birmaga.ru
добавить свой файл

1
ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ


ДЛЯ ВЕЧЕРНЕЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКОЙ ШКОЛЫ

(проект)

Составил: ВЛАСЕНКО В.В.

Часть вопросов, входящих в основные разделы, рассматривается на лекциях, часть - на семинарах. Темы, которые разбираются только на семинарах, обозначены словом "Семинар". "Дополнительные темы", а также все вопросы в разделах, номера которых помечены звездочкой (*), являются необязательными. Материал этих вопросов не может быть использован в заданиях для семестровых контрольных работ и не включается в программу выпускного экзамена, но может быть включен в программы семестровых итоговых экзаменов.
Д Е В Я Т Ы Й К Л А С С

1 - й с е м е с т р

Часть 1 (вводная).

Множества. Элементы математической логики

1. Элементы математической логики. Высказывания. Отрицание высказывания. Высказывания, зависящие от переменной (предикаты). Равносильность и импликация высказываний. Прямая, обратная, противоположная теоремы. Метод доказательства от противного. Необходимые и достаточные условия.

Дополнительные темы. Дизъюнкция, конъюнкция. Свойства операций над высказываниями. Таблицы истинности. Кванторы, их свойства.

2
. Множества. Элемент множества. Пустое множество. Подмножества. Равенство множеств. Объединение, пересечение, разность множеств. Дополнение множества. Числовые множества. Конечные и бесконечные множества. Мера (число элементов) множества. Мера объединения двух множеств. Метод диаграмм.

Дополнительные темы. Счетность и несчетность. Счетность множеств целых и рациональных чисел. Несчетность множества действительных чисел.
Часть 2.

Действительные числа

3. Натуральные и целые числа. Деление целых чисел с остатком, его возможность. Свойства делимости нацело. Признаки делимости на 2, 4, 8, 5, 10, 25, 3, 9, 7, 11, 13, 19, 37. Простые и составные числа. Алгоритмы поиска простых чисел. Взаимно простые числа, их свойства. Основная теорема арифметики (с доказательством). Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК), их свойства, их нахождение с помощью основной теоремы алгебры. Теорема: если квадрат натурального числа делится на простое число k, то и само это число делится на k.


Дополнительные темы. Сравнимость целых чисел по модулю какого-либо числа. Необходимые и достаточные условия сравнимости чисел. Свойства сравнимых чисел. Периодичность остатков при возведении в степень. Теорема: НОД(m,n) = НОД(m-n,n). Алгоритм Евклида. Непрерывные дроби. Диофантовы уравнения. Решение линейных диофантовых уравнений с двумя неизвестными.

4. Действительные числа. Иерархия множеств чисел (натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа). Принцип Дирихле и доказательство того, что всякое рациональное число есть бесконечная периодическая десятичная дробь. Перевод бесконечной периодической десятичной дроби в простую. Методы доказательства иррациональности чисел. Действительные числа, их свойства. Свойства числовых неравенств. Замечательные соотношения с действительными числами. Свойства пропорций. Модуль числа, его свойства.

Дополнительные темы. Единственность представления рационального числа несократимой дробью. Условие, при котором несократимая дробь представима в виде конечной десятичной дроби. Возможность представления множества действительных чисел в виде множества точек числовой оси.
Часть 3.

Многочлены и алгебраические уравнения

5. Многочлены. Понятия одночлена и многочлена. Степень многочлена с несколькими переменными. Многочлены одного переменного, каноническая форма их записи. Условие равенства двух многочленов (без доказательства). Деление многочленов с остатком. Деление многочленов столбиком. Теорема Безу.

Дополнительные темы. Схема Горнера.

6. Алгебраические уравнения. Корни многочлена. Алгебраическое уравнение n-й степени. Разложение многочлена на элементарные множители. Число корней многочлена n-й степени. Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов. Теорема Виета для алгебраического уравнения n-й степени. Квадратный трехчлен, его корни. Некоторые специальные типы алгебраических уравнений (трехчленные, возвратные и др.).


