birmaga.ru
добавить свой файл

1
Задача № 5.153.

Найти средний электростатический потенциал, создаваемый электроном в центре атома водорода, если электрон находится в основном состоянии , где - постоянная, - первый боровский радиус.
Решение:
Найдём постоянную в выражении для пси-функции, используя условие нормировки:
(1)
Тогда выражение для пси-функции имеет вид:
(2)
Потенциал, создаваемой электроном, в центре атоме водорода, равняется:
(3)
где - расстояние от центра атома. В квантовой механике среднее значение физической величины в квантовом состоянии, описываемом пси-функцией , определяется из следующего выражения:
(4)

где - оператор физической величины , - функция, комплексно сопряжённая к пси-функции . Интегрирование производится по всей области возможного нахождения частицы. В нашем случае в качестве элементарного объёма примем объём шарового слоя радиуса и толщиной , . Тогда среднее значение потенциала равняется:

(5)
где - объёмная плотность электрического заряда. Вычислим интеграл (5):
(6)
Ответ: средний потенциал, создаваемый электроном в центре атома водорода, равняется:

.