модерации>

Вопрос №38




Если b = 0, то f(x) – бесконечно малая ФНА

αn – является бесконечно малой ФНА по определению:



Теорема: бесконечно малая ФНА ограничена.

Доказательство:

αn – бесконечно малая ФНА, тогда по определению:



Рассмотрим множество K = {1, 2,…,N}. Оно конечное, поэтому max K определён. Тогда можем записать, что | αn| < [(max K) + 1)] = C. А это и есть определение ограниченной ФНА. αn – ограниченная ФНА, что и требовалось доказать.

Теорема: Для того, чтобы , необходимо и достаточно, чтобы f(n) – b = βn, где βn – бесконечно малая ФНА.

Необходимость: Пусть . Тогда f(n) – b = βn, где βn – бесконечно малая ФНА.

Необходимость необходимости: Для того, чтобы необходимо, чтобы f(n) – b = βn, где βn – бесконечно малая ФНА.

Достаточность необходимости: Для того, чтобы f(n) – b = βn, где βn – бесконечно малая ФНА, достаточно чтобы


Доказательство (необходимость): , тогда по определению:



Значит по определению βn – бесконечно малая ФНА, что и требовалось доказать.

Вопрос №39


Теорема: Для того, чтобы , необходимо и достаточно, чтобы f(n) – b = βn, где βn – бесконечно малая ФНА.

Достаточность: Пусть f(n) – b = βn, где βn – бесконечно малая ФНА. Тогда

Необходимость достаточности: Для того, чтобы f(n) – b = βn, где βn – бесконечно малая ФНА, необходимо чтобы

Достаточность достаточности: Для того, чтобы достаточно, чтобы f(n) – b = βn, где βn – бесконечно малая ФНА.

Доказательство (достаточность): βn – бесконечно малая ФНА, тогда по определению:



Значит по определению , что и требовалось доказать.

Вопрос №40


Функция f(n) – бесконечно большая ФНА по определению:



Функция f(n) – не бесконечно большая ФНА, когда:


Теорема: Пусть αn – бесконечно малая ФНА. Тогда Аn = (1/ αn) – бесконечно большая ФНА

Доказательство: αn – бесконечно малая ФНА, следовательно:

А это есть определение бесконечно большой ФНА. Аn – бесконечно большая ФНА, что требовалось доказать.

Вопрос №41


Теорема: Пусть Аn – бесконечно большая ФНА. Тогда αn = (1/ Аn) – бесконечно малая ФНА

Доказательство: Аn – бесконечно большая ФНА, следовательно:

А это есть определение бесконечно малой ФНА. αn – бесконечно малая ФНА, что требовалось доказать.