Дополнительные темы. Кратные корни многочленов. Теорема единственности. Аналогия между теорией многочленов и теорией натуральных чисел. НОД и НОК двух многочленов. Алгоритм Евклида для многочленов. Вывод формулы Кардано для кубического уравнения.

7. Системы алгебраических уравнений. Системы линейных уравнений. Матрицы. Определители матрицы 2-го и 3-го порядков. Правило Крамера. Метод Гаусса. Однородные системы линейных уравнений. Вырожденные системы линейных уравнений. Количество параметров в решении системы линейных уравнений. Методы решения систем уравнений высших степеней. Применимость метода линейных преобразований. Решение системы из двух уравнений 2-й степени. Системы, содержащие однородные многочлены. Симметрические системы уравнений.

Семинар. Решение задач на составление уравнений.
2 - й с е м е с т р

Часть 4.

Функции и их графики

8. Простейшие функции. Определение функции. Область определения, множество значений. Способы задания функции. Графики простейших функций (). Графики функций с модулем.

9. Трансформации графиков. Построение графиков , по известному графику . Квадратичная функция, ее свойства и график. Выделение полного квадрата.

10. Четность, нечетность, периодичность. Четные, нечетные и периодические функции, особенности их области определения и графика. Наименьший положительный период. Теоремы о комбинации нескольких четных, нечетных и периодических функций. Тригонометрические функции, их свойства и графики. Наименьший положительный период тригонометрических функций. Оси тригонометрических функций. Формулы приведения.


Дополнительные темы. Функции y = [x], y = {x}, y = sign(x). Четность относительно x = a. Нечетность относительно точки (a,b).

11. Монотонность и обратимость. Возрастание и убывание функций. Промежутки монотонности. Теорема о комбинации монотонных функций. Обратимость функций. Связь обратимости с монотонностью. Область определения, множество значений и график исходной и обратной функций. Теорема о характере монотонности обратной функции. Обратные тригонометрические функции, их определение, графики, формулы, аналогичные формулам приведения. График функций типа y = arcsin(sin(x)).

Дополнительные темы. Простейшие методы исследования монотонности (для многочленов). Кубическая функция, ее график и свойства. Корни кубического уравнения. Дробно-линейная функция, ее график и свойства.

12. Исследование функций и построение графиков (без производной). Промежутки знакопостоянства функции. Классический метод интервалов. Исследование поведения функции в особых точках и на бесконечности. План исследования функции.
Часть 5.

Векторы. Метод координат

13. Линейные операции над векторами. Определение вектора. Модуль вектора. Коллинеарность векторов. Равенство векторов. Сумма, разность векторов, умножение вектора на число; свойства этих операций. Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов. Линейная комбинация векторов.

14. Базис на плоскости. Теорема о базисе на плоскости. Координаты вектора в базисе. Координаты суммы векторов и вектора, умноженного на число. Переход от одного базиса к другому.

15. Системы координат на плоскости. Угол между векторами, его выражение в различных базисах. Ортогональный и ортонормированный базис. Декартова прямоугольная система координат. Выражение координат вектора и его длины через координаты его концов. Задача о делении отрезка в заданном отношении.


16. Скалярное произведение. Скалярное произведение векторов, его свойства (в том числе - доказательство дистрибутивности) и физические приложения. Выражение скалярного произведения через координаты векторов в произвольном и в ортонормированном базисах. Выражение площади треугольника через скалярное произведение. Теорема косинусов.

17. Векторное произведение. Свойства векторного произведения векторов (без доказательства дистрибутивности). Физические приложения векторного произведения. Выражение модуля векторного произведения через координаты векторов в произвольном и ортонормированном базисах. Выражение площади треугольника и четырехугольника через векторное произведение векторов.

