birmaga.ru
добавить свой файл

1




Содержание

Оглавление

Введение 3

1 Расслоения с многозначными автоморфизмами и инвариантные связности 19

§ 1. Почти А—структуры на главных расслоениях... 19

1.1. Инвариантные покрытия... 19

1.2. Определение почти Д-структур в терминах функций перехода... 22

1.3. Морфизмы... 23

1.4. Категория почти А-расслоений... 26

§ 2. Многозначные действия группы А на пространстве

главного расслоения... 28

2.1. Псевдодействие группы А... 28

2.2. Многозначные автоморфизмы... 29

2.3. Псевдодействия и морфизмы... 29

§ 3. С-связности... 32

2 Построение инвариантов и классификация почти А-расслоений 43

§ 1. Характеристические классы... 43

§ 2. Расслоения с плоскими связностями и гомоморфизмы

голономии... 50

§ 3. Инварианты почти Д-расслоений с плоскими связно-

стями... 53

§ 4. Классы эквивалентности почти Д-расслоений с плоскими связностями... 54

§ 5. Классификация почти Д-расслоений... 59

3 Инвариантные расслоения в категории почти Д-расслоений 61

§ 1. Д-расслоения... 61

§ 2. Характеристические классы Д-расслоений в категории )C{B,Tk,A,R)... 63

§ 3. Инварианты Д-расслоений с плоскими связностями . 72 § 4. Классы эквивалентности Д-расслоений в категории

... 74

4 Расслоения с группой многозначных автоморфизмов и гироскопические системы с симметриями. Примеры. 76

§ 1. Связь почти Д-расслоений с гироскопическими системами ... 76

§ 2. Почти Д-расслоения над двумерными базами... 80

§ 3. Трехмерные почти Д-расслоения... 82

Заключение 93

Литература 95

Введение

Пусть В - гладкое многообразие, д - риманова или псевдоримано-ва метрика, F - замкнутая 2-форма на Вии : В- —> R - гладкая функция. Тогда четверку Г = (??, д, F, и) называют гироскопической системой. Как показано СП. Новиковым [13], анализ ряда задач математической физики приводит к рассмотрению гироскопических систем с многозначным функционалом действия. Если индекс иррациональности формы гироскопических сил F такой системы конечен, то преодолеть некоторые из возникающих трудностей удается с помощью главного расслоения ?, для которого базой является конфигурационное многообразие В, а структурной группой - тор Тк. Тесная связь таких главных расслоений и гироскопических систем описана в работах М.П. Харламова [23]^ Я.Л. Шапиро, В.А. Иго-


^ шина, Е.И. Яковлева [10], [30] - [34]^ СВ. Болотина [4]; подобные

конструкции рассматривались Б.Н. Шапуковым[29]:

Предположим, что интересующая нас гироскопическая система обладает конечной группой симметрии Д, то есть инвариантна относительно некоторого действия R : В х Д —»¦ В. Настоящая работа посвящена построению и исследованию категории расслоений, ассоциированных с такими системами. Мы называем такие расслоения почти Д-расслоениями. Показано, что в этом случае группа Д оказывается группой многозначных автоморфизмов для расслоения, т.е. действие R поднимается на тотальное пространство многозначным образом. Таким образом, рассматриваемая задача связана с вопросом о поднятии действия группы с базы расслоения на его пространство, - см., например, работу Т.Е. Stewart [39].

Характеристическим свойством расслоений с многозначными ав-

^ томорфизмами является то, что они обладают инвариантными связ-

ностями. Исследованием инвариантных связностей относительно

однозначных автоморфизмов занимались, например, Н.С. Wang [40], К. Nomizu [11].

В диссертации почти А-расслоения исследованы вплоть до клас- сификации. В связи с этим отметим, что классификация главных расслоений со структурной группой Т1 была получена Sh. Kobayashi [35]. Ассоциированные с ними комплексные векторные расслоения исследовались в работе К. Kodaira, D.S. Spenser [36](см. также [25]).

В [34] Е.И. Яковлевым с несколько иной точки зрения рассматривались почти Д-расслоения, для которых действие группы Д на базе В свободно. В этой ситуации пространство орбит В/А является гладким многообразием, а фактор-отображение v : В' —> В/А - регулярным накрытием. Если р : Е —> В - проекция расслоения ?, то иор : Е —* В/А - проекция локально-тривиального расслоения со стандартным слоем Д х Тк и многозначными функциями перехода со значениями в той же группе Д х Тк. Такие расслоения названы в [34] почти главными.

