birmaga.ru
добавить свой файл

1
Окончание табл. 1


1

2


















,







, – период






Таблица 2

ПРОСТЕЙШИЕ ОРИГИНАЛЫ И ИЗОБРАЖЕНИЯ


Оригинал

Изображение

Оригинал

Изображение

1

2

3

4











,






































Окончание табл. 2

1

2

3

4


































Здесь приведены наиболее часто встречающиеся в задачах простейшие оригиналы и их изображения. Некоторые из них были получены ранее и выделены в рамках. Остальные рассмотрены ниже в примерах.

ПРИМЕР 20. Найти оригинал для изображения .

Решение. Разложим на простейшие дроби: . Коэффициенты и находим по методу неопределенных коэффициентов: , , следовательно,


.

Итак, имеем соотношение .

Аналогично устанавливаются формулы

,

.

ПРИМЕР 21. Найти оригинал для изображения .

Решение. Имеем (см. пример 7). Интегрируя оригинал (см. табл. 1), получаем

.

Рассмотрим несколько примеров нахождения изображений и восстановления оригиналов с помощью табл. 1 и 2.

ПРИМЕР 22. Найти оригинал , если его изображение есть .

Решение. Изображение разложим на простейшие дроби: . Но , . Окончательно имеем .

ПРИМЕР 23. Пусть . Найти .

Решение. .


Пользуясь таблицей, находим , , следовательно, .

ПРИМЕР 24. Пусть . Найти .

Решение. Преобразуем заданное изображение:

.

Воспользуемся свойством интегрирования оригинала: по таблице находим , тогда .

Из табл. 2 находим , или . Следовательно, искомый оригинал .

ПРИМЕР 25. Восстановить оригинал по изображению:

а) ; б) .

Решение. а) по табл. 2 находим и .

По табл. 1 учитываем запаздывание аргумента оригинала, а именно и


. Окончательно получаем оригинал , или



б) аналогично имеем последовательно , .

ПРИМЕР 26. Найти оригинал по его изображению .

Решение. Сначала пытаемся найти оригинал сразу по табл. 2, но в данном примере это не удается. Поэтому сведем к табличным выражениям, преобразуя следующим образом:

.

По табл. 2 находим и или .

Окончательно оригинал запишется так:

.

Таким образом, для отыскания оригинала по известному
изображению иногда можно представить изображение в виде суммы табличных изображений, затем найти оригинал каждого слагаемого, а результаты сложить. Обращение преобразования Лапласа в общем виде рассмотрено далее.

Задание. Восстановить оригинал по изображению:

а) ; б) .

Ответы: а) ;

б) .
22.6. ОБРАЩЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
Задача восстановления оригинала по известному изображению в общем случае сводится к необходимости рассмотреть обратное
преобразование Лапласа. Вопрос о единственности, достаточные условия существования, формулы для нахождения обратного преобразования Лапласа излагаются подробно, например, в [2]. Укажем основные теоремы этой теории.

Теорема (существования оригинала)

Пусть функция комплексной переменной удовлетворяет следующим условиям:


  1. – АФКП в области ;

  2. в области функция стремится к нулю при равномерно относительно ;

  3. для всех сходится интеграл

, . (16)


Тогда функция при является изображением функции действительной переменной , которая определяется
выражением

, , (17)

Интеграл (16) представляет собой несобственный интеграл от действительной функции по прямой . Несобственный интеграл (17) вычисляется вдоль прямой и понимается в смысле главного значения. Равенство (17) имеет место в точках непрерывности функции ("почти всюду").

Применяя методы вычисления контурных интегралов ФКП
(см. п.6.3) на основе леммы Жордана, можно получить следующие теоремы для вычисления интеграла (17).

Теорема 1


Пусть изображение аналитически продолжимо на полуплоскость , причем продолженная функция удовлетворяет
условиям:
  1. при имеет конечное число изолированных

    особых точек ;


  2. при стремится к нулю равномерно относительно .

