birmaga.ru
добавить свой файл

1

Общая теория относительности (Теория тяготения)

Вопрос: В чем заключается усложненный вариант теории относительности?

Под усложненным вариантом, по видимому, подразумевается общая теория относительности (ОТО). Эйнштейн (A. Einstein), как известно, пытался построить общую теорию из которой бы следовали все взаимодействия, но не преуспел. Название "Общая теория относительности" принадлежит Эйнштейну. Это название является неадекватным и постепенно исчезает из литературы, заменяясь на "теорию тяготения" [1].

Основные идеи


Из школьного курса известны постулаты теории тяготения Ньютона. Теория Ньютона предполагает мгновенное распространение тяготения и уже по этому не может быть согласована со специальной теорией относительности, утверждающей что никакое взаимодействие не может распространяться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме. Поэтому требовалась более общая теория тяготения (ею и стала ОТО). В линейном приближении (на относительно больших расстояниях и для относительно малых масс - гравитационный потенциал мал ) ОТО переходит в теорию тяготения Ньютона.

Построение ОТО Эйнштейн начал в 1907 году и закончил вместе Х.Д. Гильбертом (H.D Hilbert) в 1915. Большой вклад в развитие математического аппарата теории внес в 1908-10 годах Г. Минковский (H. Minkowski).

В основе ОТО лежит экспериментальный факт равенства инертной массы (входящей во 2-ой закона Ньютона) и гравитационной массы (входящей в закон тяготения) для любого тела. Это равенство проявляется в том, что движение тела в поле тяготения не зависит от его массы. Следствием этого является отсутствие гравитационно нейтральных тел.

В работе, сделанной в 1907 г., Эйнштейн предложил мысленный эксперимент [2]: представим себе гигантский небоскреб высотой 1000 км и физика, находящегося внутри свободно падающего лифта в этом небоскребе. Физик выпускает из рук платок и часы и убеждается, что они не падают на пол лифта. Если он сообщает этим вещам толчок, то они движутся равномерно и прямолинейно, пока не столкнутся со стенками лифта. Физик приходит к выводу: я нахожусь в ограниченной галилеевой системе. Условие ограниченности необходимо для того, чтобы можно было считать, что все тела испытывают одинаковое ускорение. Но физик, наблюдающий извне за падением лифта, будет судить о вещах совершенно иначе. Он видит, что лифт и все находящееся в нем движутся ускоренно в соответствии с законом тяготения Ньютона.


Этот пример показывает, что можно перейти от галилеевой системы к ускоренной, если учесть гравитационное поле. Иными словами гравитационное поле (в котором проявляется гравитационная масса) эквивалентно ускоренному движению (в котором проявляется инертная масса). Гравитационная масса и инертная масса характеризуют одно и то же свойство материи, рассматриваемое по-разному (разность массы современными экспериментальными методами не обнаружена). Таким образом, Эйнштейн пришел к принципу эквивалентности, который он так сформулировал в своей автобиографии:

В поле тяготения (малой пространственной протяженности) все происходит так, как в пространстве без тяготения, если в нем вместо "инерциальной" системы отсчета ввести систему, ускоренную относительно нее.

Данный принцип позволяет трактовать тяготение как искривление пространства-времени.

Уравнение движения в гравитационном поле


Тела в гравитационном поле движутся по геодезическим линиям, если на них не действуют другие (негравитационные) силы. Уравнение геодезической линии в искривленном пространстве-времени записывается в виде



(1)

где -- координата, измеряемая вдоль геодезической линии, величины называются символами Кристофеля (, , меняются от 0 до 3); , , -- компоненты четырехмерного вектора пространства-времени , где -- обычный трехмерный пространственный вектор, а ( -- скорость света, -- время).


Искривление пространства-времени характеризуется символами Кристофеля. Если все символы Кристофеля равны 0, что соответствует отсутствию гравитационного поля, то уравнение геодезической переходит в уравнение прямой , где -- ускорение тела, то есть мы получаем первый закон Ньютона. В приближении Ньютона геодезическими линиями являются прямые.

Подробно математический аппарат и выводы следствий общей теории относительности описаны в [4].

Черные дыры


Одним из интересных следствий общей теории относительности является существование черных дыр. Решение уравнений Эйнштейна (1), в пустоте, в случае изолированного сферически-симметричного источника поля массы называется решением Шварцшильда. В этом случае ускорение свободного падения имеет вид:



(2)

где -- гравитационная постоянная, -- скорость света, -- расстояние до источника.

