birmaga.ru
добавить свой файл

1
Леткинская средняя школа


10 класс
Обобщающий урок
Тема :






Составила: учитель Сарайкина А.Н.

Цели урока:

повторить, обобщить и дополнить знания по данной теме;

познакомить учащихся с историей развития тригонометрии;

показать связь тригонометрических уравнений с физикой;

способствовать дальнейшему развитию логического мышления.


Литература:

1. Журнал «Математика в школе» №4,1995

2. КраморВ.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа.

3.Глейзер Г.И. История математики в школе.

Подготовка к уроку.
На подготовку к обобщающему уроку учитель нацеливает учащихся после проведения урока по решению уравнений стандартными приемами, т.е. после третьего урока данной темы. Он доводит до ребят перечень теоретических и практических упражнений, которые являются основными (упражнения на специальном стенде вывешиваются в классе); указывает литературу, к которой могут обратиться ученики. Дает десятиклассникам задание на нахождение задач, которые раскрывают прикладную направленность материала данной темы, т.е. определяют межпредметные связи изучаемой темы. Дает конкретные задания некоторым учащимся, например, приготовить небольшой доклад по истории развития данной темы.

Перечень упражнений, которые вывешиваются на стенде.

Решите уравнения:

1. 2Cos2 х +3Cosх +1=0,

2. 2Sin2 х +5Sinх+2=0,

3. 3Sin2 х-11Cosх-9=0,

4. 4Cos2 х+11Sinх -10=0,

5. 3Sinх-2Сosx=0,

6. 4Cosx+2Sinx=0,

7. Sin2x-2Sinx=0,

8. Cos2x+Sinx=0,

9. tgx-12ctgx+1=0,

10. tgx+ctgx=2.

Ход урока.
I.Самостоятельная работа-5 мин .(С.р. включает четыре задания из тех, которые помещены на стенде. С.р. выполняется на отдельных листах, она оценивается отдельно).

1 вариант 2 вариант

1. 2 Cos2x + 3Сosx +1 =0 1.2Sin2x +5Sinx +2=0

2. 3Sin2x -11Cosx-9=0 2.4Cos2x+11Sinx-10=0

3.Sin2x-2Sinx=0 3.Сos2x+Sinx=1

4.tgx-12ctgx+1=0 4.tgx+ctgx=2

II.Доклад «Исторические сведения о развитии тригонометрии»

(подготовлен учеником по дополнительной литературе, по заданию учителя)

Доклад: История тригонометрии



Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников (trigwnon - треугольник, а metrew- измеряю).
В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников.
Возникновение  тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом.
Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад.
Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.

Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые Аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вафа, Мухамед-бен Мухамед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с точностью до 1/604. Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский  астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274). Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.

Длительную историю имеет понятие синус. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III веке до н.э. в работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Апполония Пергского. В римский период эти отношения достаточно систематично исследовались Менелаем (I век н.э.), хотя и не приобрели специального названия.  Современный синус a, например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной a, или как хорда удвоенной дуги. Рис. 1
В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты, именем которого назван первый индийский спутник Земли. Отрезок АМ (рис. 1) он назвал ардхаджива (ардха – половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками  в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в  веке оно было заменено латинским синус (sinus – изгиб, кривизна).
Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completely sinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”; cosa =  sin( 90° - a)).
Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов.  Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.

Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г.  Tangens переводится как «касающийся» (линия тангенсов – касательная к единичной окружности).

Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а также в работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.
Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер, т. е. Факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов. Пожалуй, наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практический интерес (например, для решения задач определения местонахождения судна, предсказания затемнения и т. д.). Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников. И надо заметить, что математики древности удачно справлялись с поставленными задачами.
Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались, и приобрели важное значение для всей математики.

Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII веке Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук. Громадное научное наследие Эйлера включает блестящие результаты, относящиеся к математическому анализу, геометрии, теории чисел, механике и другим приложениям математики. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее проще,

Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.
Позднее часть тригонометрии, которая изучает свойства тригонометрических функций и зависимости между ними, начали называть гониометрией (в переводе – наука об измерении углов, от греческого gwnia - угол,  metrew- измеряю). Термин гониометрия в последнее время практически не употребляется.


III.О прикладной направленности тригонометрических уравнений

(докладывает ученик, который подготовил две физические задачи)
Задача 1.(ученик решает у доски с объяснением)

Силы переменных токов, протекающих в двух проводниках, выражаются соответственно функциями

I =10 Sin50t и I=20 Sin50(t+0,0314)

Определите момент времени t, в которых силы токов в обоих проводниках принимают равные значения.

