birmaga.ru
добавить свой файл

1

§1. Понятие числового ряда

Пусть дана числовая последовательность . Формальная сумма



называется числовым рядом или, короче, рядом. Члены последовательности называются членами ряда, называется общим или - ым членом ряда. Для обозначения ряда часто используется короткая форма записи: , т.е.

.

В дальнейшем мы будем рассматривать только ряды, члены которых – действительные числа.

Для каждого сумма



первых членов ряда называется - й частичной суммой этого ряда.

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм: . Число называется суммой ряда, при этом пишут


.

Ряд называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм не имеет конечного предела, т.е. либо не существует, либо этот предел бесконечен.

Пример 1.1. Доказать, что ряд сходится и найти его сумму.

Решение. Общим членом данного ряда является . Поскольку ,

то - ую частичную сумму ряда можно записать в виде



.

Поэтому . Это означает, что ряд сходится и его сумма равна 1, т.е. .

Пример 1.2. Доказать, что ряд расходится.

Решение. Имеем:

,


.

Поскольку , то данный ряд расходится.

Пример 1.3. Доказать, что ряд сходится и найти его сумму.

Решение. Разложим - общий член ряда на простейшие дроби следующим образом:



.

Тогда





.

Поэтому . Значит, ряд сходится и его суммой является число

.

Пример 1.4. Доказать, что ряд сходится и найти его сумму.

Решение. Чтобы упростить выражение для - ой частичной суммы ряда , нужно разложить общий член ряда на простейшие дроби. Это можно сделать так же, как это было сделано в примере 1.3. Но можно применить и метод неопределенных коэффициентов разложения рациональной функции на простейшие дроби, поскольку является рациональной функцией переменной . Запишем в виде


,

где и - подлежащие определению коэффициенты. После приведения этого равенства к общему знаменателю и его отбрасывания получим равенство

.

Положим в этом равенстве , получим ; положив , получим .

Приравняв коэффициенты при и в обеих частях равенства, получаем:

, ,

откуда , .

Таким образом,

.

Следовательно,


.


Переходя к пределу, находим

.

Поэтому ряд сходится и его сумма .

При рассмотрении следующего примера нам понадобится

Утверждение 1.1. 1) Если , то . 2) Если , то .

Докажем это утверждение, воспользовавшись определением предела числовой последовательности


  1. При утверждение очевидно. Пусть . Тогда для неравенство равносильно неравенству . Значит, при . Напомним, что символ обозначаем целую часть числа , т.е. наибольшее целое число, не превосходящее .

Для при .


Значит, мы доказали, что

.

Это означает: .


  1. Пусть . Тогда для при . Значит, . Поэтому . Утверждение доказано.

Пример 1.5. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Составим - ую частичную сумму ряда:

(1.1)

Умножив обе части равенства (1.1) на , получим

(1.2)

Почленно вычтем равенство (1.2) из равенства (1.1):

.

Пусть . Тогда

. (1.3)

Воспользовавшись утверждением 1.1 и формулой (1.3), мы получим, что

при и ;

при и .

Осталось рассмотреть случай .

Если , то ряд примет вид

.

Для него .

Пусть . Тогда ряд примет вид

.

Для него , , .

Имеем: , . Таким образом, две подпоследовательности и последовательности имеют различные пределы. Значит, предел последовательности не существует.


В итоге получен следующий результат: ряд при сходится и , при ряд расходится. Заметим, что часто ряд записывают в виде . Легко видеть, что при

. (1.4)

Теорема 1.1. 1) Если ряд сходится, то для любого сходится ряд , называемой произведением ряда на число и

.

2) Если ряд расходится, то для любого ряд также расходится.

3) Если сходятся ряды и , то сходится ряд , называемый суммой этих рядов и


.

Теорема 1.2. Если сходится ряд , то при каждом сходится ряд , называемый - м остатком ряда , и .

Если какой-нибудь остаток ряда сходится, то сходится и сам ряд.

