birmaga.ru
добавить свой файл

1
МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ


МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Наиболее распространенным в кинематике является координатный метод решения задач, который уже применялся выше. Суть его отражается в пунктах следующего предписания.


  1. Выберите систему: тело отсчета, начало отсчета времени. Свяжите с телом отсчета систему координат.

  2. Изобразите в выбранной системе отсчета все кинематические характеристики движения каждого из рассматриваемых тел в начальный, конечный, промежуточные моменты времени – координаты, перемещения, скорости, ускорения.

  3. Запишите для каждого из рассматриваемых тел уравнения движения в координатной форме ().

  4. Запишите для каждого из рассматриваемых тел уравнение скорости в проекциях на выбранные направления ().

  5. При необходимости запишите дополнительные уравнения.

  6. Решите полученную систему уравнений относительно неизвестных величин.

Следует иметь в виду, что данное предписание содержит лишь пункты, касающиеся только кинематической части задачи. В нем отсутствуют такие обязательные для решения каждой задачи пункты, как, например, анализ условия, поиск рационального или оригинального подхода к решению, поверка ответа. Кроме того, надо отдавать себе отчет в том, что данное предписание не является алгоритмом и не дает никакой гарантии на получение результата в случае его точного исполнения. Более того, некоторые указания в конкретных случаях могут и не выполняться. Например, если отсутствует требование найти скорость тела в заданный момент времени, четвертый пункт может быть опущен. Может не изображаться на чертеже часть кинематических характеристик. Вместе с тем, следование предписанию может оказаться весьма полезным.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
  1. Мотоциклист въезжает на высокий берег рва, параметры которого указаны на рисунке. Какую минимальную скорость должен иметь мотоциклист в момент отрыва от берега, чтобы перескочить ров?


В момент отрыва скорость мотоциклиста будет направлена под углом к горизонту. Поместим начало системы координат в точку А и изобразим оси координат. Так как в задаче требуется найти минимальную скорость, то это означает, что в горизонтальном направлении мотоциклист должен пролететь расстояние   если он пролетит меньше, то упадет в ров, если пролетит больше, то его скорость будет больше минимально необходимой.

Вдоль оси мотоциклист движется равномерно, а вдоль оси движение мотоциклиста равнопеременное с ускорением, равным ускорению свободного падения . Запишем, учтя это, уравнения движения мотоциклиста.



В момент приземления координата , а координата . Время движения по горизонтали и по вертикали равны. С учетом этого можно записать:



Выразим из уравнения (1) время и подставим его в уравнение (2), тогда получим:


Выразим из уравнения (3) и получим ответ:


.


  1. Ш
    арик свободно падает на наклонную плоскость с высоты и упруго отскакивает от нее. На каком расстоянии от места падения он второй раз ударится о плоскость?


Так как удар шарика упругий, то угол между вектором скорости шарика и перпендикуляром к наклонной плоскости равен .

Поместим начало системы координат в точку и изобразим оси координат. При таком выборе осей движение вдоль оси является равноускоренным, так как проекция вектора на эту ось отлична от нуля и равна . Движение вдоль оси тоже укоренное – проекция ускорения на эту ось равна ().

Найдем скорость шарика в момент удара о наклонную плоскость, для чего воспользуемся законом сохранения энергии:

.

С такой скоростью шарик отскочит от плоскости, то есть .


Запишем уравнения движения шарика, учтя что :




Тогда получим:



Так как время движения шарика по горизонтали и вертикали равны и в момент второго удара координата шарика равна нулю, то, выразив время движения из уравнения (2)
и, подставив его в уравнение (1), получим:

Из рисунка видно, что координата . Тогда получаем ответ:.

Эту задачу можно было бы решить и по-другому, не прибегая к координатному методу решения. Альтернативой координатному способу решения может быть векторный способ решения задач.

Выполним чертеж.

Угол =, т.к. угол падения равен углу отражения. Угол =, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Шарик, по условию задачи, касается плоскости дважды, пусть в точках А и В. При этом он совершает перемещение. Так как движение происходит в поле тяжести, то и .

О векторе мы знаем, что он направлен вертикально вниз и заканчивается в точке В.

О векторе мы знаем, что он направлен вдоль вектора и длина его ограничивается точкой пересечения с вектором .


Достроим чертеж, опустив из точки С на основание треугольника АВС перпендикуляр.

Угол ACD =    как вертикальные накрест лежащие.

CAD =

CBD =

Следовательно, CAD = CBD.

Это означает, что ACB – равнобедренный.

Таким образом:

.



Это и есть ответ к данной задаче. Но так как нам неизвестна начальная скорость шарика при отскоке, но известна высота, с которой он упал, необходимо решить еще одну задачу, которая позволила бы установить связь между этими величинами. Для этого можно воспользоваться уравнением, связывающим начальную скорость тела (в данном случае она равна нулю), конечную скорость (скорость непосредственно перед ударом о плоскость), и ускорение движения тела (ускорением свободного падания): .

Окончательно получим .

  1. Из шланга, лежащего на земле, бьет под углом к горизонту вода с начальной скоростью . Площадь сечения отверстия шланга равна . Определить массу струи, находящейся в воздухе. Плотность воды .


Трудность решения данной задачи носит психологический характер и не связана со сложностью математических преобразований. Математические преобразования, как и в двух предыдущих задачах, для подготовленного ученика не вызывают особых затруднений   здесь требуется внимательность и аккуратность.