18. Прямая на плоскости. Уравнение прямой на плоскости, его векторная и каноническая формы записи. Точка пересечения двух прямых. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку под заданным углом к оси абсцисс. Уравнение прямой в отрезках. Взаимное расположение двух прямых. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.

19. Линейные преобразования координат. Преобразование сдвига. Преобразования Галилея. Уравнение окружности с центром в произвольной точке. Преобразование растяжения или сжатия. Уравнение эллипса. Преобразование поворота. Связь преобразований координат с трансформациями графиков функций.

Дополнительные темы. Свойства эллипса. Получение канонических уравнений гиперболы и параболы из y = 1/x и y = с помощью преобразования координат. Свойства гиперболы и параболы.

Семинар. Решение систем линейных неравенств и всевозможных задач на метод координат (нахождение площадей фигур, ограниченных заданными кривыми и т.п.).

20. Полярные координаты. Связь между декартовыми и полярными координатами. Построение графиков функций, заданных в полярных координатах.

Часть 6.

Планиметрия

21. Окружность. Свойства хорд, секущих и касательных. Взаимное расположение двух окружностей. Теорема о вписанных углах (без доказательства) и следствия из нее (с доказательством). Вписанные и описанные треугольники. Центр и радиус окружности: 1)вписанной в треугольник; 2)описанной около него. Теорема синусов. Вписанные и описанные 4-угольники. Необходимые и достаточные условия, при выполнении которых 4-угольник является вписанным. Описанные 4-угольники. Необходимое и достаточное условие, при выполнении которого 4-угольник является описанным.

Дополнительные темы. Степень точки относительно окружности. Теорема Птолемея. Неравенство Птолемея. Теорема Брахмагупты (выражение площади вписанного четырехугольника через длины его сторон) и формула Герона. Формула для площади 4-угольника, который является одновременно и вписанным, и описанным.

22. Треугольник. Понятие чевианы. Теоремы Чевы и Менелая, их сходство и отличие. Теорема Стюарта (выражение длины чевианы через стороны треугольника). Свойства медиан, высот и биссектрис треугольника. Ортотреугольник, его свойства. Серединный треугольник, его свойства. Признаки подобия треугольников. Отношение сторон и площадей подобных фигур.

Дополнительные темы. Прямая Эйлера. Окружность девяти точек. Теорема Паппа.

23. Четырехугольники. Параллелограмм Вариньона, его площадь и периметр. Теорема о 4-угольнике, который делится диагональю на два 4-угольника равной площади. Сумма квадратов длин сторон произвольного 4-угольника.

24. Задачи на построение. Правила пользования циркулем и линейкой. Элементарные построения (деление отрезка пополам и построение серединного перпендикуляра; построение перпендикуляра к данной прямой, проходящего через заданную точку; построение точки, симметричной данной относительно прямой; построение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой; деление угла пополам; деление отрезка в заданном отношении). Структура решения задачи на построение: анализ, построение, доказательство, исследование.

Д Е С Я Т Ы Й К Л А С С

1 - й с е м е с т р

Часть 7.

Комплексные числа

25 .Введение комплексных чисел. Основания для введения комплексных чисел. Определение комплексных чисел, их сложение и умножение. Алгебраическая форма записи комплексных чисел. Действительная и мнимая части, модуль комплексного числа, комплексно сопряженные числа. Степени числа i.

Дополнительные темы. Умножение вектора на число, скалярное и векторное произведения векторов с точки зрения свойств операции умножения. Введение подлинной операции умножения векторов с помощью комплексных чисел. Введение операции деления векторов.

26. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Аффикс (комплексная координата) точки и вектора на плоскости. Геометрическая интерпретация сложения. Модуль и аргумент комплексного числа. Связь алгебраической и тригонометрической форм записи. Геометрическая интерпретация умножения комплексных чисел. Формула Муавра.

Дополнительные темы. Теорема: произведение двух целых чисел, каждое из которых есть сумма квадратов, само есть сумма квадратов. Выражение , через .