Это выражение отличается от Ньютоновского выражения для ускорения корнем в знаменателе. Величина стремится к бесконечности, когда стремится к 0




(3)

величина называется гравитационным радиусом (гравитационный радиус Солнца км, гравитационный радиус Земли см). Сфера радиуса называется сферой Шварцшильда. Вторая космическая скорость в теории Ньютона дается выражением



(4)

Следовательно, при величина становится равной скорости света. Если сферическое тело массой сожмется до размеров, меньших , то свет не сможет выйти из под сферы Шварцшильда. Такие объекты получили названия черных дыр (термин "черная дыра" был введен в 1968 г. Дж. Уилером (J.A. Wheeler)).

Теоретическая астрофизика предсказывает возникновение черных дыр в конце эволюции массивных звезд; возможно существование черных дыр и другого происхождения (реликтовые черные дыры - остатки после "большого взрыва"). На данный момент астрономы наблюдают объекты, которые представляют из себя двойные звездные системы, в состав которых (как предполагается) входят черные дыры.

Опыты подтверждающие общую теорию относительности


Вопрос: Из каких опытов следует общая теория относительности?

Общая теория относительности является довольно молодой теорией. Так как она работает с самым слабым по силе взаимодействием (гравитационным), то эксперименты для ее подтверждения при существующем уровне экспериментальной техники в лабораторных условиях практически невозможны. Практически все имеющиеся на данный момент косвенные экспериментальные подтверждения теории пришли из астрофизики.

Проверка принципа эквивалентности


Поскольку в основе теории тяготения Эйнштейна лежит принцип эквивалентности, его проверка с максимально возможной точностью является важнейшей экспериментальной задачей. Л. Этвиш (L. Eotvos) с помощью крутильных весов доказал справедливость принципа эквивалентности с точностью до , Р. Дикке (R. Dicke) с сотрудниками довел точность до , а В.Б. Брагинский с сотрудниками -- до .

Проверка постоянной тяготения

В теории Эйнштейна постоянная тяготения: м/кгс, не меняется с течением времени. Наблюдения подтверждают неизменность с точностью лет с.

Отклонение луча света в поле Солнца


Рисунок 1.: Схема эксперимента по отклонению луча в поле Солнца



Одним из косвенных экспериментальных подтверждений ОТО является отклонение луча света в поле Солнца. Из эксперимента было получено, что электромагнитное поле взаимодействует с гравитационным полем. Схема эксперимента приведена на рис. 1. Мы точно знаем, когда звезда должна скрываться за Солнцем. Мы измеряем время, когда мы перестаем видеть эту звезду (эти эксперименты проводятся во время полных солнечных затмений), и извлекаем угол отклонения луча света от прямой. Из теории угол отклонения для Солнца равен:



(5)

где -- гравитационный радиус Солнца (см. (3)), -- прицельный параметр (в данной постановке эксперимента он примерно равен радиусу Солнца).

Из эксперимента с точность около 0,3% (данные 1984 г.), что полностью соответствует теории.

В принципе, отклонение луча в поле Солнца вытекает также и из ньютоновской корпускулярной теории света, но угол отклонения предсказывается ровно в два раза меньше, чем дает эксперимент. Расчет для этой теории был проведен Зольдерном еще в 1804 году. Любопытно, что в своих расчетах Зольдерн сделал ошибку и получил "правильный" ответ с экспериментальной точки зрения (расчет был сделан до проведения эксперимента). Позже эту ошибку обнаружили.


Космический телескоп Хаббл (Hubble) сфотографировал объект, который представлял собой диск звезды (не Солнца), на краю которого была выемка. Была высказана гипотеза, что такое изображение возникло из-за того, что вокруг этой звезды вращается планета (массой от 0.1 до 10 масс Юпитера) и именно эта планета изменила траекторию лучей так, что в диске появилась выемка. Это не подтверждение ОТО, но показатель того, что взаимодействие луча света с гравитационным полем можно использовать как инструмент для исследования объектов, которых иным способом разглядеть невозможно.