Следствие. Отбрасывание или добавление конечного числа членов к данному ряду не влияет на его сходимость.

Пример 1.6. Найти сумму ряда .

Решение. Вычислим . Если , где , то . Если , то . Если , то . Значит, если , то , а если , то . Ряды и сходятся (см. пример 1.5), причем по формуле (1.4) , .Поэтому на основании теоремы 1.1 получаем:




.

В ходе вычислений члены вида данного ряда мы представим в виде .

Упражнения.

В упражнениях 1.1 – 1.13 для каждого ряда найти его сумму :

1.1. . Ответ: .

1.2. . Ответ: .

1.3. . Ответ: .

1.4. . Ответ: .

1.5. . Ответ: .

1.6. . Ответ: .

1.7. . Ответ: .


1.8. . Ответ: .

1.9. . Ответ: .

1.10. . Ответ: .

1.11. . Ответ: .

1.12. . Ответ: .

1.13. . Ответ: .

1.14. Доказать, что ряд расходится.

Необходимое условие сходимости ряда. Если ряд сходится, то

(1.5)

Следствие. Если условие (1.5) не выполняется, т.е. , либо не существует, то ряд расходится.


Замечание. Условие (1.5) не является достаточным условием сходимости ряда . Действительно, ряд , как установлено в примере 1.2, расходится. В то же время в силу непрерывности логарифмической функции .

Пример 1.7. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Имеем: , . Необходимое условие сходимости ряда не выполняется и, следовательно, ряд расходится.

Пример 1.8. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Применив первый замечательный предел, получаем:

.

Значит, ряд расходится.

Пример 1.9. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Поскольку функция непрерывна на , то . Данный ряд расходится.

Пример 1.10. Доказать, что ряд расходится.

Решение. Найдем . С помощью правила Лопиталя находим (см. (2.6)), что . Используя это, равенство и непрерывность показательной функции, получаем


.

Как известно, . Поэтому . Учтя это, как и выше имеем

.

Наконец, . Поэтому ряд расходится.

Упражнения.

Используя необходимое условие сходимости, доказать, что каждый из следующих рядов является расходящимся:

1.15. . 1.16. .

1.17. . 1.18. .

1.19. . 1.20. .

1.21. .

Критерий Коши сходимости ряда. Для сходимости ряда необходимо и остаточно, чтобы

(1.6)

Замечание. Если условие (1.6) не выполняется, т.е.


, (1.7)

то ряд расходится.

Пример 1.11. Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость ряда .

Решение. Имеем:





.

Поскольку , то



.

Поэтому для любых натуральных чисел и

(1.8)

Пусть задано . Неравенство

(1.9)

равносильно неравенству . Если , то неравенство (1.9) справедливо при .


Если , то неравенство (1.9) справедливо при . Использовав неравенство (1.8), мы получили, что

,

т.е. выполнено условие (1.6). Значит, данный ряд сходится.

Пример 1.12. Пользуясь критерием Коши, доказать, что ряд расходится.

Решение. Пусть . Для любого натурального возьмем и . Тогда

(1.10)

В правой части равенства (1.10) находится сумма, состоящая из слагаемого, причем, очевидно,

, , , .

Поэтому заменив в (1.10) на , мы получим:

.


Следовательно, выполнено условие (1.7), и данный ряд расходится.

Пример 1.13. Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость ряда , где , .

Решение. Положив , воспользовавшись условием и формулой (1.3), получаем





.

Значит, для всех натуральных чисел и

(1.11)

Пусть - произвольное положительное число. Рассмотрим неравенство

, (1.12)

которое равносильно неравенству . Если , то неравенство (1.12) выполняется при . Если , то , и неравенство (1.12) справедливо при . Значит, для произвольного положительного мы нашли такой номер , что если , а - произвольное натуральное число, то


.

Таким образом, выполнено условие (1.6) и поэтому данный ряд сходится.

Упражнения.

Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость следующих рядов:

1.22. . 1.23. .

Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость следующих рядов:

1.24. . 1.25. .