birmaga.ru
добавить свой файл

1

Математический анализ


Студенты должны:

знать


  • основные понятия дифференциального и интегрального исчисления функций одной переменной, основные методы вычисления пределов, дифференцирования и интегрирования функций;

уметь

  • применять математическую символику для выражения количественных и качественных отношений объектов;

  • вычислять пределы и производные, применять основные методы интегрирования функций;

  • применять дифференциальное и интегральное исчисление для решения прикладных задач;

владеть

  • навыками использования математического аппарата при решении прикладных задач.



Теория пределов. Понятие функции, предел функции и последовательности. Основные теоремы о пределах, замечательные пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие величины, эквивалентные величины. Непрерывность функции в точке, непрерывность элементарных функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Точки разрыва и их классификация. Численное решение нелинейных уравнений.
Производная и дифференциал. Определение производной, основные правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функции. Производная параметрической и неявной функции. Дифференциал. Приближенные вычисления при помощи дифференциала. Геометрический и физический смысл производной. Уравнения касательной и нормали. Свойства дифференцируемых функций. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Производные и дифференциалы высших порядков, формула Лейбница.
Приложения производных. Формула Тейлора. Правило Лопиталя вычисления пределов. Исследование функции с помощью производных. Интервалы монотонности, экстремумы, интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба, асимптоты. Построение графика функции. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Неопределенный интеграл. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Основные приемы интегрирования: подведение под знак дифференциала, интегрирование по частям, замена переменной. Интегрирование рациональных, иррациональных, тригонометрических функций.

Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции. Определенный интеграл и его свойства. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенных интегралов: замена переменной, интегрирование по частям. Приближенные методы интегрирования. Геометрические приложения определенного интеграла: площадь плоской фигуры в декартовых и полярных координатах, длина дуги кривой, объем тела вращения, площадь поверхности вращения. Экономические приложения определенного интеграла.
Несобственный интеграл. Несобственные интегралы: интеграл по бесконечному промежутку, интеграл от неограниченной функции. Признаки сходимости несобственных интегралов.

Линейная алгебра



Студенты должны:

знать

  • основные понятия и теоремы линейной и векторной алгебры, аналитической геометрии, алгебры комплексных чисел и многочленов;

уметь

  • применять основные методы решения систем линейных алгебраических уравнений;

  • составлять уравнения линий и поверхностей первого и второго порядка;

  • находить рациональные корни многочленов;

владеть

  • навыками использования методов линейной алгебры при решении экономических задач.


Матрицы и определители. Алгебра матриц. Свойства операций. Определители, их свойства. Обратная матрица. Теорема Крамера. Метод Крамера решения квадратных систем линейных уравнений.

Линейные пространства. Определение линейного пространства. Линейная зависимость системы векторов. Базис линейного пространства, разложение вектора по базису. Арифметическое n-мерное пространство. Ранг системы векторов, ранг матрицы. Совместность системы линейных уравнений, теорема Кронекера - Капелли. Метод Гаусса. Линейное подпространство. Однородные системы линейных уравнений, фундаментальная система решений, структура общего решения неоднородной системы. Линейные преобразования линейного пространства: матрица линейного преобразования, координаты образа вектора, собственные значения и собственные векторы линейного преобразования.

Евклидовы пространства. Определение евклидова пространства. Длина вектора, угол между векторами, ортогональные векторы, скалярное произведение в ортонормированном базисе, неравенство Коши - Буняковского. Процесс ортогонализации. Квадратичные формы: матричная запись, приведение к каноническому виду, положительно определенные квадратичные формы.
Векторная алгебра. Векторы. Линейные операции над векторами. Базис на плоскости и в пространстве. Скалярное, векторное и смешанное произведения, их свойства.
Аналитическая геометрия. Прямая на плоскости, прямая и плоскость в пространстве: способы задания, взаимное расположение, углы и расстояния. Нормальные уравнения прямой и плоскости. Полярная система координат. Линии 2-го порядка: канонические уравнения, свойства, приведение уравнения к каноническому виду. Поверхности 2-го порядка, метод параллельных сечений.
Комплексные числа и многочлены. Алгебра комплексных чисел. Действия с комплексными числами в алгебраической, тригонометрической и показательной форме. Формула Эйлера. Геометрическая интерпретация алгебраических операций. Извлечение корня из комплексного числа. Алгебра многочленов. Алгоритм деления с остатком. Теорема Безу, теорема Гаусса. Разложение многочлена на множители.


Теория вероятностей и математическая статистика



Студенты должны:

знать

  • основные понятия алгебры случайных событий, основные теоремы теории вероятностей, методы вычисления вероятностей случайных событий;

уметь

  • вычислять числовые характеристики случайных величин;

  • вычислять вероятности случайных событий;

  • применять статистические оценки при обработке экспериментальных данных;

владеть
  • навыками использования методов теории вероятностей и математической статистики при обработке результатов эксперимента.



Теория вероятностей. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Дискретное вероятностное пространство, классическое определение вероятности. Непрерывное вероятностное пространство, геометрические вероятности. Теорема о вероятности суммы событий. Условные вероятности. Формулы полной вероятности и Байеса. Теорема о вероятности произведения событий. Понятие последовательности независимых испытаний. Схема Бернулли и полиномиальная схема. Предельные теоремы Пуассона и Муавра-Лапласа. Случайные величины (дискретные и непрерывные). Закон распределения (функция распределения, ряд распределения, плотность распределения). Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Примеры распределений: равномерное, биномиальное и др. Нормальное распределение и его свойства. Закон больших чисел. Теорема Чебышева. Предельные теоремы. Случайные векторы. Закон распределения. Условные распределения случайных величин. Ковариация, коэффициент корреляции. Функции случайных величин, их законы распределения.
Математическая статистика. Вариационный ряд, гистограмма и полигон частот. Эмпирическая функция распределения. Выборочное среднее, выборочная дисперсия. Точечные и интервальные оценки. Построение доверительных интервалов. Статистическая проверка гипотез. Принцип максимального правдоподобия. Статистические методы обработки экспериментальных данных.
Случайные процессы. Цепи Маркова. Стационарное распределение. Марковский случайный процесс. Система уравнений Колмогорова. Процесс гибели и размножения. Элементы теории систем массового обслуживания.

Методы оптимальных решений



Студенты должны:

знать
  • основные понятия и теоремы математического программирования; необходимые и достаточные условия экстремума функций; основные методы линейного, нелинейного, динамического программирования, вариационного исчисления;


уметь

  • применять аналитические и численные методы отыскания экстремумов функций;

  • составлять математические модели экономических задач и выбирать методы решения;

  • применять методы теории игр и статистических решений;

владеть

  • навыками использования методов оптимизации при решении прикладных задач.



Экстремум функции многих переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума функции многих переменных. Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области. Графический метод решения. Метод наименьших квадратов.
Численные методы решения задач одномерной и многомерной оптимизации. Метод половинного деления, «золотого сечения», метод Фибоначчи. Градиентные методы решения гладких экстремальных задач: градиентный метод с регулировкой шага, метод сопряженных градиентов, метод Ньютона.
Линейное программирование. Математическая модель задачи линейного программирования. Графический метод решения. Решение задач линейного программирования симплекс-методом. Метод искусственного базиса. Двойственность в линейном программировании. Экономические приложения двойственных задач.
Целочисленное программирование. Метод Гомори. Метод ветвей и границ.
Дробно-линейное программирование. Приведение задачи дробно-линейного программирования к задаче линейного программирования. Применение симплекс-метода.
Транспортная задача линейного программирования. Метод потенциалов и его применение для закрытой и открытой модели транспортной задачи.
Нелинейное программирование. Функция Лагранжа. Выпуклое программирование. Теорема Куна-Таккера. Квадратичное программирование. Решение задач с сепарабельными функциями.

Динамическое программирование. Задача распределения ресурсов. Уравнения Беллмана.
Элементы теории игр. Решение игры в чистых и в смешанных стратегиях. Применение симплекс-метода. Понятие о теории статистических решений. Критерии принятия решений в условиях риска и в условиях неопределенности.
Вариационное исчисление. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера. Прямые методы вариационного исчисления.