birmaga.ru
добавить свой файл

1
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МОДЕЛЕЙ


проф. В.А. Любецкий

1 год

1 семестр.

Тема 1. Примеры структур.


  • 1.Определение структуры, в частности группы, кольца, поля. Определение подструктуры, в частности подгруппы, подкольца, подполя, и соответственно надструктуры, в частности расширений группы, кольца, поля. Произведения и фактор-структуры.

  • 2. Основные примеры структур, связанных с числовыми системами, кватернионами, вычетами, многочленами (рациональными дробями), матрицами, функциями, дифференцированиями, рядами. Векторное умножение и скобка Пуассона как особый вид структур. Поля алгебраических чисел. Определение и примеры гомоморфизмов.

  • 3. Свободные модуль, группа. Тензорное произведение.

  • 4. Поле р-адических чисел и кольцо целых р-адических чисел.

  • 5. Алгебры Кэли и некоммутативных многочленов. Группы автоморфизмов модуля, вращений и движений пространства, классов идеалов кольца, симметрий, правильного многогранника, орнамента.

  • 6. Кольцо главных идеалов, диффернциальных операторов с постоянными коэффициентами, целых чисел поля алгебраических чисел.

Тема 2. Первые определения. Описание некоторых задач. (23 часа)

  • 1. Язык и семантика.

  • 2. Теория, выводимость, подтеории.

  • 3. Структура, подструктура, классы структур.

  • 4. Изоморфизм и элементарная эквивалентность структур.

  • 5. Параметризация классов структур, типы изоморфизма и типы элементарной эквивалентности. Доля структур определенного типа (среди всех структур из данного класса).

Тема 3. Бесконечный форсинг А. Робинсона. (23 часа)

  • 1. Определение бесконечного форсинга. Определение и свойства генерических структур. Теория класса генерических структур и их существование. Определение и пример компаньон-операции.
  • 2. Свойства экзистенциальной замкнутости (структуры), совместного вложения (теории), модельной полноты (класса структур, теории) и существования модельного компаньона (у класса структур, у теории). Теорема Чэна-Лося-Сушко.


  • 3. Теорема Лёвенгейма-Сколема. Теорема Линдстрёма о модельной полноте. Примеры: линейные порядки, булевы алгебры.

  • 4. Связь генерических структур с модельным компаньоном; единственность модельного компаньона. Описание генерических булевых алгебр.

Тема 4. Конечный форсинг А. Робинсона и теорема об опускании типов А. Макинтаера. (23 часа)

  • 1. Определение и свойства конечного форсинга; определение и свойства генерических структур.

  • 2. Генерическая структура АЕ-теории является ее моделью. Взаимоотношение генерических и экзистенциально замкнутых структур.

  • 3. Теорема опускания типов.

  • 4. Для конечно-порожденной группы разрешимость проблемы тождества эквивалентна ее вложимости во все нетривиальные алгебраически замкнутые группы (теорема Б. Неймана-Макинтаера).

2 семестр.

Тема 5. Модельный компаньон и модельное пополнение. (17 часов)

  • 1. Класс полей имеет модельное пополнение.

  • 2. Элиминация кванторов у теории с модельным пополнением.

  • 3. Переход к центру в простой конечномерной алгебре.

  • 4. Класс групп не имеет модельного компаньона.

Тема 6. Элиминация кванторов для классов структур. (17 часов)

  • 1. Насыщенные структуры.

  • 2. Ультрапроизведения.

  • 3. Классы упорядоченных и формально вещественных полей имеют один и тот же модельный компаньон.

Тема 7. Переход к локализациям кольца. (17 часов)

  • 1. Случай первичных колец с полиномиальным тождеством.

  • 2. Случай алгебр Адзумаи.

Тема 8. Теорема Морли о категоричности. (17 часов)

  • 1. Индекс Морли.

  • 2. Случай дифференциальных полей.