birmaga.ru
добавить свой файл

1
Определение и свойства предела последовательности.


Определение: задать числовую последовательность – это значит сопоставить каждому номеру действительное число .

Примеры:




- рекуррентная (возвратная) формула, .

- явная формула.



- рекуррентная (возвратная) формула, .

- явная формула.

Основные способы задания последовательности:

  • рекуррентная формула: ,

  • явная формула: .

Определение: говорят, что число является пределом последовательности , если любая окрестность числа содержит все члены последовательности кроме, быть может, конечного их числа.


Под окрестностью числа понимают интервал радиуса .



Пример:

.





Эквивалентное определение: говорят, что число является пределом последовательности , если такой, что .



.

Примеры последовательностей, которые не имеют предела:


  • - колебания.

Определение
: говорят, что последовательность стремится к и пишут , если такой,


что .

Пример: .



Неравенство Бернулли: .

Доказательство:


  1. основание индукции .

  2. по индукционному предположению .

  3. по индукционному доказательству .

Теорема: если предел существует, то он единственный.

Доказательство: предположим противное, тогда, начиная с какого-то номера………………………



Арифметические действия с пределами:

Если последовательность и , то

  1. .

Доказательство: по условию ,


положим , из неравенства треугольника .


при . ч.т.д.


  1. .

Доказательство: по условию ,



положим ,

при . ч.т.д.


  1. .

Теорема (принцип сжатой последовательности или правило двух милиционеров):

Если при то .



Доказательство: пусть .



По условию



. ч.т.д.