Изменение частоты в поле тяготения


Теория предсказывает изменение частоты (красное смещение) при распространении между точками 1 и 2, разность гравитационных потенциалов между которыми равна , где -- ускорение свободного падения, -- перепад высот между точками 1 и 2. Это верно если мы проводим эксперимент в лабораторных условиях, то есть перепад высот мал по сравнению с радиусом Земли ( )



(6)

Эксперименты в лаборатории подтвердили эту формулу с точностью 1% (для регистрации изменения частоты использовался эффект Мессбауэра), а с помощью водородного мазера, установленного на ракете, точность доведена до от предсказываемой величины (1980).

Запаздывание сигнала в поле Солнца


Рисунок 2.: Запаздывание сигнала в поле Солнца



Еще один косвенный эксперимент, подтверждающий ОТО -- запаздывание сигнала в поле Солнца. Схема эксперимента показана на рис. 2. Сигнал посылается на Венеру и регистрируется время прихода сигнала обратно. Значение времени прохождения сигнала туда и обратно в поле Солнца (гравитационный объект искажает пространство-время) отличается от значения если бы Солнца не было (свободное пространство -- нет искажений). Время задержки сигнала из теории примерно равно



(7)

где -- гравитационный радиус Солнца (см. 3), -- радиус орбиты Земли, -- радиус орбиты Венеры, -- прицельный параметр, -- скорость света.

Из эксперимента с с точностью до 0,1%, что полностью соответствует теории.


Эксперименты проводились с помощью радиолокации планет Меркурий и Венера во время их прохождения за диском Солнца, а также с помощью ретрансляции радиолокационных сигналов космическими кораблями, в том числе кораблями, движущимися вокруг планеты Марс.

Смещение перигелия


Из школьного курса физики известно, что планеты двигаются вокруг Солнца по замкнутой эллиптической орбите (если не учитывать влияние других тел -- например, Юпитер сильно влияет на своих соседей). Движение по замкнутой орбите является следствием того, что гравитационное взаимодействие устроено таким образом, что потенциальная энергия определяется по формуле:



(8)

где -- расстояние между взаимодействующими телами массы и , -- гравитационная постоянная.

Существует лишь два типа центральных полей, в которых все траектории финитных (тело не уходит на бесконечность) движений замкнуты. Это поля, в которых потенциальная энергия частицы пропорциональна или (для подробного объяснения смотрите [3], параграф 14, "Движение в центральном поле").

Есть несколько причин смещения перигелия (точка максимального сближения тел), но их суммарный вклад недает совпадения теории с экспериментом. ОТО дает недостающую поправку.


Из-за того, что Солнце массивный объект, пространство искривлено, а так как планеты двигаются по эллипсам (то приближаются, то удаляются), то зависимость потенциальной энергии от радиуса нарушается (она переходит в зависимость ) и орбита планеты перестает быть замкнутой.

Самый удобный объект для исследований -- Меркурий -- он ближе всех к Солнцу.

Угол смещения перигелия за один оборот равен:




(9)

где -- масса Солнца, -- гравитационная постоянная, и -- большая полуось и эксцентриситет эллипса орбиты, -- скорость света.

За 100 лет смещение перигелия Меркурия составило , а по теории это смещение равно -- потрясающая точность.

Ниже идут теоретические и экспериментальные значения угла смещения перигелия за 100 лет еще для некоторых небесных тел:

Смещение перигелия за 100 лет


Планета

Эксперимент

Теория

Меркурий





Венера





Икарус





Земля




Гравитационное линзирование


Рисунок 3.: Гравитационная линза


Так как лучи света искривляются в поле Солнца, то, вероятно, массивные объекты можно использовать как линзы. Схема эксперимента приведена на рис. 3. Наблюдатель находится в точке O, в точке A находится источник света (например, галактика). Если в точке C находится массивный гравитационный объект (туманность, галактика или другое массивное тело), то из-за искривления хода луча, нам будет казаться, что наблюдаемый удаленный объект находится в точке B, то есть мы его как бы увеличиваем. Этот эффект называется гравитационным линзированием. Он наблюдаем только в том случае, если масса гравитационной линзы порядка масс Солнца и больше.