В данной работе действие группы Д на В предполагается произвольным, что существенно расширяет множество объектов изучаемой категории. Кроме того, инварианты почти Д-расслоений здесь строятся в терминах гомологии базы В, а не пространства орбит В/А как в [34].


Целью работы является решение следующих задач:

1) построение категории /С(??, Тк, Д, R) главных расслоений с базой В, абелевой структурной группой Tfc, ассоциированных с гироскопическими системами, обладающими конечной группой преобразований (Д, Я), а также содержательных примеров таких расслоений;

2) нахождение инвариантов объектов категории /С(В, Тк,А, R);

3) классификация почти Д-расслоений с заданными базой В, структурной группой Тк и действием R конечной группы Д на В;

4) поиск условий, при выполнении которых класс эквивалентности почти Д-расслоений содержит обычное Д-расслоение.

Методы исследования. Использованы методы дифференци- альной геометрии, топологии многообразий, алгебраической топологии и теории компактных групп преобразований.

Научная новизна.

1. Построена категория почти Д-расслоений, т.е. главных расслоений со структурной группой Тк, обладающих конечной группой Д многозначных автоморфизмов. Показано, что инвариантность гироскопической системы F = (В, д, F, и) относительно конечной группы преобразований Д равносильна существованию почти Д-структуры на ассоциированном с Г главном расслоении и инвариантности соответствующей Г римановой метрики на тотальном пространстве Е относительно многозначного действия группы Д. Построены содержательные примеры почти Д-расслоений.

2. Получена классификация почти Д-расслоений с фиксированной базой В, структурной группой Тк и заданным действием R группы А наВ, т.е. найдены инварианты в терминах некоторых групп гомологии и когомологий базы В, с их помощью вычислена группа В(В,Тк, Д, R) классов эквивалентности.

3. Выяснено, при каких условиях на инварианты почти Д-расслоение эквивалентно в данной категории обычному Д-расслоению. В результате найдена подгруппа SB{B,Tk,&,R) группы B(B,Tk,A,R), каждый элемент которой содержит Д-расслоение. На конкретных примерах показано, что в общей ситуации SB (В, Tk,A,R)~ собственная подгруппа группы В (В, Tk,A,R).


Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть ис- пользованы в дальнейших исследованиях расслоений, для изучения систем с гироскопическими силами, а также в учебном процессе.

Апробация. Описанные результаты были обнародованы на международной конференции "Колмогоров и современная математика" (2003г.), на международной молодежной научной школе- конференции "Лобачевские чтения"(2002г., 2003г.), на научном семинаре кафедры теории относительности и гравитации КГУ (рук. А.В.Аминова), на международной летней школе-семинаре по теоретической и математической физике "Волга"(2001г., 2002г.), на семинаре кафедры геометрии и высшей алгебры ННГУ (рук. Н.И.Жукова и Е.И.Яковлев), на семинаре кафедры геометрии КГУ (рук. Б.Н.Шапуков), на семинаре кафедры дифференциальной геометрии и приложений МГУ (рук. А.Т.Фоменко).

Публикации и вклад автора. Результаты диссертации опубликованы в работах [42]-[49]. В совместных статьях [42],[44];[47], [49] научному руководителю Е.И.Яковлеву принадлежит постановка задачи, идеи некоторых конструкций и общее руководство работой. Все теоремы и их доказательства получены автором диссертации.

Краткое содержание работы.

Во введении обосновываются актуальность темы диссертации и ее научная новизна, определяются цели и задачи исследования, приводится краткое содержание диссертации.

В первой главе определяются почти Д-расслоения и их мор-физмы, строятся многозначные автоморфизмы, исследуются инвариантные связности. В частности, доказывается, что существование инвариантных связностей является их характеристическим свойством.

Пусть ? - гладкое главное расслоение с проекцией р : Е —> В и структурной группой Тк = (E/Z)fc. Рассмотрим конечную группу А и правое действие R : В х А —> В.

Определение 1. Допустим, что открытое покрытие U обладает свойствами:

(1) существует ассоциированный с U атлас A{U) расслоения ?;


(2) R5(U) = U для всех U € U и 6 G Л.

Тогда U мы будем называть (?, А)-покрытием.

