birmaga.ru
добавить свой файл

1
Преобразования в 2D пространстве

Преобразования используются в разных целях: чтобы различные части объекта можно было описывать в различных координатных системах; чтобы типовые и повторяющиеся части объекта можно было располагать в разных и положениях на чертеже и в пространстве, в том числе с использованием циклов; чтобы без повторной кодировки можно было получать симметричные части объекта; для направленной деформации фигур, тел и их частей; для изменения масштаба чертежа, построения проекций пространственных образов и др. С аналитической точки зрения преобразования - это пересчет значений координат. Двухмерные и трехмерные преобразования отличаются по типам.

Преобразование точки


Точка на плоскости представляется двумя координатами: |x y|.

Её простейшее преобразование

 - это преобразование точки в квадратичную матрицу, где
xn= xa+yc; yn= xb+yd

Преобразование фигуры


Если представить фигуру как совокупность точек, то можно провести и её преобразование.


S*=Sн det =Sн |ad-bc| - площадь

новой фигуры равна площади старой фигуры,
умноженной на det соответсвующей матрицы.

пересчёт новых координат фигуры:


Однородные координаты. Операции в них

Проще говоря любая система координат, в которой представление точки в двухмерном (трехмерном) пространстве дается при помощи трех (четырех) координат (Р1 Р2Р3Р4), называется системой однородных координат. Для n-мерного пространства число однородных координат должно быть n+1. Теперь сложные преобразования можно представить, используя произведения матриц. Применение однородных координат в общем случае дает возможность избегать аномалий, возникающих при работе с декартовыми координатами.

Операция cмещения



В представление точки введена дополнительная координата, в результате третья компонента не изменилась . Константа переноса не зависит от системы координат от х или у.

Приведение из неоднородных координат в однородные называется масштабное центральное изменение

В случае выхода рисунка за сечение н=1 рисунок возвращается принудительно в данное сечение, чтобы были возможны следующие операции:

- нормализация однородных координат.



Иллюстрация в 3D:


Общий вид преобразования



Операция масштабирования





Общее полное масштабирование




s<1 увеличение; s>1 уменьшение.

Вращение





Отображение или зеркалирование

  • Зеркалирование относительно y = x



  • Зеркалирование относительно y = 0





  • Зеркалирование относительно x = 0



  • Зеркалирование относительно центра координат y (0,0)


Вращение фигуры вокруг произвольной точки (m,n) на произвольный угол


Чтобы провести любое сложное преобразование необходимо разложить его на базовые опреации.



Примечание: порядок действий существенно определяет их результат.


Центральное проецирование (перспектива)




H - плоскость: px + qy - H + 1 = 0

Нахождение точки пересечения
(2 линии x + y = 1, 2x - 3y = 0).