Тогда интеграл (17) вычисляется по формуле

. (18)

Теорема 2 (о рациональном изображении)

Пусть изображение есть правильная несократимая рациональная дробь , . Пусть знаменатель имеет корни кратности соответственно так, что , .

Тогда оригинал может быть найден по формуле

. (19)

Частный случай теоремы (о рациональном изображении) для ситуации, когда все корни знаменателя являются простыми, т.е. , , позволяет находить

оригинал по формуле

. (20)

ПРИМЕР 27. Найти оригинал , соответствующий изображению .

Решение. Знаменатель имеет корни кратности и кратности . Находим вычеты функции в полюсах и , а именно





.

Аналогично



.

Окончательно искомый оригинал запишется в виде

, .

ПРИМЕР 28. Найти оригинал , если изображение его есть .


Решение. Знаменатель имеет только простые нули , . Поэтому



.

Итак, , .
22.7. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
ПРИМЕР 29. Найти частное решение уравнения

,

удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Обозначим изображение искомого решения через , т.е. , тогда .

Правую часть уравнения представим в виде , поэтому изображение ее есть .

От дифференциального уравнения переходим к операторному


,

откуда

, .

Рекомендуем всегда проводить проверку найденного решения, т.е. убедиться, что найденная функция удовлетворяет дифференциальному уравнению и указанным в задаче начальным условиям.

ПРИМЕР 30. Найдите решение системы дифференциальных уравнений удовлетворяющее начальным условиям , , .

Решение. Обозначим , , . Тогда , , .

Каждое из дифференциальных уравнений системы заменим операторным уравнением:

Полученную систему линейных алгебраических уравнений
решаем методом Крамера:

, и или .


Аналогично

;

.

Ответ: ; ;

, . Рекомендуем провести проверку полученного результата.

В курсах теоретических основ электроники и радиотехники часто решаются линейные неоднородные дифференциальные уравнения, правая часть которых – "склеенная" функция.

Рассмотрим пример решения уравнения подобного типа.

ПРИМЕР 31. Найти решение уравнения

при .

Решение. Пусть , тогда и левая часть уравнения имеет изображение . Чтобы найти изображение правой части уравнения, запишем через единичную функцию Хевисайда: .

По теореме запаздывания имеем .

Итак, данное дифференциальное уравнение переходит в операторное уравнение , решение которого


.

Находим оригиналы слагаемых:

; .

Поэтому имеем или

Задания


  1. Решить уравнение

при .

Ответ: .

  1. Решить систему уравнений при , . Ответ:

  1. Решить дифференциальное уравнение при , где функция задана графиком как треугольный импульс (см. рисунок).

Ответ: если – решение и ,


, то . Имеем

и



.
22.8. СВЕРТКА ОДНОСТОРОННИХ ФУНКЦИЙ; ЕЕ СВОЙСТВА. ТЕОРЕМА БОРЕЛЯ*
Сверткой функций и , заданных на , называется функция, равная интегралу , ;
она обозначается , т.е.

, . (21)

Свойства свертки

1. Симметрия, т.е. .

В самом деле, изменяя порядок интегрирования и полагая , получаем равенство

.


2. Если и – оригиналы, то и их свертка также является оригиналом с показателем роста, равным наибольшему из показателей роста функций и . Рекомендуем доказать самостоятельно это утверждение или же посмотреть в [3].

ПРИМЕР 32. Найти свертку функций и .

Решение. , здесь ко второму интегралу применено интегрирование
по частям.

Теорема Бореля


Если функции и – оригиналы и , и , , то произведение изображений является изображением свертки соответствующих оригиналов для :

. (22)

В самом деле, по определению изображения имеем


.

Замечаем, что справа стоит двойной интеграл с областью интегрирования , изображенной на рисунке. Изменяя в этом интеграле порядок интегрирования, получаем


* Эмиль Борель (1871 – 1956) – французский математик