Выберем карты ^с/, ?у G *4(?/), для которых Vflt/ ^ 0 й функцию перехода ?vu '• V П U —*• Tfc от ?[/ к ?^. Определим отображение r5yt/ : U П У -» ^формулой

R5 - &и- (1)

Определение 2. Пусть dr^v = 0 для всех [/, V € Ы и 5 ? А. Тогда А{Ы) будет называться почти А-атласом. Два таких атласа эквивалентны, если их объединение тоже является почти А-атласом. Если А - класс эквивалентности почти Д-атласа А(Ы), то пару Р = (?> "4) назовем почти А-расслоением.

Рассмотрим главные расслоения ? и ?' с проекциями р : Е —» В и р': Ef —* В и структурной группой Tfc, а также гладкое отображение f : Е —> Е' со свойствами: р = р' о f и f(v • ?) = /(г;) • ? для всех г> G Е и t 6 Tfc. Тогда / : ? —> ^' морфизм над 5. Допустим, что расслоения ? и ?' обладают почти А-структурами X и Л;. Выберем атласы А (К) G Л, А'{Ы) G/и множества U,V е К, V HU т? Ф. Имеется функция перехода Cvu '• VC\U —> Tk от карты ^ к карте ?(/ при морфизме /. Определим гладкое отображение сг^и : VC\U —> Tfc, полагая

&8 — Cvu ° Rs — Cvu, (2)

Определение 3. Если do\u = 0 для всех &/ G Л(1/), ?у Gi'fW) и J G А, то / назовем морфизмом почти А-расслоений р = (?, А) и

Далее мы будем считать фиксированными многообразие В, группы Tfe, А и действие R : В х А —> Б, а также полагать G = Ax Tfc. Совокупность почти А-расслоений над В со структурной группой Tfc и их морфизмов образует категорию JC(B,Tk,A,R). Множество

В(В, Тк, Д, R) классов эквивалентности объектов построенной категории является группой относительно операции, индуцированной сложением функций перехода. Ее нейтральный элемент - класс эквивалентности пары ро = (?о,>Л))5 где ?о - расслоение-произведение В на Тк, а Ло содержит атлас {idBxTk}.

Элементы (?, А)-покрытия Ы и их пересечения не обязаны быть связными. Поэтому тождества drYu = 0 и da^u = 0 равносильны тому, что отображения rju и (т?и только локально постоянны. Добавим, что расслоение-произведение ?о может обладать почти Л-структурой, отличной от До-


Пусть ? - главное расслоение с проекцией р : Е —> В и структурной группой Тк. Каждая его карта ^[/ : U х Тк —> Еи позволяет определить действие ЯУ : Еи х Д —> Еи группы А на подмногообразии Еи = q~l(U) С Е с помощью формулы

Ru{Zv{ait),8) = Zu{a.8,t). (3)

При этом для каждого 5 G Л

р. (4)

Если ^v : V" х Тк —+ Еу - другая карта расслоения ? и V П f/ ^ 0, то действия Д^ и Я^ связаны на Еупи равенством

Rus{v) = ЛГ(«) • тГ(р(»)), (5)

где отображение rj^7 : V П U —> Tfc определено формулой (2).

Определение 4. Пусть Л(^) - атлас главного расслоения ?, а отображения Ru : ЕухА —> Еи заданы с помощью карт & G Л{Ы) и формулы (5). Набор И = {RU\U € К} мы будем называть псевдодействием группы Д на пространстве расслоения ?, ассоциированным с А{14). Если drju = 0 для всех U, V е U и 8 е Д (то есть почти Д-атлас), то 71 назовем многозначным действием.

Из равенств (4) и (5) следует, что Rf : Ец —> Ejj - автоморфизм сужения над U расслоения ?. Поэтому для многозначного действия 71 набор {R% | U € U} естественно назвать многозначным автоморфизмом расслоения ?. При этом Л становится группой многозначных автоморфизмов.

Рассмотрим главное расслоение f с проекцией р' : Е' —> В и структурной группой Тк, морфизм / : ? —> ?' и Т^-связностшЯ на Е и Н' на ?", удовлетворяющие равенству Ж/ч = df(Hv) при всех v € Е. Выберем карты & и iv расслоений ^ и ^' и элемент 5 G Д. Предположим, что V П U ф 0.

Предлолсение 1. ^сли связность Н инвариантна относительно преобразования В% : Ец —> ?Jf/, то Н' инвариантна на E'vnu относительно R'5 : E'v —> E'v тогда и только тогда, когда определенноеформулой (4)^отображение aju : V П U —> Тк локально постоянно..

Из предложения 1 вытекает ряд важных следствий. Для их компактной формулировки нам потребуются также новые определения.