27. Извлечение корня из комплексных чисел. Доказательство того, что формула для справедлива не только для , но и для . Выражение для , , с использованием тригонометрической формы записи.


Дополнительные темы. Выражение для через . Свойства чисел . Теорема: сумма всех значений равна нулю. Количество действительных значений корня из действительного числа.

28. Основная теорема алгебры. Формула для корней квадратного уравнения с комплексными коэффициентами. Основная теорема алгебры (без доказательства). Следствие: уравнение всегда имеет n корней в множестве комплексных чисел. Теорема: число, комплексно сопряженное корню алгебраического уравнения с действительными коэффициентами, тоже есть корень этого уравнения. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на действительные множители. Количество действительных корней алгебраического уравнения с действительными коэффициентами.

Дополнительные темы: вывод общих формул для решения кубического уравнения с действительными коэффициентами.
Часть 8.

Основы теории уравнений и неравенств

29. Степенная функция. Степень с натуральным, целым, рациональным и действительным показателем. Свойства степени. Арифметический корень n-й степени. Степенная функция, ее график для разных значений показателя степени.

30. Преобразования уравнений. Корни уравнения. Равносильные уравнения. Уравнение, являющееся следствием. Равносильность уравнений на множестве. Посторонние корни, потеря корней. ОДЗ уравнения, его применение. Алгоритм исследования преобразования. Важнейшие типы преобразований уравнений, их свойства. Системы и совокупности уравнений.

31. Неравенства. Множество решений неравенства. Обобщенный метод интервалов для решения любых неравенств. Рациональные неравенства. Преобразования неравенств. Недопустимость всех преобразований, кроме равносильных. Важнейшие типы преобразований неравенств, их свойства. Системы и совокупности неравенств.


32. Иррациональные уравнения и неравенства. Ограничения на ОДЗ. Решение уравнения . Основные причины появления посторонних корней. Основная теорема для решения иррациональных уравнений (решение уравнения ). Некоторые приемы, применяемые при решении иррациональных уравнений (в том числе метод уединения радикалов). Решение неравенства . Основная теорема для решения иррациональных неравенств (решение неравенств ). Применение обобщенного метода интервалов.

33. Уравнения и неравенства с модулем. Решение уравнений . Раскрытие вложенных модулей. Метод интервалов для решения уравнений с модулем. Решение неравенств .

34. Тригонометрические уравнения, системы уравнений и неравенства. Вывод основных тригонометрических формул. Ограничения при их применении. Решение простейших тригонометрических уравнений (sin(x) = a и т.п.). Однородные уравнения. Введение вспомогательного угла. Замена переменных при решении тригонометрических уравнений; наиболее часто используемые виды замены переменных (t = cos(2x), t = sin(x) ± cos(x), t = tg(x/2) ). Использование оценок. Решение тригонометрических уравнений разложением на множители. Системы тригонометрических уравнений. Появление нескольких параметров. Способы решения некоторых типов систем тригонометрических уравнений. Решение простейших тригонометрических неравенств (sin(x) < a и т.п.) с помощью графиков и круговых диаграмм. Применение метода преобразований и обобщенного метода интервалов при решении тригонометрических неравенств.

Часть 9.

Метод математической индукции. Комбинаторика.

Элементы теории вероятностей

35. Метод математической индукции. Свойства знаков суммирования и произведения. Неполная и полная индукция. Сущность метода математической индукции. Неравенство Бернулли. Сравнение среднего арифметического, среднего геометрического и среднего гармонического нескольких положительных чисел.

Дополнительные темы. Неравенства Минковского и Коши-Буняковского. Многочлены Чебышева.

36. Комбинаторика и бином Ньютона. Правило умножения. Перестановки. Факториал и его свойства. Размещения, их свойства. Сочетания, их свойства. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона: прямое доказательство и доказательство методом математической индукции. Теорема о конечных множествах. Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных и на четных местах.

Дополнительные темы. Перестановки, размещения и сочетания с повторениями. Формула для полинома.