Конечно, гравитационная линза своим поведением сильно отличается от оптической в силу того, что теория гравитации принципиально нелинейна. Если бы удаленный объект находился на линии наблюдатель -- линза, то наблюдатель увидел бы кольцо (на рис. 3 справа выделено пунктиром) -- кольцо Эйнштейна. Вероятность подобного совпадения мала (мы не имеем возможностей изменять какую либо из базовых точек), точечный источник будет виден как две дуги (на рис. 3 справа) внутри и снаружи относительно кольца Эйнштейна. Впервые подобный объект был обнаружен в 1979 году. Он выглядел как две туманности с абсолютно одинаковым спектром излучения. Сейчас ведется поиск подобных объектов. Серьезно изучается вопрос о наблюдении структуры галактик с помощью этого эффекта.

С помощью подобного эффекта (гравитационного микролинзрования -- масса гравитационной линзы очень мала) были обнаружены коричневые карлики. Коричневые карлики -- это невидимые объекты не очень большой (по звездным меркам) массы. Если какой-либо коричневый карлик встанет на линию наблюдатель -- яркий объект, то наблюдается изменение яркости объекта. Коричневый карлик играет роль линзы. По изменению яркости и расстоянию до наблюдаемого объекта можно грубо оценить массу гравитационной линзы. Эти оценки показывают, что наблюдаемые таким образом объекты являются коричневыми карликами.

На данный момент не существует других способов зарегистрировать темный объект, кроме как использовать эффект гравитационной линзы.

Гравитационное излучение

Известно, что электромагнитное взаимодействие квантуется. Существуют частицы -- -кванты, которые переносят это взаимодействие. -кванты -- это фотоны из которых состоит луч света. Эйнштейн хотел написать общую теорию взаимодействия, которая объединила бы все известные типы взаимодействия в одно. Логично предположить, что существует некая частица, которая переносит гравитационное взаимодействие (следует отметить, что сам Эйнштейн был противником квантовой механики). Если есть кванты взаимодействия, то есть и гравитационное излучение. Очень заманчиво научиться делать приемники, которые улавливают это излучение, так как в этом случае мы получили бы еще один инструмент изучения Вселенной.


Попытки создать подобный приемник предпринимаются в данное время, но гравитационные волны на существующих установках (MAUTIGUS, AURIGA, EXPLORER -- название работающих установок) не обнаружены, что не удивительно, слишком уж гравитационное взаимодействие слабое.

Существуют другой, косвенный метод проверки гипотезы о существовании гравитационного излучения. В великолепном учебнике [4], написанном Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшицом, в параграфе 110 "Излучение гравитационных волн" была предложена и разобрана задача:

Задача: Два тела, притягивающиеся по закону Ньютона, движутся по круговым орбитам (вокруг их общего центра инерции). Определить среднюю (по периоду обращения) интенсивность излучения гравитационных волн.

Если предположить, что такой объект существует, то из-за потери энергии на гравитационное излучение происходит постепенное (как говорят вековое) сближение тел, а следовательно и увеличение частоты вращения. Скорость изменения частоты вращения двойной звезды со временем равна:




(10)

где -- угловая частота вращения двойной системы вокруг общего центра масс, -- гравитационная постоянная, и -- массы вращающихся тел, -- расстояние между телами.


Коэффициент перед весьма нетривиален. Если она верна, то это сильный довод в пользу существования гравитационных волн.

Несколько лет назад были опубликованы результаты (Тэйлор и Кол -- они получили за это Нобелевскую премию) наблюдения одного астрофизического объекта (изучение движения пульсара PSR 1913+16 в двойной системе). Объект представлял из себя систему двойной звезды. Партнеры в этой системы очень сильно отличались друг от друга (в паре есть пульсар). За этим объектом велись наблюдения в течении 14 лет (1975-89) -- он был очень хорошо изучен. Было обнаружено, что со временем период вращения уменьшается. Результаты были обработаны и полностью (с точностью до 1%) совпали с теорией (скорость изменения угловой частоты вращения полностью совпала с результатом формулы (10)). При опубликовании результатов авторы ссылались на задачу в учебнике Ландау - Лифшица. Вся теория была взята именно оттуда. На данный момент ведется очень активный поиск подобных объектов (по крайней мере, найдено еще два таких объекта).

Заключение

На протяжении более 80 лет теория Эйнштейна демонстрирует свою необычайную стройность, экономность построения и красоту. На данный момент существует множество экспериментов и наблюдений, подтверждающих правильность общей теории относительности Эйнштейна и не наблюдается физических явлений, противоречащих ей. Следовательно, ОТО скорее верна чем нет.