Большинство учащихся, решавших данную задачу, непосредственно стремились найти длину струи, находящейся в воздухе, то есть длину части параболы. Несомненно, это можно сделать, однако, необходимый для этого математический аппарат у учащихся на данном этапе отсутствует. В связи с этим задача кажется неразрешимой.

Вода поступает в струю из шланга. Время, в течение которого первая порция жидкости, вылетевшей из шланга, находится в воздухе, равно времени поступления жидкости в струю. То есть для решения задачи достаточно найти время полета. За это время из шланга в струю поступить жидкость, занимающая объем , где .

Время полета .

Тогда искомая масса жидкости равна:

.

.

Подставив в полученную формулу числовые значения, получим:



К задачам, вызывающим, скорее, трудности психологического характера, можно отнести и следующую.

  1. Д

    ва стержня пересекаются под углом и движутся с равными скоростями перпендикулярно самим себе. Какова скорость точки пересечения стержней.


Д
ля решения данной задачи нужно сделать рисунок, изобразив на нем положения стержней для двух моментов времени.

За время каждый из стержней сместится параллельно самому себе на некоторое расстояние . Из рисунка видно, что точка пересечения стержней за это же время переместится на расстояние . Обозначив скорость перемещения точки пересечения как , можно записать:



С другой стороны, из прямоугольного треугольника следует, что



Следовательно, приравнивая правые части выражений (1)
и (2) можно записать:

.

Тогда скорость движения точки пересечения стержней равна:.

  1. Автомобиль, имеющий скорость 10м/c, в некоторый момент времени начинает двигаться с отрицательным ускорением (). С таким ускорением он продолжает двигаться в течение 6 секунд. Какой путь пройдет автомобиль за это время?

Казалось бы, задачу можно решить просто, воспользовавшись известной формулой:




Однако по приведенной формуле находится проекция перемещения тела. Путь же, даже при прямолинейном движении тела, не всегда численно совпадает с его перемещением.

Будем решать задачу в системе отсчета, неподвижной относительно Земли. Начнем отсчитывать время с момента появления у автомобиля ускорения.

С
вяжем точку отсчета с положением автомобиля в этот момент времени. Ось координат направим в сторону начальной скорости автомобиля.

Отобразим на чертеже все необходимые кинематические характеристики движения тела (координаты, перемещения, скорости и ускорения) в начальный, конечный и промежуточные моменты времени.

Начальная координата автомобиля 0, в этот момент времени у автомобиля имеется скорость , направленная по оси X, и в этот же момент у автомобиля появляется ускорение , направленное в противоположную выбранной оси сторону. Знак минус говорит о том, что ускорение направлено против установленного нами направления.

Автомобиль, двигаясь с ускорением (-2 м/с2 ), уменьшает свою скорость. Прежде, чем рассуждать дальше, произведем несложные расчеты.

Скорость автомобиля уменьшается и через одну секунду она будет равна 8 м/с, через 2 секунды - 6 м/с, через 3 секунды - 4 м/с, через 4 секунды - 2 м/с. Через 5 секунд автомобиль остановится.

Может показаться, что раз автомобиль остановился, то условие задачи сформулировано неверно.

В связи с этим, один из вариантов решения рассматриваемой задачи может быть таким: мы, воспользовавшись данным уравнением, подставляем в него значение времени 5 с, в течение которого, как нам кажется, автомобиль двигался, и рассчитываем перемещение. Это можно сделать устно. Производим подстановку значений в уже использованную ранее формулу. После несложных вычислений получаем


Но на самом деле текст задачи несколько иной. В задаче четко сказано, что автомобиль двигался не 5, а 6 секунд, и требуется найти путь, пройденный им в течение 6 секунд.

Одним из вариантов такого движения, когда автомобиль действительно мог бы двигаться еще одну секунду, является движение автомобиля в горку.

Представим себе следующую ситуацию. Автомобиль разогнался и у основания горки водитель выключил двигатель. Автомобиль въезжает на горку, его скорость действительно уменьшается, он движется с отрицательным ускорением. Через 5 с автомобиль останавливается и начинает двигаться назад, то есть скатываться с горки. Он может двигаться еще некоторое время: секунду, две, три и так далее, но он движется уже назад. При этом скорость автомобиля по величине возрастает. Вектор же ускорения направлен против оси, и поэтому даже для случая увеличения скорости, мы обязаны считать это ускорение отрицательным.

Отобразим на чертеже координату точки остановки. В этой точке ускорение у автомобиля все равно есть, оно по-прежнему направлено против оси и его проекция равна (-2 м/с2)

В нашем случае автомобиль через 5 с остановился, потом начал движение в обратном направлении и через секунду он оказалось ближе к началу координат.

Автомобиль совершил перемещение до остановки, потом он совершил перемещение в обратном направлении.

Пройденный автомобилем путь оказался равным сумме модулей перемещений и :

.

Сначала мы рассчитываем по формуле, которую уже использовали, перемещение автомобиля за 5 с (это перемещение мы уже определили - оно равно 25 м).


Затем решаем вторую задачу.

Тело имеет начальную скорость 0 и начинает двигаться с ускорением 2 м/с2. Какое перемещение оно совершит за одну секунду?

Воспользуемся тем же самым уравнением, только начальную скорость примем равной нулю. Рассчитаем перемещение ΔS2: . Подставляя числа, получим:

Окончательно: