birmaga.ru
добавить свой файл

1 2 3 4
ГЛАВА 7. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

7.1. Основные понятия
Система m линейных уравнений с n неизвестными (или кратко линейная система) имеет следующий вид:

(7.1)

В общем случае число уравнений в системе не обязательно совпадает с числом неизвестных: m может быть меньше, равно или больше числа n. При этом через обозначены неизвестные, подлежащие определению; величины называемые коэффициентами системы, и величины , называемые свободными членами, предполагаются известными. Каждый коэффициент системы имеет два индекса, первый из которых i  указывает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Система (7.1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю. Если хотя бы один из свободных членов отличен от нуля, то система (7.1) называется неоднородной.

Система (7.1) называется квадратной, если число m составляющих её уравнений равно числу неизвестных n. В более краткой записи с помощью знаков суммирования систему можно записать в виде:

(7.2)

О п р е д е л е н и е 1. Совокупность n чисел называется решением системы (7.1), если после замены неизвестных числами соответственно каждое из уравнений системы превращается в верное числовое равенство.


П р и м е р 1.



Эта система двух уравнений с тремя неизвестными решений не имеет, так как любая тройка чисел, удовлетворяющая первому уравнению, очевидным образом не может удовлетворять второму.

П р и м е р 2.



Легко видеть, что эта система имеет единственное решение: = 2, =  – 1.

П р и м е р 3.



Пара чисел = 1, = 0 есть решение этой системы трёх уравнений с двумя неизвестными, а пара =  – 1, = 2 – другое решение. Эта система имеет бесконечно много других решений, так как значения x=, при любом удовлетворяют системе.

Приведенные примеры систем показывают, что, вообще говоря, система может либо вовсе не иметь решений, либо иметь единственное решение, либо иметь их несколько (как видно будет в дальнейшем, в последнем случае система всегда имеет бесконечно много решений).

О п р е д е л е н и е 2. Система (7.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и называется несовместной, если не имеет ни одного решения.

Следовательно, система примера 1 несовместна, а системы примеров 2 и 3 совместны.

О п р е д е л е н и е 3. Совместная система вида (7.1) называется определенной, если она имеет единственное решение, и называется неопределенной, если у неё существуют, по крайней мере, два различных решения.


Два решения совместной системы вида и называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств .

В частности, система примера 2 является определенной, а система примера 3 – неопределенной.

Относительно каждой системы линейных уравнений могут быть поставлены следующие вопросы.


  1. Совместна ли заданная система или нет?

  2. В случае, если система совместна, как определить, сколько решений она имеет – одно или несколько?

  3. Как найти все решения системы?

Ответы на все эти вопросы и должна дать теория систем линейных уравнений.

Весьма удобно записывать линейную систему (7.1) в матричной форме. Введём следующие обозначения:

, , , (7.3)

где  – матрица, составленная из коэффициентов системы, в дальнейшем будет называться матрицей системы; X – матрица-столбец неизвестных; B – матрица-столбец свободных членов.

Согласно правилу умножения двух матриц произведение AX представляет собой матрицу, содержащую m строк и один столбец, т. е. один столбец следующего вида:

. (7.4)

Элементами полученной матрицы являются левые части системы (7.1), а элементами матрицы B являются правые части той же системы. На основании определения равенства двух матриц систему (7.1) можно заменить теперь одним эквивалентным ей матричным уравнением


(7.5)

Решение матричного уравнения (7.5) заключается в отыскании такой матрицы X, которая при заданных матрицах A и B обращает уравнение (7.5) в тождество.
7.2. Система n линейных уравнений с n
неизвестными

Ограничимся сначала рассмотрением системы, у которой число уравнений равно числу неизвестных. Пусть мы имеем систему n линейных уравнений с n неизвестными:

(7.6)

Наложим определенные условия на коэффициенты системы (7.6). Если этого не сделать, то нам придётся изучать здесь, например, и систему, состоящую из одного уравнения, повторённого n раз. Мы хотим, чтобы все уравнения системы были в определённом смысле независимы. Уже в школьном курсе широко применялся следующий приём: умножали первое уравнение на число , второе уравнение на число , а затем складывали эти уравнения почленно. Полученное уравнение (его естественно назвать линейной комбинацией исходных уравнений) является их следствием. Мы хотим, чтобы в системе (7.6) ни одно уравнение не являлось линейной комбинацией остальных. Если это выполнено, мы будем говорить, что уравнения линейно независимы.

Составим определитель n-го порядка



элементами которого являются коэффициенты при неизвестных системы (7.6). Он называется определителем системы (7.6).

Для линейной независимости уравнений системы (7.6) достаточно потребовать теперь, чтобы определитель системы был отличен от нуля.


Действительно, заметим, что при умножении какого-нибудь уравнения на число соответствующая строка определителя системы умножается на это число. При сложении уравнений строки определителя складываются. Поэтому, если одно из уравнений является линейной комбинацией остальных, соответствующая строка определителя системы есть линейная комбинация остальных строк. Из свойства 3° линейности определителя по строке и следствия 1 п. 6.3 следует, что при этом определитель системы равен нулю.

Для получения решения системы (7.6) матричным способом заменим её (как и в п. 7.1) эквивалентным матричным уравнением

, (7.7)

где А – матрица системы, X – матрица-столбец неизвестных, B – матрица-столбец свободных членов.

Так как определитель отличен от нуля, то существует обратная матрица .

Умножая слева обе части матричного уравнения (7.7) на матрицу , будем иметь



В силу сочетательного свойства произведения трёх матриц и определения единичной матрицы имеем



поэтому решением системы (7.6) будет матрица-столбец

(7.8)

Легко проверить, что столбец X обращает уравнение (7.7) в тождество:


Решение (7.8) в развёрнутой форме примет вид




или после умножения матриц



Отсюда следует, что для любого j j = 1, 2,, n)

(7.9)

где  – определитель матрицы, полученной из матрицы заменой её j-го столбца столбцом свободных членов:



Формулы (7.9) получили название формул Крамера.

Тем самым доказано, что квадратная система линейных уравнений (7.6) с определителем системы, отличным от нуля, имеет и притом единственное решение, определяемое матричным соотношением (7.8) или эквивалентными ему формулами Крамера (7.9).

Основное значение формул Крамера состоит в том, что они дают явное выражение для решения квадратной системы линейных уравнений (с определителем, отличным от нуля) через коэффициенты уравнений и свободные члены. Однако при больших n решение по формулам Крамера и матричным способом весьма трудоёмко, что связано с вычислением определителей и нахождением обратной матрицы. При > 3 квадратные системы, а также системы, в которых либо определитель равен нулю, либо число уравнений вообще не равно числу неизвестных, решаются другими методами, более экономными в вычислительном отношении.

П р и м е р. Решить систему уравнений


а) матричным способом; б) по формулам Крамера.


Р е ш е н и е. а) Обозначим



Так как определитель системы , то матрица А невырожденная, и существует обратная матрица, равная (согласно примеру п. 6.4)



По формуле (7.8) находим решение системы в матричной форме:



Используя определение равенства двух матриц, получаем



б) Найдем определитель системы . Так как , то решение системы по формулам Крамера имеет вид



Вычисляем определители получаемые из определителя заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:



Следовательно,

Подстановкой найденных значений в уравнения системы убеждаемся, что они обращаются в верные равенства.
7.3.  Элементарные преобразования матриц и систем

линейных уравнений

Прежде чем перейти к решению произвольных систем линейных уравнений, нам необходимо познакомиться с некоторыми сведениями, относящимися к теории матриц. Это отступление обусловлено тем, что произвольная система линейных уравнений (7.1) с точностью до обозначения неизвестных вполне определяется таблицей коэффициентов при неизвестных и свободными членами, и поэтому свойства системы должны проявляться в свойствах соответствующей матрицы.

Пусть дана матрица

(7.10)

Конечно, в частном случае допускается равенство m=n, т. е. матрица А может быть квадратной.

О п р е д е л е н и е 1. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие операции:


  1. умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля;

  2. прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число;

  3. перестановка местами двух строк;

  4. аналогичные операции над столбцами.

Применяя к матрице А какое-либо элементарное преобразование, мы получаем новую матрицу А'. Для этих двух матриц справедливо следующее предложение.

П р е д л о ж е н и е. Элементарные преобразования матрицы обратимы, т. е. если матрица получается из при помощи какого-либо элементарного преобразования , то и матрица может быть получена из также при помощи некоторого элементарного преобразования (называемого обратным к первому).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть матрица получается из умножением i-й строки на число . Умножая i-ю строку матрицы на число (т. е. применяя к элементарное преобразование), мы получим исходную матрицу .


Пусть получается из прибавлением к i-й строке элементов j-й строки, умноженных на число . Прибавляя к элементам i-й строки матрицы элементы её j-й строки, умноженные на , мы возвращаемся к матрице .

Наконец, если получается из перестановкой i-й и j-й строк, то, переставляя в те же i-ю и j-ю строки, мы снова получим исходную матрицу .

Совершенно аналогичным образом проверяется обратимость элементарных преобразований над столбцами.

Рассмотрим теперь произвольную линейную систему (7.1). Матрица , определенная формулой (7.10) и составленная из коэффициентов при неизвестных, называется матрицей системы (7.1), а матрица

(7.11)

получающаяся из А добавлением столбца из свободных членов системы (7.1), называется расширенной матрицей системы (7.1). Матрица B, очевидно, вполне определяет систему (7.1) с точностью до обозначения неизвестных.


О п р е д е л е н и е 2. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие операции:


  1. умножение какого-либо уравнения системы на число, отличное от нуля;

  2. прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число;

  3. перестановка местами двух уравнений в системе.

Выполняя элементарное преобразование в системе, мы получаем новую систему. Очевидно, что каждому элементарному преобразованию системы соответствует аналогичное преобразование над строчками расширенной матрицы В этой системы, и наоборот, каждому элементарному преобразованию над строчками расширенной матрицы В соответствует некоторое элементарное преобразование в системе. Таким образом, элементарные преобразования в системе сводятся к соответствующим преобразованиям над строчками её расширенной матрицы. Отсюда следует, в частности, что элементарные преобразования системы обратимы, т. е. если мы, сделав элементарное преобразование, перешли от одной системы к другой, то мы можем вернуться от полученной новой системы к первоначальной, выполнив опять некоторое элементарное преобразование.

О п р е д е л е н и е  3. Две системы линейных уравнений с одинаковыми неизвестными называются равносильными, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот (или если обе системы несовместны).

Заметим, что число уравнений в системах может быть при этом различным.

Итак, если мы имеем две равносильные системы, то, определив решение одной из них, мы тем самым будем знать решение другой. Ясно, что решать мы будем ту систему, которая проще.
Заметим, что уравнение вида


удовлетворяется, очевидно, при любых значениях неизвестных. Следовательно, если мы припишем такое уравнение к некоторой системе или, наоборот, вычеркнем его из системы, то новая система будет равносильна первоначальной.

Напротив, если в системе встретилось уравнение вида



то такому уравнению не могут удовлетворять никакие значения неизвестных и, следовательно, система будет несовместной. Уравнение такого вида будем называть противоречивым. Наличие в системе противоречивого уравнения свидетельствует о том, что система не имеет решений.
Справедлива следующая теорема об элементарных преобразованиях системы.
Т е о р е м а. При элементарных преобразованиях система (7.1) переходит в равносильную систему.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для простоты в системе (7.1) m=2, тогда она примет вид:
(7.12)
При элементарных преобразованиях типа 1) и 2) новая система будет иметь вид
(7.13)
Убедимся, что системы (7.12) и (7.13) равносильны. Действительно, если числа являются решением системы (7.12), то уравнения этой системы превращаются в числовые равенства, но тогда будут числовыми равенствами и уравнения системы (7.13).
Значит, числа будут решением системы (7.13) (в случае элементарного преобразования типа 3) это очевидно). Благодаря обратимости элементарных преобразований справедливо и обратное: всякое решение системы (7.13) является решением и системы (7.12). Таким образом, если системы (7.12) и (7.13) имеют решения, то эти решения для обеих систем одинаковы. Ясно также, что если одна из систем несовместна, то несовместной будет и другая система. Следовательно, системы (7.12) и (7.13) равносильны, а это и требовалось доказать.

С л е д с т в и е. Элементарным преобразованиям строк расширенной матрицы соответствуют преобразования системы линейных уравнений в равносильную систему.


следующая страница >>