Следствие 1. Рассмотрим главное расслоение ? с проекцией р : Е —+ В и структурной группой Тк и псевдодействие 1Z группы Ana, E, ассоциированное с атласом А(Ы). На пространстве расслоения ? существует Т^-связность Я, инвариантная относительно всех ЯУ G11, тогда и только тогда, когда А(Ы) - почти Д-атлас, a 1Z -многозначное действие группы Д.


Определение 5. Если в обозначениях следствия 1 связность Я инвариантна относительно всех Ru € 7Z, то мы будем говорить, что она инвариантна относительно многозначного действия 1Z группы Д на ,Е.

Следствие 2. Предположим, что р = (^, А) - почти Д-расслоение и Т^-связность Я на пространстве Е главного расслоения ^ инвариантна относительно многозначного действия группы.

А, ассоциированного с атласом A(U) € А. Если Af {W) - другой атлас главного расслоения ?, то связность Н инвариантна относительно ассоциированного с ним псевдодействия группы А на Е тогда и *?? только тогда, когда A'{U') - почти А-атлас и A'(W) ? A.

Определение 6. Пусть G = Ах Тк, р = (€,А) - почти А-расслоение и Т^-связность Н на его пространстве Е инвариантна относительно многозначных действий группы А, ассоциированных с атласами A(U) G А. Тогда Н будет называться G-связностью.

Следствие 3. Допустим, что р = (?,.4) ир' = (^, А') - почти А-расслоения, и иш'- формы Т&-связности Н и G-связности Н' на пространствах Ей Е' расслоений р и р', j' : ? —> ?' - морфизм главных Т^-расслоений и и = f*uir. Тогда Н - G-связность на Е в том и только в том случае, если / : р —* р' - морфизм почти А-расслоений.

Предложение 2. Пусть О, = du - форма кривизны Тк-1Ч1 связности Н на пространстве Е главного расслоения ?, F - за-

мкнутая 2-форма на базе В со значениями в Rk, удовлетворяющая равенству п = p*F. Форма F инвариантна относительно действия группы Л на В в том и только в том случае, если ? обладает почти ^.-структурой, относительно которой Н является G-связностью.

Рассмотрим почти А-расслоения р — (?, А) и р' = (^', А') с проекциями р : Е' —> В'и р': Ег—> В, а также формы и> и и>' G-связностей Я на Е иЯ' на Е'. Предположим, что существует морфизм главных расслоений / : ? —*¦ ?'. Тогда на базе В найдется 1-форма D, удовлетворяющая равенству f*tor — cj = p*D.

Предложение 3. Отображение f является морфизмом почти А-расслоений р и р' в том и только том случае, если форма D i^ инвариантна относительно действия R группы А.


Предложение 4. Пусть р = {?,А) - почти А-расслоение с

проекцией р : Е —> В. Тогда [р] = 0 в В(В, Тк, A, R) в том и только в том случае, если на Е существует G-связность с тривиальной группой голопомии.

Во второй главе находятся инварианты почти Д-расслоений и вычисляется группа их классов эквивалентности.

Если Ф - замкнутая n-форма на многообразии В со значениями в Rfc, а [Ф] - ее когомологический класс, то формула /[ф]([с]) = /сФ определяет гомоморфизм 1щ : Нп(В) —> Rfc.

Обозначим символом Лд(5, Rfc) группу инвариантных относительно действия группы А внешних n-форм на В со значениями в

, а символом Яд (Б, Rfc) - группу гомологии коцепного комплекса

Положим

й& = {[Ф]

Пусть р = {?,А) - почти А-расслоение с проекцией р : Е —> В и и> - форма G-связности Н на Е. Тогда существует замкнутая 2-форма F на В, удовлетворяющая равенству du = p*F. Согласно предложению 2 F 6 AA(B,Rfc). Так как ?¦- главное расслоение со структурной группой Tfc, a //"- Т^-связность, то imI[F] cZfc.

Когомологический класс [^]д является инвариантом расслоения р в категории /C(??,Tfc,A, R). Он будет называться характеристическим классом почти А-расслоения р = (?,.4). При этом формула rj([p\) = [F]/± определяет гомоморфизм rj : B(B,Tk,A,R) —> Hi (В, Rk\Zk).

Предложение 5. Для гомоморфизма г] существует правый обратный гомоморфизм fj: #A(?,Rfc|Zfc) -»• B(B,Tk,A,R).

