birmaga.ru
добавить свой файл

1

Системы счисления

"Все есть число", — говорили пифагорийцы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в практической деятельности. Известно множество способов представления чисел. В любом случае число изображается символом или группой символов (словом) некоторого алфавита. Будем называть такие символы цифрами.

Для представления чисел используются непозиционные и позиционные системы счисления.

Непозиционные системы счисления


Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков: зарубок, черточек, точек.

Позже, для облегчения счета, эти значки стали группировать по три или по пять. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу.

        Единичная система — не самый удобный способ записи чисел. Записывать таким образом большие количества утомительно, да и сами записи при этом получаются очень длинными. С течением времени возникли иные, более удобные, системы счисления.

Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления. Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. использовались специальные значки — иероглифы.

        Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения. Система счисления Древнего Египта является десятичной, но непозиционной.

!

В непозиционных системах счисления значение каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа.

        Например, чтобы изобразить 3252 рисовали три цветка лотоса (три тысячи), два свернутых пальмовых листа (две сотни), пять дуг (пять десятков) и два шеста (две единицы). Величина числа не зависела от того, в каком порядке располагались составляющие его знаки: их можно было записывать сверху вниз, справа налево или вперемежку.


        Римская система счисления. Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить система счисления, которая применялась более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. В основе римской системы счисления лежали знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Сentum — сто, Demimille — половина тысячи, Мille — тысяча).

        Чтобы записать число, римляне разлагали его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятков, единиц. Например, десятичное число 28 представляется следующим образом:

XXVIII=10+10+5+1+1+1 (три десятка, пяток, три единицы).

        Для записи промежуточных чисел римляне использовали не только сложение, но и вычитание. При этом применялось следующее правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.

        Например, IX — обозначает 9, XI — обозначает 11.

        Десятичное число 99 имеет следующее представление:

XCIХ = -10+100-1+10.

        Римскими цифрами пользовались очень долго. Еще 200 лет назад в деловых бумагах числа должны были обозначаться римскими цифрами (считалось, что обычные арабские цифры легко подделать). Римская система счисления сегодня используется, в основном, для наименования знаменательных дат, томов, разделов и глав в книгах.

        Алфавитные системы счисления. Более совершенными непозиционными системами счисления были алфавитные системы. К числу таких систем счисления относились греческая, славянская, финикийская и другие. В них числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до 90) и целые количества сотен (от 100 до 900) обозначались буквами алфавита.

Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:


1. Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел.

2. Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.

3. Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует точных схем (алгоритмов) их выполнения.

 

Позиционные системы счисления


        Основные достоинства любой позиционной системы счисления — простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов (цифр), необходимых для записи любых чисел.

        Основанием позиционной системы счисления называется целое число, большее 1 и равное количеству цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

        Возможно множество позиционных систем, так как за основание системы счисления можно принять любое число не меньшее 2. Наименование системы счисления соответствует ее основанию (десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и т. д.). 

!

В позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа.

            В системе счисления с основанием n (n-ичная система счисления) для записи чисел требуется n различных цифр (0,1,...,n-1).

Перевод чисел в десятичную систему счисления.

        Пример 1. Десятичное число А10=4718 в развернутой форме запишется так:

А10=4·103+7·102+1·101+8·100

        Пример 2. Двоичная система счисления.

        В двоичной системе счисления возможные цифры (0, 1).

        Записав двоичное число А2=1001 в развернутом виде и произведя вычисления, получим это число, выраженное в десятичной системе счисления:


А2=1·23+0·22+0·21+1·20 = 8+1= 910.

        Пример 3. Восьмеричная система счисления.

Основание: n=8.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Записав восьмеричное число А8=7764 в развернутом виде и произведя вычисления, получим это число, выраженное в десятичной системе счисления:

А8=7·83+7·82+6·81+4·80 = 3584 + 448 + 48 + 4 = 408410

        Пример 4. Шестнадцатеричная система счисления.

Основание: n=16.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое обозначение 0,1, …9. Для записи остальных цифр (10, 11, 12, 13, 14 и 15) обычно используются первые пять букв латинского алфавита.

Таким образом, запись 3АF16 означает:

3АF16 = 3·162+10·161+15·160 = 768+160+15 = 94310.

 Задания для самостоятельного выполнения


1.   Какое минимальное основание имеет система счисления, если в ней записаны числа 127, 222, 111? Определите десятичный эквивалент данных чисел в найденной системе счисления. Так как в записи одного из чисел есть цифра 7, то минимально возможное основание — 8. 1278=8710, 2228=14610, 1118=7310.

2.   Чему равен десятичный эквивалент чисел 101012, 101018 1010116? 101012=2110; 101018=416110; 1010116=6579310

3.   Какое из чисел 1100112, 1114, 358 и 1В16 является:


        а) наибольшим; 1100112

        б) наименьшим. 1114

4.   Существует ли треугольник, длины сторон которого выражаются числами 128, 1116 и 110112? Не существует, так как 128+1116=110112 (10+17= 27).

5.   Какое наибольшее десятичное число можно записать тремя цифрами в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления? 1112=710, 7778=51110, FFF16=409510

6.   Выпишите целые десятичные числа, принадлежащие следующим числовым промежуткам:

а) [1011012; 1100002]; б) [148; 208]; в) [2816; 3016]

а) 45,46,47,48; б) 12,13,14,15,16; в) 40,41, ... ,47,48.

7.   В классе 11112 девочек и 11002 мальчиков. Сколько учеников в классе? 27 учеников

 

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую


         Можно сформулировать алгоритм перевода целых чисел из системы с основанием p в систему с основанием q:

1. Основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и все последующие действия производить в исходной системе счисления.

2. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.

3. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

4. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка.


      

  Пример 1. Перевести десятичное число 17310 в восьмеричную систему счисления:


173

8

 

5

21

8

 

5

2

Получаем: 17310=2558

        Пример 2. Перевести десятичное число 17310 в шестнадцатеричную систему счисления:

173

16

13

10

(D)

(A)

Получаем: 17310=AD16.

        Пример 3. Перевести десятичное число 1110 в двоичную систему счисления. Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) удобнее изобразить так:

11

2

 

 

1

5

2

 

 

1

2

2

 


 

0

1

Получаем: 1110=10112.

        Пример 4. Переведем десятичное число 36310 в двоичное число.

Получаем: 36310=1011010112

 

Арифметические операции в позиционных системах счисления


Арифметические операции в двоичной системе счисления. Рассмотрим более подробно арифметические операции в двоичной системе счисления. Арифметика двоичной системы счисления основывается на использовании таблиц сложения, вычитания и умножения цифр. Арифметические операнды располагаются в верхней строке и в первом столбце таблиц, а результаты на пересечении столбцов и строк

+

0 1

-

0 1

×

0 1

0

1

0 1

1 10

0

1

0 11

1 0

0

1

0 0

0 1

Рассмотрим подробно каждую операцию.

Сложение. Таблица двоичного сложения предельно проста. Только в одном случае, когда производится сложение 1+1, происходит перенос в старший разряд.

Пример 1. Рассмотрим несколько примеров сложения двоичных чисел:


1001 1101 11111

+ + +

1010 1011 1

------ ------ ---------

10011 11000 100000

 

       Вычитание. При выполнении операции вычитания всегда из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее и ставится соответствующий знак.
Пример 2. Рассмотрим пример вычитания двоичных чисел:

1 1 0 1 1 0 1 0 1

-

1 0 1 0 1 1 1 1 1

---------------------------

0 0 1 0 1 0 1 1 0

       Умножение. Операция умножения выполняется с использованием таблицы умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.

Пример 3. Рассмотрим несколько примеров умножения двоичных чисел:

11001 × 1101 = 101000101

11001,01 × 11,01 = 1010010,0001

11001 11001,01

× 1101 × 11,01

--------- -----------

11001 1100101

11001 1100101

11001 1100101

------------- -----------------

101000101 1010010,0001
 Деление. Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления. То есть можно перевести числа в десятичную систему, в ней выполнить операцию деления и ответ перевести в нужную систему счисления.

         Сложение в других системах счисления. Ниже приведена таблица сложения в восьмеричной системе счисления:


+

1

2

3

4


5

6

7

1

2

3

4

5

6

7

10

2

3

4

5

6

7

10

11

3

4

5

6

7

10

11

12

4

5

6

7

10

11

12

13

5

6

7

10

11

12

13

14

6

7

10

11

12

13

14

15

7

10


11

12

13

14

15

16

Задания для самостоятельного выполнения


1.      Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же целое число должно быть записано в различных системах счисления.

Двоичная

Восьмеричная

Десятичная

Шестнадцатеричная

101010

52

42



1010111

127

87

57

100001101

415

269

10D

10011011

233

155

9B




  1. Выполните арифметические операции:

а) 11102 + 10012 г) 11102 -10012 ж) 11102 × 10012 к) 10102 : 102

б) 678 + 238 д) 678 - 238 з) 678 × 238 л) 748 : 248

в) AF16 + 9716   е) AF16 - 9716 и) AF16 × 9716 м) 5A16 : 1E16


 а) 101112 г) 1012 ж) 11111102 к) 1012

б) 1128 д) 448 з) 20258 л) 38

в) 14616 е) 1816 и) 673916 м) 316
3.      Вычислите выражения (ответ записать в десятичной системе счисления):

а) (11111012 + AF16) / 368;

б) 1258 + 111012 × A216 - 14178.

а) 1010 б) 400010.

4.      Найдите среднее арифметическое следующих чисел (ответ записать в десятичной системе счисления):

    а) 100101102, 11001002 и 1100102;

    б) 2268, 6416 и 628.

    а) 10010; б) 10010

5.      Сумму восьмеричных чисел 178 + 17008 + 1700008 + 170000008 + 17000000008 перевели в шестнадцатеричную систему счисления. Найдите в записи числа, равного этой сумме, пятую цифру слева. Сложив исходные числа столбиком, получим:

17171717178 F3CF3CF16. Пятая цифра слева равна 3.