37. Элементы теории вероятностей. Случайные события. Определение вероятности. Вероятность одного из n равновозможных исходов. Элементарные исходы. Сложные события. Вероятность суммы несовместных событий. Вероятность суммы совместных событий.

Дополнительные темы. Вероятность произведения событий. Условная вероятность.
2 - й с е м е с т р
Часть 10.

Последовательности и пределы

38. Числовые последовательности. Определение числовой последовательности. Способы задания последовательностей. Числа Фибоначчи, арифметическая и геометрическая прогрессии, гармонический ряд, их свойства. Ограниченные и неограниченные, возрастающие и убывающие последовательности. Свойства монотонных последовательностей.

39.Нахождение общего члена последовательности, заданной реккурентно. Угадывание закономерности с последующим ее доказательством. Нахождение суммы конечного числового ряда, когда известен закон изменения разности соседних членов ряда. Линейные однородные реккурентные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Количество дополнительных условий. Общее и частное решения. Теорема: линейная комбинация частных решений тоже является частным решением. Представление общего решения в виде линейной комбинации двух непропорциональных частных решений с произвольными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Случаи двух различных действительных корней, комплексно сопряженных и кратных корней. Формула Бине для общего члена последовательности Фибоначчи.


40. Предел последовательности. Определение предела. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Теоремы о пределах (единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности, арифметические действия над пределами, "теорема о двух милиционерах" и др.). Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, их свойства. Теорема Вейерштрасса (доказательство, в котором принимается очевидным, что у ограниченной сверху (снизу) последовательности есть точная верхняя (нижняя) грань). Предел последовательности . Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Дополнительные темы. Доказательство существования точной грани у ограниченной последовательности. Критерий Коши (без доказательства). Теорема: если для всех и , где , то существует . Доказательство сходимости некоторых числовых рядов.

41. Предел функции. Определения предела по Коши и по Гейне. Теоремы о пределах функций (аналогичные теоремам о пределах последовательностей). Односторонние пределы. Непрерывность функции. Классификация разрывов. Односторонняя непрерывность. Основные элементарные функции, их непрерывность на области определения (без доказательства). Непрерывность комбинации основных элементарных функций на области ее определения.

Дополнительные темы. Доказательство эквивалентности определений предела по Коши и по Гейне. Теорема: если функция непрерывна на отрезке и имеет на его концах разные знаки, то внутри отрезка найдется точка, где она равна нулю (без доказательства). Метод деления отрезка пополам для решения уравнений.


42. Производная. Определение дифференцируемой функции и производной. Физический и геометрический смысл производной. Секущая, касательная и нормаль к графику функции. Угол между графиками двух функций в точке их пересечения. Основные свойства производных. Производная обратной функции. Непрерывность дифференцируемой функции. Локальный и глобальный экстремумы функции. Теорема Ферма. Теорма Ролля (без доказательства). Теорема Лагранжа, ее физический и геометрический смысл. Следствие из теоремы Лагранжа: если на отрезке две функции непрерывны и во внутренних точках отрезка их производные совпадают, то они отличаются на константу. Правило Лопиталя (доказательство для простейшего случая, когда достаточно применить это правило один раз). Производные высших степеней. Физический и геометрический смысл второй производной.

Дополнительные темы. Понятие "о", его свойства. Определение производной в терминах "о".

43.Формула Тейлора. Вывод формулы Тейлора с помощью правила Лопиталя. Ряд Маклорена для основных элементарных функций. Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений и для раскрытия неопределенностей. Геометрический смысл формулы Тейлора.

44. Исследование поведения функций с помощью производной. Необходимое и достаточное условие нестрогого возрастания (убывания) функции. Достаточное условие строгой монотонности. Критические точки функции. Достаточное условие локального экстремума: смена знака производной. Поиск глобального экстремума функции на отрезке. Выпуклость функций. Точки перегиба. Необходимое условие на точку перегиба. Достаточное условие на точку перегиба: смена знака второй производной. Наклонные и вертикальные асимптоты. Полный план исследования функции. Построение графиков функций с помощью производной.

Дополнительные темы. Достаточные условия на точку экстремума и на точку перегиба, доказываемые с помощью формулы Тейлора.

Часть 11.


Показательная и логарифмическая функции

45. Показательная и логарифмическая функции. Число "е". Определение, свойства и график показательной и логарифмической функций. Свойства логарифмов. Число "е" и производная показательной и логарифмической функций. Экспонента и натуральный логарифм. Производная функции вида . Производная степенной функции с действительным показателем степени. Показательная форма записи комплексных чисел. Формулы Эйлера. Выражение тригонометрических функций через комплексные числа.

Дополнительные темы. Доказательство существования предела. Представление числа "е" в виде суммы бесконечного ряда. Логарифм и степенная функция комплексного переменного. Гиперболические функции, их свойства и графики.
О Д И Н Н А Д Ц АТ Ы Й К Л А С С

1 - й с е м е с т р

Часть 11 (продолжение)

46. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Ограничения на ОДЗ. Равносильные и неравносильные преобразования. Возможность применения ОДЗ для исследования характера преобразования. Потенцирование и логарифмирование. Некоторые важнейшие типы показательных и логарифмических уравнений. Решений неравенств вида . Применение метода преобразований и обобщенного метода интервалов для решения показательных и логарифмических неравенств.
Часть 12.

Интеграл

47. Дифференциал. Определение и геометрический смысл дифференциала. Доказательство того, что . Выражение производной через дифференциалы. Свойства дифференциала. Дифференциалы высших степеней. Применение дифференциала для приближенных вычислений.


48. Первообразная и неопределенный интеграл. Определение первообразной. Непрерывность первообразной. Существование первообразной у непрерывных функций (без доказательства). Основная теорема о первообразной. Неопределенный интеграл и его свойства. Способ вывода табличных интегралов.

49. Основные методы вычисления интегралов. Линейность неопределенного интеграла. Методы замены переменной и интегрирования по частям. Нахождение интегралов вида и . Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная подстановка t = tg(x/2), особенности ее применения. Интегрирование дробно-рациональных функций, в знаменателе которых стоит многочлен степени не выше 2. Примеры интегралов, которые не выражаются через элементарные функции.

Дополнительные темы. Подстановки x = sin(t), x = sh(t). Вывод "длинных логарифмов" - . Разложение произвольной рациональной дроби на элементарные дроби (без доказательства) и интегрирование любых дробно-рациональных функций.

50. Определенный интеграл. Нахождение площади криволинейной трапеции методом интегральных сумм. Определенный интеграл по Риману. Существование определенного интеграла от непрерывных функций (без доказательства). Определенный интеграл как функция от верхнего предела. Теорема Ньютона-Лейбница. Основные свойства определенного интеграла (аналогичные свойствам неопределенного интеграла). Специфические свойства ( и др.). Применение определенного интеграла для нахождения площадей фигур, объемов тел вращения, пути, работы силы, центра масс тел вращения.

Дополнительные темы. Пример функции, для которой определенный интеграл не существует (функция Дирихле). Вычисление длин кривых. Условия существования интеграла .

Часть 13.

Введение в теорию дифференциальных уравнений

51. Терминология. Линейные уравнения 1-го порядка. Определение дифференциального уравнения. Порядок уравнения. Общее и частное решения. Дополнительные условия, их количество. Задача Коши, краевая задача. Некорректно поставленные задачи. Линейные и нелинейные, однородные и неоднородные уравнения. Линейные однородные уравнения 1-го порядка. Барометрическая формула. Метод вариации постоянной для неоднородных линейных уравнений 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Задача о полете снаряда с учетом сопротивления воздуха.

52.Линейные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Случай однородных уравнений. Теорема: линейная комбинация частных решений тоже является частным решением. Условие, при котором эта комбинация с произвольными коэффициентами является общим решением. Характеристическое уравнение. Случаи двух различных действительных корней, комплексно сопряженных и кратных корней. Аналогия между дифференциальными и реккурентными уравнениями. Численное решение дифференциальных уравнений обратным методом Эйлера. Случай неоднородных уравнений. Теорема: общее решение неоднородного уравнения можно представить в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Поиск частного решения для некоторых видов правой части. Метод вариации постоянных. Общий вид уравнения колебаний.

2 - й с е м е с т р

Часть 14.

Стереометрия

53. Теоремы о прямых и плоскостях (доказываются только те теоремы, которых нет в школьном учебнике). Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей. Теоремы о параллельных прямых и плоскостях. Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Угол между плоскостями. Теоремы о перпендикулярных прямых и плоскостях. Расстояния между точками, прямыми и плоскостями.


Семинар. Задачи на построение сечений.

54. Векторы в пространстве. Метод координат. Компланарность векторов. Теорема о базисе в пространстве. Условие компланарности векторов. Условие, при котором три точки лежат на одной прямой; условие, при котором четыре точки лежат в одной плоскости. Выражение угла между прямой и плоскостью и угла между плоскостями через скалярное произведение векторов. Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми с помощью векторов. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку. Пересечение двух плоскостей.

Дополнительные темы. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки. Уравнение плоскости в пространстве, проходящей через три заданные точки. Уравнение плоскости в отрезках.

55. Многогранные углы. Двугранный угол. Линейный угол и биссектор двугранного угла. n-гранный угол, его плоские и двугранные углы, грани, внутренняя область. Свойства плоских углов и биссекторов трехгранного угла.

56.Многогранники и тела вращения. Призма, пирамида, усеченная пирамида, их свойства. Правильные многогранники. Цилиндр, конус. Уравнения цилиндрической и конической поверхностей. Условия, при которых цилиндр(конус) можно вписать в призму(пирамиду) или описать около нее. Сфера. Уравнение сферы. Теорема: через любые четыре точки пространства, не лежащие в одной плоскости, можно провести сферу и притом только одну. Вписанные и описанные сферы. Доказательство того, что для любого тетраэдра существуют вписанная и описанная сферы. Условия, при которых сферу можно вписать в пирамиду(призму) или описать около нее. Пересечение плоскости со сферой. Свойства хорд, секущих и касательных. Взаимное расположение двух сфер. Формулы для объемов и площадей боковой поверхности основных многогранников и тел вращения.

Дополнительные темы. Теорема Эйлера (связь между количествами вершин, ребер и граней выпуклого многогранника). Конические сечения. Шаровой сегмент, шаровой слой.

Часть 15.

Повторение

(подготовка к письменному вступительному экзамену)

На лекциях и семинарах - повторение некоторых важных теоретических фактов и решение задач вступительных экзаменов МФТИ.

План: 1)многочлены, алгебраические уравнения и системы уравнений; 2)уравнения и неравенства; 3)метод координат; 4)начала анализа (бином Ньютона, метод математической индукции, арифметическая и геометрическая прогрессии, производная, задачи о касательных, интеграл); 5) планиметрия.

Часть 16.

Дополнительные разделы

57.Начала численных методов. Численное решение нелинейных уравнений: итерационные методы, метод Ньютона, метод деления отрезка пополам. Интерполяция и экстраполяция функций. Линейная и квадратичная экстраполяция. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа. Приближенное вычисление интегралов и производных. Численное решение дифференциальных уравнений.

58.Функции многих переменных. Определение функции двух переменных. Метод изолиний. Частные производные, их смысл. Формула конечных приращений. Касательная плоскость к графику функции. Необходимое условие эстремума. Достаточное условие экстремума (нестрогий вывод). Производная по направлению. Градиент функции, его физический смысл. Метод наименьших квадратов.

Семинар. Доказательство условия равенства двух многочленов. Поиск кратных корней многочлена с помощью производной.