Пусть 𠕦 = (^,Л) - почти Д-расслоение с характеристическим классом [F]a = 0. Это эквивалентно существованию на его пространстве плоской G-связности Н.

Предположим, что re : I—+ В - кусочно-гладкая петля, а х : / —> Е ее горизонтальный лифт относительно плоской G-связности Н. Тогда найдется элемент тн{х) ? Тк, удовлетворяющий равенству х(1) = х(0) • тн(х). Элемент тн(х) зависит только от гомологического класса цикла х 6 2\{В). При этом формула тя([я]) = тн(х) корректно определяет гомоморфизм тд : Н\(В) —> Tfc, который мы называем гомоморфизмом голономии связности Н.


Предложение 6. Пусть р = (?,А) - почти А-расслоение с проекцией р : Е —> В, Н и Н* - плоские G-связности на Е, и и си* - их формы связности. Тогда uj* = и + р*А, где А ? Z^(B,M.k), и тн* =тн -Ехро1[А].

Пусть для произвольного п G N

HomA{Hn{B),Rk) = {he Hom{Hn(B),Rk)\h{[x -6}) = h([x]) Уд е А}. Для [F]A e H?{B,Rk), [F] eHn{B,Rk) и [с] е Нп{В) положим

) = I[F]. (6)

Лемма. Отображение IA : H%(B,Rk) -> HomA{Hn(B),Rk), определенное формулой (6), является изоморфизмом.

Для почти А-расслоения р с нулевым характеристическим классом и плоской С-связности Н на его пространстве рассмотрим гомоморфизм голономии Тн Е Hom(Hi(B),Tk) и гомоморфизм ЕхрА : ЯошА(Я1(Б),МА:) -> Нот^Н^В)^), определенный формулой ExpA(h) = Exp о h. Положим

ЫН) = TH + imExpA. (7)

Предлож:ение 7. Формула (7) корректно определяет отображение Т]о : ker?7 —> Hom(Hi(B),Tk)/imExpA.

Таким образом, смежный класс т# + im Ехр^ гомоморфизма голономии тн является инвариантом расслоения р. В предложениях

8-11 показано, что этот характеристический класс позволяет полностью классифицировать группу классов эквивалентности почти А-расслоений.

Предложение 8. Рассмотрим почти А-расслоение р = (?,.А) с проекцией р : Е —» В, плоскую G-связность Н на его пространстве Е и гомоморфизм голономии тн '• Н\{В) —> Тк. Тогда существует почти А-атлас A(U) G А, обладающий свойствами:

(1) локальные формы шц связности Н тождественно равны нулю для всех U EU;

(2) функции перехода ?уи локально постоянны для любых U,V 6 U,

v пи Ф§.

При этом если х : / —> В - петля, 0 = s0 < Si <.•••< sj = 1 - разбиение отрезка I = [0,1], KUi,...,KUi - компоненты связности элементов покрытия Ы, удовлетворяющие условиям x([si-i,Si\) С и пг = x(si), то

Предложение 9. Отображение щ является гомоморфизмом групп.

Предложение 10. Гомоморфизм щ сюръективен.

Предложение 11. Ядро кегту0 состоит только из нейтрального элемента группы #(??, Tfc, Д, i?).


Пусть ц : B(B,Tk, A,R) -> Н\(В,Жк\Ък) - гомоморфизм, построенный перед предложением 5, imExpf - образ естественного гомоморфизма Expf : HomA(H1{B):Rk) ->¦ Яот(Я1(В),ГА;), а ?7о : кег77 —> Hom(Hi(B),Tk)/imExpf - гомоморфизм, определенный формулой (7). Согласно предложениям 9, 10 и 11 770 ~ изоморфизм. Рассмотрим включение г : кег7у—> В(В,Тк, A,R) и положим С — гоЩ1- Тогда из предложения 5 следует, что имеет место следу-

ющий основной результат работы:

Теорема 1. Последовательность групп и гомоморфизмов

0 -+ Hom(#i(?), Tk)/imExp* -i В(В, Тк, Л, R) Л

точна и расщепляется. Поэтому

& H%(B,Rk\Zk) 0 Hom{H1(B),Tk)/imExpt

В третьей главе мы исследуем вопрос о том, какое место в категории почти Л-расслоений занимают расслоения, для которых автоморфизмы из Д однозначны.

Пусть р = (?, Л) - почти Д-расслоение и Л{Ы) G Л. Если определенное формулой (1) отображение удовлетворяет условию rju = О, то р - Д-расслоение в обычном смысле, a A(U) - Д-атлас.

