birmaga.ru
добавить свой файл

1
Государственное образовательное учреждение


высшего профессионального образования

«Архангельский государственный технический университет»
Институт информационных технологий
Кафедра прикладной математики

УТВЕРЖДАЮ

проректор по учебной работе
______________________ И.И. Иванкин

«________»_______________________2009 г.

Программа государственного экзамена

Направление подготовки 230400 «Прикладная математика»
Специальность 230401.65 «Прикладная математика»



Архангельск

2009
Дискретная математика


  1. Бинарные отношения. Операции над отношениями. Свойства операций.

  2. Отображения. Инъективные, сюръективные и биективные отображения. Теорема о произведении (композиции) отображений. Критерий существования обратного отображения.

  3. Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности. Свойства классов эквивалентности. Разбиение множества. Связь между разбиениями и классами эквивалентности.

  4. Классы Поста булевых функций. Свойства классов Поста.

  5. Полные системы булевых функций. Критерий полноты системы булевых функций (теорема Поста).

  6. Предикаты. Операции над предикатами. Формулы алгебры предикатов. Интерпретация формул алгебры предикатов. Основные тавтологии алгебры предикатов. Равносильность формул алгебры предикатов.

  7. Принципы построения формальных аксиоматических теорий. Примеры формальных аксиоматических теорий (исчисление высказываний, исчисление предикатов). Свойства формальных аксиоматических теорий.

  8. Теорема дедукции в исчислении высказываний.

  9. Машины Тьюринга. Вычислимые по Тьюрингу функции. Примеры. Тезис Тьюринга.
  10. Класс рекурсивных функций: простейшие функции, операторы суперпозиции, примитивной рекурсии, минимизации. Примеры рекурсивных функций. Тезис Черча.


  11. Нормальные алгоритмы Маркова. Нормально вычислимые функции. Примеры. Принцип нормализации Маркова.

  12. Комбинаторика: правила суммы и произведения; размещения, сочетания, перестановки. Формулы для нахождения числа сочетаний, размещений (с повторениями и без), перестановок.

  13. Полиномиальная формула. Бином Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Формула включений и исключений.

  14. Определение графа. Основные понятия: дуги, вершины, противоположные, кратные дуги, петли, изолированные вершины, степень вершины. Теорема Эйлера о числе вершин нечетной степени. Матрицы смежности и инцидентности графов (ориентированных и не ориентированных).

  15. Эйлеровы графы. Критерий эйлеровости графа. Критерий квазиэйлеровости графа.

  16. Деревья и леса. Основная теорема о деревьях.

  17. Взвешенные графы. Задача о кратчайшем соединении. Алгоритм Краскала.

  18. Задача о кратчайших путях. Алгоритм Дейкстры.


Теория функций комплексного переменного


  1. Производная функции комплексного переменного. Критерий существования производных.

  2. Аналитические функции. Свойства аналитических функций. Геометрический смысл производной аналитической функции.

  3. Элементарные функции на комплексной плоскости. Их свойства.

  4. Интеграл от функции комплексного переменного. Интегральные теоремы Коши и интегральная формула Коши.

  5. Изолированные особые точки аналитических функций и их классификация. Признаки особых точек.

  6. Вычеты, основная теорема о вычетах. Приложения к вычислению интегралов функции комплексного и действительного переменного.

  7. Преобразование Лапласа. Изображение элементарных функций. Свойства преобразования Лапласа.

  8. Приложения операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений и их систем.

Теория вероятностей и математическая статистика



  1. Основные понятия теории вероятностей (опыт и событие, виды событий, классическое, геометрическое, статистическое определение вероятности, противоположные события, полная группа событий, элементарные события, действия над событиями)

  2. Аксиоматика теории вероятностей. Аксиомы событий. Аксиомы вероятностей. Следствия из аксиом.

  3. Основные теоремы теории вероятностей: теорема сложения и теорема умножения вероятностей. Вероятность хотя бы одного события. Формула полной вероятности и формула Байеса.

  4. Вероятность событий при повторных независимых испытаниях. Формулы Бернулли, Лапласа, Пуассона.

  5. Законы распределения дискретных и непрерывных случайных величин. Числовые характеристики законов распределения.

  6. Закон больших чисел. Неравенства Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.

  7. Способы получения и графической интерпретации статистического распределения выборки. Основные выборочные характеристики распределения и выборочные законы распределения.

  8. Статистические оценки параметров распределения. Точечная и интервальная оценки неизвестной числовой характеристики генеральной совокупности. Нахождение доверительного интервала для оценки неизвестной числовой характеристики на примере известного закона распределения (для одной из числовых характеристик).

  9. Статистическая проверка статистических гипотез. Основные этапы метода. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции.

  10. Корреляционно-регрессионный анализ. Отыскание выборочного уравнения прямой регрессии. Выборочный коэффициент корреляции и корреляционное отношение.


Математическое моделирование

  1. Симплексный метод решения задач линейного программирования.

  2. Понятие двойственности. Построение пары взаимно двойственных задач.
  3. Первая теорема двойственности и ее экономическое содержание.


  4. Вторая теорема двойственности. Условия дополняющей нежесткости.

  5. Третья теорема двойственности. Экономический смысл объективно обусловленных оценок.

  6. Целочисленное программирование. Методы решения задач целочисленного программирования. Метод Гомори.

  7. Транспортная задача. Модель транспортной задачи. Методы построения начального опорного плана. Метод потенциалов.

  8. Модели нелинейного программирования (выпуклого программирования). Градиентные методы.

  9. Графоаналитическое решение задач нелинейного программирования.

  10. Геометрическая интерпретация и графическое решение задачи линейного программирования.


Дифференциальные уравнения в частных производных


  1. Вывод уравнения теплопроводности для стержня.

  2. Вывод уравнения колебаний для однородной струны.

  3. Вывод уравнения колебаний однородного стержня.

  4. Метод Фурье решения уравнения колебаний.

  5. Метод сеток решения смешанной задачи для уравнений гиперболического типа.

  6. Теорема единственности решения смешанной задачи для уравнений гиперболического типа.

  7. Теорема единственности решения задачи коши для уравнения колебаний струны.

  8. Использование преобразований Фурье для решения задачи Коши о распространении тепла в бесконечном стержне.

  9. Первая и вторая формул Грина.

  10. Гармонические функции. Теорема о максимуме и минимуме.


Программу составили:
Заведующая кафедрой прикладной математики Сабурова Н. Ю.

Доцент кафедры прикладной математики Томашевский И.Л.

Старший преподаватель кафедры прикладной математики Шишова А.В.

Старший преподаватель кафедры математики Бородкина Т.А.

Программа рассмотрена на заседании кафедры прикладной математики,

протокол № 15 от ноября 2009 г.

Заведующая кафедрой прикладной математики Сабурова Н. Ю.