Решение.

Так как по условию задачи I=I , то получаем следующее тригонометрическое уравнение

10Sin50t=20Sin50(t+0,0314)

10Sin50t-20Sin(50t+1,57)=0

10Sin50t-20(Sin50tCos1,57+Cos50tSin1,57)=0

10Sin50t-20(Sin50tCos+Сos50tSin)=0

т.к.Cos=0, а Sin=1,то получаем

10 Sin50t+20Cos50t=0

Sin50t+2Cos50t=0, делим на Cos50t

tg50t+2=0

tg50t=-2, 50t=arctg2+Пп, пZ

t=-+, пZ.


Задача 2 (данную задачу учитель предлагает решить дома).

Две силы Р и G приложены к материальной точке. Найдите угол между этими силами, если известно, что длина их равнодействующей не изменится, если этот угол увеличить в два раза.

IV. Решение тригонометрических уравнений повышенной трудности.

Например: Cos2x +Cos22x+Cos23x+Cos24x=2

Учитель замечает, что при решении данного уравнения используются формулы понижения степени:

(1). 1-Cosx=2Sin2(x/2) (2). 1+Cosx=2Cos2(x/2)
Решение.

Cos2x+Cos22x+Cos23x+Cos24x=2

1+Cos2x+1+Cos4x+1+Cos6x+1+Cos8x=4,

Cos2x+Cos4x+Cos6x+Cos8x=0,

(Cos4x+Cos6x) + (Cos2x+Cos8x)=0,

2Cos5xCos+2Cos5xCos3x=0,

2Cos5x(Cosx+Cos3x)=0,

Cos5x=0 или Cosx+Cos3x=0

5x=П/2+Пn, nZ 2Cos2xCosx=0

x1=П/10+Пn/5, nZ Cos2x=0, Cosx=0

2x=П/2+Пn/2, nZ

x2=П/4+Пn/2, nZ

x3=П/2+Пn, nZ.

Остальные подобранные учителем уравнения вывешиваются на стенде

а) Sin4x+Cos4x= (решаем двумя способами)

б) Sin2x+ Cos22x+Sin23x=1,5 (это уравнение учитель задает на дом)



а) Sin4x+Cos4x=

Решение.

I способ. Воспользуемся равенством

Sin4x+Cos4x=(Sin2x+Cos2x)2- 2 Sin2xCos2x

Откуда 1- 2Sin2xCos2x=,

2Sin2xCos2x = ,

Умножим обе части уравнения на 2, получим

2SinxCosx2=

Sin22x=, Sin2x=, 2x=

x=

II способ. Используя формулы понижения степени (1) и (2), получим

Sin4x+Cos4x= (Sin2x)2+(Cos2x)2=

После преобразования получим,

значит

б) Sin2x+Cos22x+Sin23x=1,5

Решение.

Решим это уравнение способом понижения степени, используя формулы (1), (2)




1-Cos2x+1+Cos4x+1_Cos6x=3,

Cos2x-Cos4x+Cos6x=0,

Cos2x+Cos6x-Cos4x=0

Сумму по соответствующим формулам преобразуем в произведение и вынесем общий множитель за скобки, получим

2Cos4xCos2x – Cos4x=0

Cos4x(2Cos2x-1)=0

Cos4x=0 2Сos2x=1

4x=П/2+Пn, Сos2x=1/2

x= 2x=

x =+Пn,

По ходу урока учитель дополняет сообщения учащихся, делает обобщения и выводы.
V.Систематизация теоретического материала, приемов и способов решения тригонометрических уравнений и неравенств
Глубина и широта охвата материала при этом определяется составом учащихся,

профессиональной подготовкой учителя, наличием литературы в кабинете математики.

VI. Самостоятельная работа.

Упражнения, подобранные учителем для каждого варианта, должны решаться одинаковыми приемами, чтобы после ее окончания организовать проверку методом парного контроля
I вариант II вариант

1. Sin3x+Cosx=2Sin2x; 1.Cos3x-Cosx=2Sin2x,

2.3Sinx+Cosx=1; 2.Sinx-3Cosx=1,

3.SinxCosx. 3.Cos2x-Sin2x.

Ответы: Ответы:

1.x1=; x2=; 1.х1=


x3 =(-1)n х2=

2.х1= arctg3+Пn, n 2.х1=

х2=2Пn, n х2=-2arctg2+2Пn, n

3. 3.

VII.Итог урока.