При этом для действия Ru : Ец х Д —»• Ец группы Д на подмногообразии Ец = q~l(U) С Е верно равенство R%(v) = Rj(v) на любом непустом пересечении Ец П Еу\ U,V €U. Положим Rf(v) = R$(v) для всех v G Ец и U EU. Этим корректно определены отображения

: Е -> Е и RE : Е х Д¦ -> ?7, i?s(v, 5) = i?f (v). Ясно, что RE -

однозначное действие группы Д на Е, a Rf : Е —* Е - однозначно определенный автоморфизм.

Для поиска инвариантов Д-расслоений нам понадобятся следующие новые конструкции. Символом SB(B,Tk,A,R) обозначим подгруппу группы B(B,Tk,A,R), образованную классами эквивалентности Д-расслоений в категории JC(B,Tk,A,R).

Пусть Сп(В), 2п(В) и Вп(В) - группы кусочно гладких п-мерных сингулярных цепей, циклов и границ многообразия В с целыми ко-

.. эффициентами. Введем обозначения:

Сг)

Сп(В,А\2) = {с€ Сп{В)\сА е 2п(В)}.

Предложение 12. Пусть р = (?,А) - А-расслоение, Н - G-связность на его пространстве Е, и> - форма связности Н, F -замкнутая 2-форма на базе В и dw = p*F, гдер : Е —> В - проекция расслоения. Тогда для произвольной цепи с G Съ{В,А\?) справедливо включение JcF GZk.


Предложение 13. Если F - замкнутая и инвариантная относительно действия группы А 2-форма на В и JcF G Zk для всех с.? С2(В,А\2), то существует А-расслоение р с характеристическим классом [.Р]д.

Таким образом, когомологический класс формы, обладающей свойствами, описанными в предыдущем предложении, является инвариантом А-расслоений. В предложениях 14 и 15 указан второй инвариант этих расслоений, что позволяет вычислить группу SB(B,Tk,A,R).

Предложение 14. Если р - А-расслоение с нулевым характеристическим классом [F]a = 0, то Тн € HomA(Hi(B),Tk).

Предложение 15. Если т G HomA(iJi(J5),Tfc), mo существует А-расслоение р, для которого rjo([p\) = т + imExpf .

Полагая v([p\) = r]([p\) для [р] € SB(B,Tk, A, R), мы определим гомоморфизм

v : SB(B,Tk,A,R) -> H Определена, точна и расщепляется последовательность

О -+ kerz/ -^ SB(B,Tk,A,R) A H2A{B,Rk,CA\Zk) -+ О,

где is - включение. Положив ^о([р]) = ^о([р]) Для всех \р\ ^ кегг/, мы получим изоморфизм

щ : kerz/ -^ НотА(Я1(Б),Т&)/1тЕхр^ .

Положим [i = is о i/q1. Тогда из сказанного выше вытекает следующая важная

Теорема 2. Определена короткая точная последовательность О -> Нотд(#1(5),Т*)/ш1Ехр? A SB(BtTk,A-,R) A

расщепляется и поэтому SB(B,Tk,A,R)^H2A(B,R\CA\Zk)®EomA(H1(B),Tk)/imExpA.

В четвертой главе рассмотрена связь почти Д-расслоений с гироскопическими системами, некоторые свойства таких расслоений с двумерными базами, примеры трехмерных почти Д-расслоений.

Почти Д-расслоения естественным образом возникают при исследовании динамики натуральных механических систем с гироскопическими силами. Пусть В - конфигурационное многообразие та- кой системы Г. Ее функционал действия в общей ситуации много-значен. Для преодоления связанных с этим трудностей может быть использовано поднятие рассматриваемой задачи на пространство некоторого главного расслоения ? над В со структурной группой Тк. При этом число к и характеристический класс расслоения определяются формой гироскопических сил. В указанной конструкции также используется некоторая риманова метрика на тотальном пространстве этого расслоения [30]-[33]. Нами доказана

Теорема 3. Система Г инвариантна относительно действия R группы А в том и только в том случае, если расслоение ? обладает почти А-структурой Ли метрику можно выбрать инвариантной относительно многозначного действия группы А на Е, ассоциированного с любым атласом из Л.

Пусть В - двумерное гладкое многообразие.

Предложение 16. Если В замкнуто, ориентируемо и для всех 5 G А диффеоморфизмы R$ : В —> В сохраняют ориентацию, то